广东省执信中学2018届高三11月月考数学（理）试题（含解析）(1)

广东省执信中学2018届高三11月月考数学（理）试题（含解析）(1)

2017-2018 学年度第一学期 高三级理科数学 11 月考试试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．若集合 ， ，且 ，则实数 有（ ）个不同取值． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 或 ， 解得： 或 或 ， 所以实数 的不同取值个数为 ． 故选 ． 考点：1．集合间的关系；2．一元二次方程． 2．复数 的共轭复数是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 共轭复数 ． 故选 ． 3．在 中，则“ ”是“ ”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B { }1,1,3A = − { }21, 2B a a= − B A⊆ a 2 3 4 5 B A⊆ 2 2 1a a− = − 2 2 3a a− = 1a = 1a = − 3a = a 3 B 2 i iz += 2 i+ 2 i− 1 2i+ 1 2i− 2 2 i (2 i)i 2i 1 1 2ii i 1z + + −= = = = −− 1 2iz = + C ABC△ π 6A > 1sin 2A > 【解析】在 中，由 得： ， 因为“ ” “ ”，“ ” “ ”， 所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件． 故选 ． 考点：1．三角函数的性质；2．充分条件与必要条件． 4．下列命题中，错误的是（ ）． A．平行于同一平面的两个不同平面平行 B．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 C．若两个平面不垂直，则其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直 D．若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不 平行 【答案】D 【解析】解：由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，所以 选项是正确的； 由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，所以 选项是正确的； 由直线与平面垂直的性质定理，知如果平面 不垂直平面 ， 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ，所以 选项是正确的； 若直线 不平行平面 ，则当 时，在平面 内存在与 平行的直线，故 不正确． 故选 ． 5．为得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点（ ）． A．向右平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度 C．向左平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 【答案】D ABC△ 1sin 2A > π 5π 6 6A< < π 6A > ⇒ 1sin 2A > π 6A > ⇐ 1sin 2A > π 6A > 1sin 2A > B A B α β α β C l α l α⊂ α l D D 3cos2y x= π3sin 2 6y x = +   π 3 π 6 π 3 π 6 【解析】解：函数 ， 把函数 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度， 可得函数 的图象． 故选 ． 6．若 ， ，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 项．使用特殊值法，令 ， ， ， 得 ，故 项错误； 项，使用特殊值法，令 ， ， ， 得 ，故 项错误； （由于 ，所以函数 在 上单调递减，所以 ）； 项，使用特殊值法，令 ， ， ， 得 ， 项正确； 要比较 和 ，只需比较 和 ， 即只需比较 和 ， 所以比较 和 的大小即可，构造函数 ， 则 ，即 在 上单调递增， 因此 ， π3cos2 3sin 2 2y x x = = +   π3sin 2 6y x = +   π 6 π π π3sin 2 3sin 26 6 2y x x     = + + = +         D 1a b> > 0 1c< < c ca b< c cab ba< log logb aa c b c< log loga bc c< A 3a = 2b = 1 2c = 1 1 2 23 2> A B 3a = 2b = 1 2c = 1 1 2 23 2 2 3× > × B 1 1 0c− < − < 1cy x −= (1, )+∞ 1 11 c c c ca b a b ba ab− −> > ⇔ < ⇔ < C 3a = 2b = 1 2c = 2 3 13log 2log 22 < C logba c logab c ln ln a c b ln ln b c a ln ln c b b ln ln c a a lnb b lna a ( ) ln ( 1)f x x x x= > ( ) ln 1 0f x x′ = + > ( )f x (1, )+∞ ( ) ( ) (1) 0f a f b f> > = 所以 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 故 项正确； 项，使用特殊值法，令 ， ， ，[来源:学#科#网] 得 ， 故 项错误，（要比较 和 ，只需要比较 和 即可，因为函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 ，即 ）． 故选 ． 7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则正（主）视图的面积等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 11 俯视图 侧视图主视图 1 2 x ln ln 0a a b b> > 1 1 ln lna a b b < 0 1c< < ln 0c < ln ln ln ln c c a a b b > log logb aa c b c< C D 3a = 2b = 1 2c = 3 2 1 1log log2 2 > D loga c logb c ln ln c a ln ln c b ( ) ln ( 1)f x x x= > (1, )+∞ ln ln 0a b> > 1 1 ln lna b < 0 1c< < ln 0c < ln ln ln ln c c a b > log loga bc c> C 2 3 2 3 2 9 2 【解析】解：该几何体为四棱锥， 其底面为直角梯形，面积 ， 则该几何体的体积 ， 故 ． 8．如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据流程图 ，可知， 第 次循环： ， ； 第 次循环： ， ； 第 次循环： ， ， 否 是 输入S S=S+ 1 i i=i+2 i=2,S=0 结束 开始 1 (1 2) 2 32S = × + × = 1 333 2V x= ⋅ ⋅ = 3 2x = 1 1 1 1 2 4 6 2016 + + + + 2019i ≤ 2018i ≤ 2017i ≤ 2016i ≤ 1 2i = 1 2S = 2 4i = 1 1 2 4S = + 3 6i = 1 1 1 2 4 6S = + +  第 次循环： ， ；[来源:Zxxk.Com] 此时，设置条件退出循环，输出 的值． 故判断框内可填入 ． 9．圆 的半径为 ，一条弦 ， 为圆 上任意一点，则 的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图所示，连接 ， ． 过点 作 ，垂足为 ， 则 ， ∴ ， ∴ ， ， ． ∵ ， ∴ ． A BC O P 1008 2016i = 1 1 1 1 2 4 6 2016S = + + + + S 2016i ≤ O 3 4AB = P O AB BP⋅  [ 16,0]− [0,16] [ 20,4]− [ 4,20]− OA OB O OC AB⊥ C 1 22BC AB= = 2cos 3OBA∠ = ( )AB BP AB OP OB AB OP AB OB⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅         | || | cos , | || | cosAB OP AB OP AB OB OBA= ⋅ − ⋅ ∠      24 3 cos , 4 3 12cos , 83AB OP AB OP= × × − × × = −    cos , [ 1,1]AB OP ∈ −  12cos , 8 [ 20,4]AB OP − ∈ −  10．平面上满足约束条件 的点 形成的区域为 ，区域 关于直线 对称的区 域为 ，则区域 和 中距离最近两点的距离为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据约束条件画出可行域，如图， 作出区域 关于直线 对称的区域，它们呈蝴蝶形， 由图可知，可行域内点 到 的距离最小， 最小值为 到直线 的距离的两倍， ∴最小值 ，故填 ． 11．设 ， ，若直线 与圆 相切，则 的取值范围 是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用． 5 5 A A' 2 0 10 0 x x y x y   +  − − ≥ ≤ ≤ ( , )x y D D 2y x= E D E 12 5 5 6 5 5 4 5 5 8 5 5 D 2y x= ( 2,2)A − A′ A 2y x= | 4 2 | 122 555 − −= × = 12 5 5 m n∈R ( 1) ( 1) 2 0m x n y+ + + − = 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − = m n+ [1 3,1 3]− + ( ),1 3 1 3, −∞ − + +∞  [2 2 2,2 2 2]− + ( ),2 2 2 2 2 2, −∞ − + +∞  由直线与圆相切得 ， 两边平方并整理得 ， 显然 ， 故 ， 显然 ， 当 时，利用均值不等式得 ； 当 时，利用均值不等式得 ， 故 的取值范围是 ． 故选 ． 12．已知函数 的两个极值点分别为 ， ，且 ， ．点 表示的平面区域为 ，若函数 的图象上存在区域 内的点，则实数 的取 值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解： ，依题意知， 方程 有两个根 ， ，且 ， ， 由二次方程根的分布，则有 ， ， 则 ， 点 表示的平面区域为 ，画出二元一次不等式组： 2 2 | 1 1 2 | 1 ( 1) ( 1) m n m n + + + − = + + + 1m n mn+ + = 1n ≠ 1 1 nm n += − 1 1 2 2( 1) 21 1 1 n nm n n n nn n n + − ++ = + = + = − + +− − − 1 0n − > 2 2( 1) 2 2 ( 1) 2 2 2 21 1m n n nn n + = − + + − × + = +− −≥ 1 0n − < 22 ( 1) 2 2 21m n n n  + = − − − − − −  ≤ m n+ ( ),2 2 2 2 2 2, −∞ − + +∞  D 21 ( ) 1( ) 3 2 mx m n xf x x3 + + += + 1x 2x 1 (0,1)x ∈ 2 (1, )x ∈ +∞ ( , )P m n D log ( 4)( 1)ay x a= + > D a [ )3,+∞ (3, )+∞ ( ]1,3 (1,3) 2 1( ) ( )2f x x mx m n′ = + + + ( ) 0f x′ = 1x 2x 1 (0,1)x ∈ 2 (1, )x ∈ +∞ 1(0) ( ) 02f m n′ = + > 1(1) 1 ( ) 02f m m n′ = + + + < 0 3 20 m n m n +  + + ( , )P m n D 表示的平面区域， 如图所示： 因为直线 ， 的交点坐标为 ， 所以要使函数 ， 的图象上存在区域 内的点， 则必须满足 ， 所以 ，解得 ． 又因为 ， 所以 ． 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．函数 的值域为__________． 【答案】 【解析】解：∵ ， ∴ 时， 最大， ， 因此，本题正确答案是： ． m+n=0 2+3m+n=0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 512345 x y O 0 3 20 m n m n +  + + 0m n+ = 2 3 0m n+ + = ( 1,1)− log ( 4)ay x= + ( 1)a > D 1 log ( 1 4)a < − + log 3 1a > 3a < 1a > 1 3a< < 2 2( ) log ( 2 2)f x x= − + 3, 2  −∞   20 2 2 2 2x< − + ≤ 0x = ( )f x 2 2 2 3( ) (0) log 2f x f= = =最大值 3, 2  −∞   14． 设 为锐角，若 ，则 的值为__________． 【答案】 【解析】设 ， 为锐角， ， ∵ ，可得 为锐角， 可求 ， ， ， ∴ ， ， ． 15．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直 角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ， ，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为__________． 【答案】 【解析】本题主要考查空间几何体． 由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且 平面 ， ， ， ， ． 因为 为直角三角形， 因此 或 （舍）． α π 3cos 6 5 α + =   πsin 2 12 α +   31 250 π 6 β α= + α π π 2, π6 6 3P α  = + ∈   3 3 2πsin sin5 2 3 β = < = β 4cos 5 β = 24sin 2 2sin cos 25 β β β= = 2 7cos2 1 2sin 25 β β= − = π π π πcos 2 cos 2 cos 212 3 4 4 α α β     + = + − = −           π πcos2 cos sin 2 sin4 4Pβ= + 31 250 = P ABC− PA ⊥ ABC 2PA AB= = 4AC = P ABC− O O 20π PA ⊥ ABC 2PA AB= = 4AC = 2 5PC = 2 2PB = PBC△ 2 3BC = 2 7BC = 所以只可能是 ， 此时 ，因此 ， 所以平面 所在小圆的半径即为 ， 又因为 ， 所以外接球 的半径 ， 所以球 的表面积为 ． 16．抛物线 的焦点为 ，设 、 是抛物线上的两个动点，若 ， 则 的最大值为__________．[来源:学科网 ZXXK] 【答案】 【解析】解：由抛物线定义得 ， ， 所以由 ，得 ， 因此， ， ， 所以 ， 填 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分 分）四边形 如图所示，已知 ， ． 2 3BC = PB BC⊥ AB BC⊥ ABC 22 ACr = = 2PA = O 2 2 22 1 52 PAR r  = + = + =   O 24π 20πS R= = 2 8y x= F 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2 34 | |3x x AB+ + = AFB∠ 2 π3 1 2AF x= + 2 2BF x= + 1 2 2 34 | |3x x AB+ + = 2 3 | |3AF BF AB+ = 2 2 2 2 2 1 1 3| | | | | || || | | | | | 4 4 2cos 2 | | | | 2| | | | AF BF AF BFAF BF ABAFB AF BF AF BF + − ⋅+ −∠ = =⋅ ⋅ 1 32 | | | | | | | | 14 2 2 | | | | 2 AF BF AF BF AF BF × ⋅ − ⋅ = −⋅≥ 20 π3AFB< ∠ ≤ 2 π3 12 ABCD 2AB BC CD= = = 2 3AD = （ ）求 的值． （ ）记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最大值． 【答案】见解析． 【解析】（ ）在 中， ， 在 中， ， 所以 ． （ ）根据题意 ， ， 所以 ， ， ， 因为 ， 所以 ， 计算出 ， 所以 ， 当 时，取等号， 即 最大值为 ． D B C 1 3cos cosA C− 2 ABD△ BCD△ 1S 2S 2 2 1 2S S+ 1 ABD△ 16 8 3cosDB A= − BCD△ 8 8cosDB C= − 3cos cos 1A C− = 2 2 2 1 12 12cosS A= − 2 2 2 4 4cosS C= − 2 2 2 2 1 2 12 12cos 4 4cosS S A C+ = − + − 28cos 8cos 12C C= − − + 218 cos 142C = − + +   2 3 2 4BD− < < 8cos (16 8 3,16)C− ∈ − 1 cos 3 1C− < < − 2 2 1 2 14S S+ ≤ 1cos 2C = − 2 2 1 2S S+ 14 18． （本小题满分 分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗 中学数学教师对新入学的 名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于 小时的有 人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足 分的占 ，统计成绩后，得到如下的 列 联表： 分数大于等于 分 分数不足 分 合计 周做题时间不少于 小时 周做题时间不足 小时 合计 （ ）请完成上面的 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为“高中生的数学 成绩与学生自主学习时间有关”． （ ）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于 分和分数不足 分的两组学生 中抽取 名学生，设抽到的不足 分且周做题时间不足 小时的人数为 ，求 的分布列（概率用 组合 数算式表示）． （ii）若将频率视为概率，从全校大于等于 分的学生中随机抽取 人，求这些人中周做题时间不少 于 小时的人数的期望和方差． 附： 【答案】见解析． 【解析】（ ） 分数大于等于 分 分数不足 分 合计 周做题时间不少于 小时 周做题时间不足 小时 合计 ∵ ． ∴能在犯错误的概率不超过 的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”． 12 45 15 19 120 8 13 2 2× 120 120 15 15 1 2 2× 0.01 2 120 120 9 120 15 X X 120 20 15 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2 0( )P k k≥ 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 1 120 120 15 15 15 10 16 26 25 20 2 2 45(15 16 10 4) 7.287 6.63525 20 19 26K × − ×= >× × × ≈ 0.01 （ ）（i）由分层抽样知大于等于 分的有 人，不足 分的有 人， 的可能取值为 ， ， ， ， ． ， ， ，[来源:Z.xx.k.Com] ， ． （ii）设从全校大于等于 分的学生中随机抽取 人，这些人中周做题时间不少于 小时的人数为 随机变量 ， 由题意可知 ， 故 ， ． 19．（本小题满分 分）如图所示的几何体是由棱台 和棱锥 拼接而成的组合体， 其底面四边形 是边长为 的菱形，且 ， 平面 ， ． （ ）求证：平面 平面 ． （ ）求二面角 的余弦值． 【答案】见解析． 【解析】解：（ ）∵ 平面 ， D A B C C1B1 A1 2 120 5 120 4 X 0 1 2 3 4 4 16 4 20 C( 0) CP X = = 3 3 4 16 4 20 C C( 1) CP X ⋅= = 2 2 4 16 4 20 C C( 2) CP X ⋅= = 3 1 4 16 4 20 C C( 3) CP X ⋅= = 4 4 4 20 C( 4) CP X = = 120 20 15 Y (20,0.6)Y B ( ) 12E Y = ( ) 4.8D Y = 12 1 1 1ABC A B C− 1 1D AAC C− ABCD 2 60BAD∠ = ° 1BB ⊥ ABCD 1 1 12 2BB A B= = 1 1AB C ⊥ 1BB D 2 1 1A BD C− − 1 1BB ⊥ ABCD ∴ ， 在菱形 中， ， 又 ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴平面 平面 ． （ ）连接 ， 交于点 ， 以 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴， 如图建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ，同理 ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， ∴ ， 则 ， 设平面 的法向量 ， z x y O A1 B1 C1 C BA D 1BB AC⊥ ABCD BD AC⊥ 1BD BB B= AC ⊥ 1BB D AC ⊂ 1AB C 1AB C ⊥ 1BB D 2 BD AC O O OA x OD y (0, 1,0)B − (0,1,0)D 1(0, 1,2)B − ( 3,0,0)A 1 1 1 1 3 1, ,22 2 2B A BA A  = ⇒ −      1 3 1, ,22 2C  − −    1 3 1, ,22 2BA  =      (0,2,0)BD = 1 3 1, ,22 2BC  = −     1A BD ( , , )n x y z= 1 0 0 BA n BD n  ⋅ = ⋅ =     ( 4,0, 3)n = − DCF ( , , )m x y z= ， 则 ， 设二面角 为 ， ． 20． （本小题满分 分）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦 点分别为 ， ，离心率为 ，点 ， 为线段 的中点． （ ）求椭圆 的方程． （ ）若过点 且斜率不为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，已知直线 与 相交于点 ， 试判断点 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案 】见解析． 【解析】（ ）设点 ， ， 由题意可知： ，即 ①， 又因为椭圆的离心率 ，即 ②， 联立方程①②可得： ， ，则 ， 所以椭圆 的方程为 ． （ ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点 是与 轴平行的直线 上， 解设当点 为椭圆的上顶点时，直线 的方程为 ， G F1 F2 M NA1 A2 x y O 1 0 0 BD m BC m  ⋅ = ⋅ =     (4,0, 3)m = 1 1A BD C− − θ | | 13cos 19| || | m n m n θ ⋅= =     12 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1A 2A 1F 2F 1 2 (4,0)B 2F 1A B 1 C 2 B 0 l C M N 1A M 2A N G G 1 1( ,0)A a− 2 ( ,0)F c 4 2 ac − += 4 2a c= − 1 2 ce a = = 2a c= 2a = 1c = 2 2 2 3b a c= − = C 2 2 14 3 x y+ = 2 G y 0x x= M l 3 4 4 3 0x y+ − = 此时点 ， 则联立直线 和直线 可得点 ， 据此猜想点 在直线 上，下面对猜想给予证明： 设 ， ，联立方程 ， 可得： ， ， 由韦达定理可得 ， （*）， 因为直线 ， ． 联立两直线方程得 （其中 为 点的横坐标）， 即证： ， 即 ， 即证 ， 将（*）代入上式可得 ， 此式明显成立 ，原命题得证． 所以点 在定直线上 上． 21．（本小题满分 分）已知函数 ， ． （ ）若函数 的最小值为 ，求 的值． （ ）证明： ．[来源:学科网] 【答案】见解析． 8 3 3,5 5N       1 : 3 2 2 3 0A Ml x y− + = 1 :3 3 2 6 3 0A Nl x y+ − = 3 31, 2G       G 1x = 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 2 ( 4) 13 y k x x y x = − + = 2 2 2 2(3 4 ) 32 64 12 0k x k x k+ − + − = 0∆ > 2 1 2 2 32 3 4 kx x k + = + 2 1 2 2 64 12 3 4 kx x k −= + 1 1 1 : ( 2)2A M yl y xx = ++ 2 2 2 : ( 2)2A N yl y xx = −− 1 2 2 1 2 2 ( 2) ( 2)2 2 2 y y yx xx x x + = = −+ − − x G 1 2 1 2 3 2 2 y y x x −=+ − 1 2 2 13 ( 4) ( 2) ( 4)( 2)k x x k x x− ⋅ − = − − + 1 2 1 24 10( ) 16 0x x x x− + + = 2 2 2 2 2 2 2 4 (64 12) 10 32 16 0 16 3 20 3 4 03 4 3 4 k k k k kk k ⋅ − ×− + = ⇔ − − + + =+ + G 1x = 12 ( ) ln 1af x x x = + − a∈R 1 ( )f x 0 a 2 e (ln 1)sin 0x x x+ − > 【解析】（ ） 的定义域为 ， 且 ． 若 ，则 ，于是 在 上单调递增， 故 无最小值，不合题意． 若 ，则当 时， ； 当 时， ． 故 在 上单调递减，在 上单调递增． 于是当 时， 取得最小值 ． 由已知得 ，解得 ， 综上， ． （ ）①下面先证明当 时， ， 设 ， 则 ， 于是当 时， ， 所以 在 上单调递减， 所以当 时， ， 所以 ． 由（ ）可知 ， 即 ， 所以当 时， ， 1 ( ) ln 1af x x x = + − (0, )+∞ 2 2 1( ) a x af x x x x −′ = − = 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ ( )f x 0a > 0 x a< < ( ) 0f x′ < x a> ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ x a= ( )f x ln a ln 0a = 1a = 1a = 2 (0,π)x∈ e (ln 1)sin 0x x x+ − > ( ) sing x x x= − ( ) cos 1g x x′ = − 0 πx< < ( ) 0g x′ < ( )g x [ )0,π 0 πx< < ( ) (0) 0g x g< = sin 1x x − > − 1 1ln 1 0x x + − ≥ 1ln 1x x − −≥ 0 πx< < sin(ln 1)sin 1xx x x − − > −≥ 于是 ， 即 ． ②当 时， ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 设 ，则 ， 所以 在 上单调递增， 故 ， 所以 ， 综上，不等式 恒成立． 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，已知圆 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （ ）求 的极坐标方程与 的直角坐标方程． （ ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， ， 为 上的一点，且 的面积等于 ，求 点的直角坐标． 【答案】见解析． 【解析】解：（ ） 的普通方程为 ，即 ， 因为 ， ， 所以 的极坐标方程为 ， 的直角坐标方程为 ． 0e (ln 1)sin e 1 e 1 0x xx x+ − > − > − = e (ln 1)sin 0x x x+ − > [ )π,x∈ +∞ sin 1x −≥ ln 1 0x − > (ln 1)sin (ln 1)x x x− − −≥ e (ln 1)sin e (ln 1)x xx x x+ − − −≥ ( ) e ln 1xh x x= − + π1 1( ) e e 0π xh x x ′ = − − >≥ ( )h x [ )π,+∞ π( ) (π) e ln π 1 0h x h = − + >≥ e (ln 1)sin e (ln 1) 0x xx x x+ − − − >≥ e (ln 1)sin 0x x x+ − > xOy 1C 1 cos 2 sin x y φ φ = +  = + φ x 2C cos 2 0ρ θ + = 1 1C 2C 2 3C π ( )4 θ ρ= ∈R 3C 1C M N P 2C PMN△ 1 P 1 1C 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − = 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = cosx ρ θ= siny ρ θ= 1C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2C 2x = − （ ）将 代入 ， 得 得 ， ， 所以 ， 因为 的面积等于 ，所以 点到直线 即 距离为 ． 设 ，则 ， ， 或 ． 点坐标为 或 ． 23．（本小题满分 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ， ． （ ）解不等式 ． （ ）若对于 ， ，有 ， ，求证： ． 【答案】见解析． 【解析】（ ）解：不等式化为 ． ①当 时，不等式为 ，解得 ，故 ； ②当 时，不等式为 ，解得 ，故 ； ③当 时，不等式为 ，解得 ，故 ， 综上，原不等式的解集为 或 ． （ ） ， 所以 ． 2 π 4 θ = 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1 2 2ρ = 2 2ρ = | | 2MN = PMN△ 1 P π 4 θ = 0x y− = 2 ( 2, )P y− | 2 | 2 2 y− − = | 2 | 2y + = 0y = 4− P ( 2,0)− ( 2, 4)− − 10 ( ) | 2 1|f x x= − x∈R 1 ( ) 2 | 1|f x x− +≥ 2 x y ∈R 1| 1| 3x y− − ≤ 1| 2 1| 6y + ≤ ( ) 1f x < 1 | 1| | 2 1| 2x x+ + − ≥ 1 2x≥ 3 2x≥ 2 3x≥ 2 3x≥ 11 2x− <≤ 2 2x− ≥ 0x ≤ 1 0x− ≤ ≤ 1x < − 3 2x− ≥ 2 3x −≤ 1x < − { | 0x x ≤ 2 3x ≥ 2 2 1 5| 2 1| | 2( 1) 2 1| 2 | 1| | 2 1| 13 6 6x x y y x y y− = − − + + − − + + + = <≤ ≤ ( ) 1f x <