湖南省五市十校2020届高三上学期联考试题 数学（文）

湖南省五市十校2020届高三上学期联考试题 数学（文）

绝密★启用前 湖南省五市十校2019年下学期高三年级第二次联考试题 文科数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，则A∩B＝‎ A.(－1，3) B.(－∞，3) C.(－1，＋∞) D.‎ ‎2.已知i为虚数单位，复数z满足iz＝3＋2i，则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.执行如图所示的程序框图，输出的S＝‎ A.25 B.9 C.17 D.20‎ ‎4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示。为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是 A.12 B.15 C.20 D.21‎ ‎5.已知α∈(0，π)，且sinα＝，则tan(α＋)＝‎ A.－ B.7 C.－或－7 D.或7‎ ‎6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且mα，nα，则“α//β”是“m//β且n//β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的部分图象如图所示，给出下列判断：‎ ‎①函数y＝f(x)在区间[－3，－]单调递增 ②函数y＝f(x)在区间[－，3]单调递减 ‎③函数y＝f(x)在区间(4，5)单调递增 ④当时x＝2，函数y＝f(x)取得极小值 ‎⑤当时x＝，函数y＝f(x)取得极大值 则上述判断中正确的是 A.①② B.②③ C.③④⑤ D.③‎ ‎8.刘徽《九章算术·商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥称为“阳马”。某“阳马”的三视图如图所示，则其外接球的体积为 A. B.3π C. D.4π ‎9.已知两点M(－1，0)，N(1，0)，若直线3x－4y＋m＝0上存在点P满足PM·PN＝0，则实数m的取值范围是 A.(－∞，－5]∪[5，＋∞) B.(－∞，－25]∪[25，＋∞) C.[－5，5] D.[－25，5]‎ ‎10.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，C与抛物线x2＝8y的准线交于A、B两点，‎ AB＝2，则C的实轴长为 A. B.2 C.2 D.4‎ ‎11.一个圆锥的母线长为2＋2，且母线与底面所成角为，则该圆锥内切球的表面积为 A.2π B.8π C. D.(6＋2)π ‎12.已知f'(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，若f(x)＝f(－x)＋x3，且当x≥0时，，则不等式2f(x＋1)－2f(x)<3x2＋3x＋1的解集为 A.(－，0) B.(－∞，－) C.(，＋∞) D.(－∞，)‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.设函数，则f(5)的值为 。‎ ‎14.已知向量a＝(4m＋2，6)，b＝(2，m)，若向量a，b反向，则实数m的值为 。‎ ‎15.已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，终边上有一点P(3，－4)，则sin(π－θ)＋cos(π＋θ)＝ 。‎ ‎16.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”。若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2020积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为 。‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题：共60分。‎ ‎17.(12分)‎ ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且。‎ ‎(1)求角；‎ ‎(2)若3a＝b＋c，且△ABC外接圆的半径为1，求△ABC的面积。‎ ‎18.(12分)‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an。‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和Tn。‎ ‎19.(12分)‎ 如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，△BAD＝∠ABC＝90°。‎ ‎(1)证明：BC//平面PAD；‎ ‎(2)若四棱锥P－ABCD的体积为4，求△PCD的面积。‎ ‎20.(12分)‎ 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线y＝x－1与C交于A，B两点，且AB＝8。‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)如图，过原点O的直线l与抛物线C交于点M，与直线x＝－1交于点H，过点H作y轴的垂线交抛物线C于点N。证明：直线MN过定点。‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数f(x)＝ex－cosx。‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；‎ ‎(2)证明：f(x)在区间(－，＋∞)上有且仅有2个零点。‎ ‎(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎(1)写出圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)设直线l的极坐标方程为，射线OM：θ＝与圆C交于O、P两点，与直线l交于点Q，求线段PQ的长。‎ ‎23.[选修4－5：不等式选讲](10分)‎ 已知函数f(x)＝|x－3|－2|x|。‎ ‎(1)求不等式f(x)≥2的解集；‎ ‎(2)设f(x)的最大值为m，正数a，b，c满足a＋b＋c＝m，证明：a2＋b2＋c2≥3。‎ 高三文科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C A D A D C C C B B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） ‎ ‎13. 14. 15. 16.1010‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴，…………2分 由正弦定理得，，‎ ‎∴，…………4分 又，∴，∴，…………5分 又，∴.…………6分 ‎（2）设外接圆的半径为，则，，…………8分 由余弦定理得，…………9分 即，，……………10分 的面积。…………12分 ‎18.【答案】（1）；（2）‎ ‎【解】（1）当时，；…………1分 当时，.…………3分 也适合，因此，数列的通项公式为；…………5分 ‎（2），在等式两边同时除以得，且.‎ 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，…………6分 ‎，…………7分 ‎.…………8分 ‎，‎ ‎，…………9分 上式下式得，…………11分 因此，。…………12分 ‎19.【解析】（1）在平面内，因为，‎ 所以.…………1分 又平面，平面，‎ 故平面。…………4分 ‎（2）取的中点，连接，.‎ 由，及，，‎ 得四边形为正方形，则。…………5分 因为侧面是等边三角形且垂直于底面，‎ 平面平面，‎ 所以，…………6分 因为平面，所以平面.‎ 因为平面，所以.…………7分 设，则，，，，.‎ 因为四棱锥的体积为，‎ 所以，所以，…………9分 取的中点，连接，则，‎ 所以.…………10分 因此的面积。…………12分 ‎20.【解析】(1)由，消去可得，……1分 设A（x1，y1）,B（x2，y2）,则y1＋y2＝2p，y1y2＝－2p，…………2分 第20题 ‎∴·＝·＝8，…4分 解得p＝2或p＝－4(舍去)，∴p＝2。…………5分 ‎(2)证明：由(1)可得y2＝4x，设，…………6分 ‎∴直线OM的方程为y＝x。…………7分 当x＝－1时，yH＝－，则yN＝yH＝－，‎ 代入抛物线方程y2＝4x，可得xN＝，，…………8分 ‎∴直线MN的斜率k＝＝，…………9分 直线MN的方程为，整理可得………11分 故直线MN过定点(1,0)。…………12分 ‎21.【解析】（1），则，…………1分 ‎，.…………2分 因此，函数在点处的切线方程为，即；…………4分 ‎（2）当时，，此时，，…………5分 所以，函数在区间上没有零点；…………6分 又，下面只需证明函数在区间上有且只有一个零点.‎ ‎，构造函数，则，‎ 当时，，‎ 所以，函数在区间上单调递增，…………8分 ‎，，‎ 由零点存在定理知，存在，使得，…………9分 当时，，当时，。…………10分 所以，函数在处取得极小值，则，‎ 又，所以，由零点存在定理可知，函数在区间上有且只有一个零点.…………11分 综上所述，函数在区间上有且仅有两个零点.…………12分 ‎22.【解析】（1）圆C的普通方程为，又，‎ 所以圆C的极坐标方程为.…………4分 ‎（2）设，则由解得，，得；…………7分 设，则由解得，，得；……9分 所以。…………10分 ‎23.【解析】（1）当时，，由 ‎，得，‎ 解得，此时；‎ 当时，，由，得，‎ 解得，此时；‎ 当时，，此时不等式无解.‎ 综上所述，不等式的解集为；…………5分 ‎（2）由（1）可知.‎ 当时，；当时，；当时，.‎ 所以，函数的最大值为，则.‎ 由柯西不等式可得，即，‎ 即，当且仅当时，等号成立.‎ 因此，。…………10分