2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二下学期第二次月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二下学期第二次月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合S、T,再求得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．函数的定义域（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式即得函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 由题得 所以函数的定义域为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3． （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得原式=.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式的化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．一支田径队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样方法从全体运动员中抽取一个容量的样本，则样本中女运动员人数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得样本中女运动员人数为，计算即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得样本中女运动员人数是.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5．要得到函数的图像，需要将函数的图像（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以要得到函数的图像，需要将函数的图像向右平移个单位长度.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6．已知向量，，若∥，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知向量的坐标求出的坐标，代入共线向量得坐标运算公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 由，‎ 得，即．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．‎ ‎7．等比数列中，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由等比数列性质得 因为等比数列中，同号，所以，选A.‎ ‎8．下列函数，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，，函数不是偶函数，所以该选项是错误的；‎ 对于选项B, 所以函数f(x)是偶函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数，所以该选项是正确的；‎ 对于选项C, 是偶函数，在上是减函数，所以该选项是错误的；‎ 对于选项D, ,是偶函数，在上不是增函数，是非单调函数，所以该选项是错误的.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9．已知过点，的直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据条件知道过点A(-2，m)和B(m，4)的直线斜率和已知直线的斜率之积为-1，‎ 故。‎ 故答案为：D。‎ ‎10．已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆心和半径，即得圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 由题得OC中点坐标为（3,4），‎ 圆的半径为，‎ 所以圆的方程为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11．已知函数，则的值是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式，求得，进而求解的值，得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎，则，‎ 又，则，‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解。‎ ‎12．平面与平面平行的条件可以是（ ）‎ A．内有无穷多条直线都与平行 B．直线∥，∥，且直线不在平面内，也不在平面内 C．直线，直线，且∥，∥‎ D．内的任何直线都与平行 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析得解.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，内有无穷多条直线都与平行，则可能与平行或相交，所以该选项错误；‎ 对于选项B, 直线∥，∥，且直线不在平面内，也不在平面内, 则可能与平行或相交，所以该选项错误；‎ 对于选项C, 直线，直线，且∥，∥,则可能与平行或相交，所以该选项错误；‎ 对于选项D, 内的任何直线都与平行,所以，所以该选项正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查面面平行的判断证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理空间想象能力.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数的最小正周期为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得 所以函数的最小正周期为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换和三角函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．已知变量满足约束条件，则的最小值为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出满足不等式组的可行域，由可得可得为该直线在轴上的截距，‎ 截距越大，越小，结合图形可求的最大值 ‎【详解】‎ 作出变量，满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：‎ 由于可得，则表示目标函数在轴上的截距，截距越大，越小 作直线，然后把直线向平域平移，由题意可得，直线平移到时，最小，‎ 由可得，此时．‎ 故答案为：-3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．‎ ‎15．已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.‎ 详解：因为，，所以，‎ 因此 点睛：三角函数求值的三种类型 ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.‎ ‎16．设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是，,,则此直三棱柱的高是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出球的半径R，再求△ABC外接圆的半径r，再根据求直三棱柱的高.‎ ‎【详解】‎ 因为球的表面积是4，所以 设=x,则，‎ 设△ABC的外接圆的半径为r,则 由题得 所以此直三棱柱的高是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查几何体外接球问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)解答本题的关键是根据空间图形得到.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为且 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设向量,，，当取最大值时，求 ‎【答案】(1)(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，‎ 由此可求角的大小；‎ ‎（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.‎ 详解：‎ ‎（1）由题意，‎ 所以 ‎ ‎（2）因为 所以当时， 取最大值，此时， ‎ 由正弦定理得，‎ 点睛：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查向量数量积的运算，以及二次函数的最值，属于中档题．‎ ‎18．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：‎ ‎ ‎ ‎（1）这一组的频数、频率分别是多少？‎ ‎（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（分及以上为及格）‎ ‎【答案】(Ⅰ)频数为、频率；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用频率分布直方图中，纵坐标与组距的乘积是相应的频率，频数=频率×组距，可得结论；‎ ‎（2）纵坐标与组距的乘积是相应的频率，再求和，即可得到结论．‎ 试题解析：（1）由频率的意义可知，成绩在79.5～89.5这一组的频率为：0.025×10=0.25，频数：60×0.25=15;‎ ‎（2）利用纵坐标与组距的乘积是相应的频率可得及格率为0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10=0.75平均分为： 70.5 ‎ 考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．‎ ‎19．如图，圆锥中，为底面圆的两条直径，,且，,为的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求圆锥的表面积和体积；‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，利用三角形中位线性质，可得线线平行，从而可得线面平行；‎ ‎（2）分别计算圆锥底面、侧面面积、高，即可求得圆锥的表面积和体积。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，‎ ‎、分别为、的中点，‎ 在中，、分别为、的中点，则 ，‎ 由于平面，平面，，‎ 平面；‎ ‎（2）， ，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，‎ ‎，‎ 由于为圆锥的高，则母线，‎ ‎，，‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定，圆锥表面与体积的计算，考查学生的推理论证能力与运算能力。‎ ‎20．已知圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）已知直线经过原点，并且被圆C截得的弦长为，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意设出圆心C的坐标，由圆与直线相切的关系列出方程，求出圆C的圆心坐标和半径，即可求出圆的方程；‎ ‎（2）设直线m的方程为y＝kx，根据弦长公式列出方程求出k即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆心的坐标为，‎ 则.‎ 解得或. ‎ 所以，半径或 故圆的方程为：或. ‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为:，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件. ‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由题意得，解得，‎ 则直线的方程为. ‎ 综上所述，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，考查方程思想和待定系数法求圆的方程，属于中档题．‎ ‎21．已知函数 ‎（1）若函数是偶函数，求的值；‎ ‎（2）若函数在上，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用偶函数的定义判断得解；（2）对x分三种情况讨论，分离参数求最值即得实数k的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 由于函数g(x)是偶函数，所以，‎ 所以k=2.‎ ‎（2）由题得在上恒成立，‎ 当x=0时，不等式显然成立.‎ 当，所以在上恒成立，‎ 因为函数在上是减函数，所以.‎ 当时，所以在上恒成立，‎ 因为函数在上是减函数，在上是增函数，‎ 所以.‎ 综合得实数k的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22．选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为 ‎（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若是曲线上的一个动点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标化直角坐标的公式求解即可；（2）设,利用三角函数图像和性质解答得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得，所以.‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ 设,‎ 所以，‎ 其中在第一象限，且.‎ 所以x+2y最大值为5.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标和直角坐标方程的互化，考查三角函数的恒等变换和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23．选修4—5：不等式选讲 已知函数，集合 ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求证：‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据绝对值定义，将函数化为分段函数的形式，画出图像，根据图象即可求得；（2）结合（1）得，作差，化简即可得证.‎ 试题解析：(1)函数 首先画出与的图象如图所示：‎ 可得不等式解集为：.‎ ‎ (2) ∵‎ ‎∴.‎ ‎∴ ‎ ‎∴,故.‎