2020届宁夏回族自治区银川市第二中学高三上学期统练四数学(理科)试题(解析版)

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2020届宁夏回族自治区银川市第二中学高三上学期统练四数学(理科)试题(解析版)

‎2020届宁夏回族自治区银川市第二中学高三上学期统练四数学(理科)试题 一、单选题 ‎1.已知集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出集合B再求出交集.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎∴,则,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合交集的求法,是基础题.‎ ‎2.设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则( )‎ A.5 B.-5 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由题意求出,再由复数的乘法运算,即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,所以,‎ 所以.故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算,以及复数的几何意义,只需掌握复数的几何意义和运算法则,即可求解,属于基础题型.‎ ‎3.下列函数中,值域为的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】依次判断各个函数的值域,从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 选项:值域为,错误 选项:值域为,正确 选项:值域为,错误 选项:值域为,错误 本题正确选项:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查初等函数的值域问题,属于基础题.‎ ‎4.设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】【详解】试题分析:α⊥β, b⊥m又直线a在平面α内,所以a⊥b,但直线不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎【考点】充分条件、必要条件.‎ ‎5.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a2=( )‎ A.16 B.8 C.4 D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用通项公式,求和公式即可得出.‎ ‎【详解】‎ 设等比数列{an}的公比为q,q>0,‎ 由各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,‎ ‎∴a1(1+q+q2+q3)=15,a1q4=a1(3q2+4).‎ 解得a1=1,q=2.‎ 则a2=2.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通项公式求和公式、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎6.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得到关于的等式,结合对数的运算法则可得亮度的比值.‎ ‎【详解】‎ 两颗星的星等与亮度满足,令,‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.‎ ‎7.已知曲线在点处的切线方程为,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过求导数,确定得到切线斜率的表达式,求得,将点的坐标代入直线方程,求得.‎ ‎【详解】‎ 详解:‎ ‎,‎ 将代入得,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题关键得到含有a,b的等式,利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。‎ ‎8.函数((是常数),的部分图像如图所示,则f(0)=( )‎ A. B. C.0 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】欲求f(0),须先求f(x)的解析式.易求A,,从而可求ω=,由φ=π可求φ的值,从而使问题解决.‎ ‎【详解】‎ 由f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象可得:‎ A,,‎ ‎∴T=,又T,‎ ‎∴ω=,‎ 又φ=π,‎ ‎∴φ,‎ ‎∴f(x)sin(x)‎ ‎∴f(0)sin.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,结合图象求A,ω,φ的值是关键,属于中档题.‎ ‎9.已知满足约束条件,当目标函数在约束条件下取到最小值时,的最小值为( )‎ A.5 B.4‎ C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 由得,∵,∴直线的斜率,作出不等式对应的平面区域如图,由图可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最小.由,解得,即,此时目标函数的最小值为,即,所以点在直线上,则原点到直线的距离,即的最小值.故选B.‎ ‎【考点】1、简单线性规划;2、点到直线的距离.‎ ‎【思路点睛】‎ 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义确定取得最小值的条件,点在直线,而的几何意义为点到直线的距离的平方,将问题转化为求到直线的距离即可得到结论.本题主要考查线性规划的基本应用,利用数形结合求出目标函数取得最小值的条件是解决本题的关键.属于基础题.‎ ‎10.求值:4cos 50°-tan 40°=(  )‎ A. B. C. D.2-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 原式第一项利用诱导公式化简,第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦,通分后利用同分母分式的减法法则计算,再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,约分即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=‎ ‎==‎ ‎===.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.‎ ‎11.已知正三棱锥P﹣ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先利用正三棱锥的特点,将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题,从而将所求距离转化为正方体中,中心到截面的距离问题,利用等体积法可实现此计算 ‎【详解】‎ ‎∵正三棱锥P﹣ABC,PA,PB,PC两两垂直,‎ ‎∴此正三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接圆O,‎ ‎∵圆O的半径为,‎ ‎∴正方体的边长为2,即PA=PB=PC=2‎ 球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离 设P到截面ABC的距离为h,则正三棱锥P﹣ABC的体积VS△ABC×hS△PAB×PC2×2×2‎ ‎△ABC为边长为2的正三角形,S△ABC(2)2‎ ‎∴h ‎∴球心(即正方体中心)O到截面ABC的距离为 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化,棱柱的几何特征,球的几何特征,点到面的距离问题的解决技巧,有一定难度,属中档题 ‎12.已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先判断时,在上恒成立;若在上恒成立,转化为在上恒成立。‎ ‎【详解】‎ ‎∵,即,‎ ‎(1)当时,,‎ 当时,,‎ 故当时,在上恒成立;‎ 若在上恒成立,即在上恒成立,‎ 令,则,‎ 当函数单增,当函数单减,‎ 故,所以。当时,在上恒成立;‎ 综上可知,的取值范围是,‎ 故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的最值问题,关键利用求导的方法研究函数的单调性,进行综合分析。‎ 二、填空题 ‎13.观察下列不等式 ‎,‎ ‎……‎ 照此规律,第五个不等式为 ‎ ‎【答案】:‎ ‎【解析】试题分析:照此规律,第个式子为,第五个为.‎ ‎【考点】归纳推理.‎ ‎【名师点睛】归纳推理的定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.是由部分到整体、由个别到一般的推理.‎ ‎14. 在四边形中,, , , ,点在线段的延长线上,且,则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。‎ ‎【详解】‎ 建立如图所示的直角坐标系,则,。‎ 因为∥,,所以,‎ 因为,所以,‎ 所以直线的斜率为,其方程为,‎ 直线的斜率为,其方程为。‎ 由得,,‎ 所以。‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 平面向量问题有两大类解法:基向量法和坐标法,在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。‎ ‎15.(5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是   .‎ ‎【答案】(﹣7,3)‎ ‎【解析】设x<0,则-x>0.‎ ‎∵当x≥0时,‎ f(x)=x2-4x,‎ ‎∴f(-x)=(-x)2-4(-x).‎ ‎∵f(x)是定义在R上的偶函数,‎ ‎∴f(-x)=f(x),‎ ‎∴f(x)=x2+4x(x<0),‎ ‎∴f(x)=‎ 由f(x)=5得 或 ‎∴x=5或x=-5.‎ 观察图像可知由f(x)<5,得-51,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n.‎ ‎(Ⅰ)求q的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式. ‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 分析:(Ⅰ)根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比;(Ⅱ)先根据数列前n项和求通项,解得,再通过叠加法以及错位相减法求.‎ ‎【详解】‎ 详解:(Ⅰ)由是的等差中项得,‎ 所以,‎ 解得.‎ 由得,‎ 因为,所以.‎ ‎(Ⅱ)设,数列前n项和为.‎ 由解得.‎ 由(Ⅰ)可知,‎ 所以,‎ 故,‎ ‎ .‎ 设,‎ 所以,‎ 因此,‎ 又,所以.‎ 点睛:用错位相减法求和应注意的问题:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎19.函数f(x)=6cos2sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B,C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形 ‎(1)求ω的值及函数f(x)的表达式;‎ ‎(2)若f(x0),且x0∈(),求f(x0+1)的值 ‎【答案】(1)ω,f(x)=2(2)‎ ‎【解析】(1)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简,根据题意求得BC的长,进而求得三角函数的最小正周期,则ω可得.求得f(x)的表达式,根据三角函数的性质求得函数f(x)的值域.‎ ‎(2)由,知 x0∈(,),由f(),可求得即sin(),利用两角和的正弦公式即可求得f(+1).‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数f(x)=6cos2sinωx﹣3=3cosωxsinωx=2sin(ωx),由于△ABC为正三角形,所以三角形的高为,所以BC=4.‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T=4×2=8,所以ω,‎ 故得到f(x)=2.‎ ‎(2)由于若f(x0),所以,整理得,由于x0∈()所以,所以,‎ 所以f(x0+1)=2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质,考查分析转化与运算能力,属于中档题.‎ ‎20.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.‎ ‎(1)证明:BE⊥DC;‎ ‎(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;‎ ‎(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) (3) ‎ ‎【解析】试题分析:(I)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC的方向向量,根据 ‎,可得BE⊥DC;(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F-AB-P的余弦值 试题解析:方法一:依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).C由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).‎ ‎(1)证明:向量=(0,1,1),=(2,0,0),‎ 故=0,‎ 所以BE⊥DC. ‎ ‎(2)向量=(-1,2,0),=(1,0,-2).‎ 设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量,‎ 则 ‎ 不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.于是有 ‎===,‎ 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.‎ ‎(3) 向量=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0).‎ 由点F在棱PC上,设=λ,0≤λ≤1.‎ 故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF⊥AC,得=0,因此2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=,即=.设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量,即不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),则 cos〈n1,n2〉===-.‎ 易知二面角F AB P是锐角,所以其余弦值为.‎ 方法二:(1)证明:如图所示,取PD中点M,连接EM,AM.由于E,M分别为PC,PD的中点,故EM∥DC,且EM=DC.又由已知,可得EM∥AB且EM=AB,故四边形ABEM为平行四边形,所以BE∥AM.‎ 因为PA⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥DA,从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.又BE∥AM,所以BE⊥CD.‎ ‎(2)连接BM,由(1)有CD⊥平面PAD,得CD⊥PD.而EM∥CD,故PD⊥EM.又因为AD=AP,M为PD的中点,所以PD⊥AM,可得PD⊥BE,所以PD⊥平面BEM,故平面BEM⊥平面PBD,所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM,可得∠EBM为锐角,故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角.‎ 依题意,有PD=2,而M为PD中点,可得AM=,进而BE=.故在直角三角形BEM中,tan∠EBM===,因此sin∠EBM=,‎ 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.‎ ‎(3)如图所示,在△PAC中,过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD,所以FH⊥底面ABCD,从而FH⊥AC.又BF⊥AC,得AC⊥平面FHB,因此AC⊥BH.在底面ABCD内,可得CH=3HA,从而CF=3FP.在平面PDC内,作FG∥DC交PD于点G,于是DG=3GP.由于DC∥AB,故GF∥AB,所以A,B,F,G四点共面.由AB⊥PA,AB⊥AD,得AB⊥平面PAD,故AB⊥AG,所以∠PAG为二面角F AB P的平面角.‎ 在△PAG中,PA=2,PG=PD=,∠APG=45°.由余弦定理可得AG=,cos∠PAG=,所以二面角F AB P的余弦值为.‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面所成的角 ‎21.已知函数,其中,为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若,函数在区间内有零点,求的取值范围 ‎【答案】(Ⅰ)当时,;当时,;‎ 当时,.(Ⅱ)的范围为.‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)易得,再对分情况确定的单调区间,根据在上的单调性即可得在上的最小值.(Ⅱ)设为在区间内的一个零点,注意到.联系到函数的图象可知,导函数在区间内存在零点,在区间内存在零点,即在区间内至少有两个零点. 由(Ⅰ)可知,当及时,在内都不可能有两个零点.所以.此时,在上单调递减,在上单调递增,因此,且必有.由得:,代入这两个不等式即可得的取值范围.‎ 试题解答:(Ⅰ)‎ ‎①当时,,所以.‎ ‎②当时,由得.‎ 若,则;若,则.‎ 所以当时,在上单调递增,所以.‎ 当时,在上单调递减,在上单调递增,所以.‎ 当时,在上单调递减,所以.‎ ‎(Ⅱ)设为在区间内的一个零点,则由可知,‎ 在区间上不可能单调递增,也不可能单调递减.‎ 则不可能恒为正,也不可能恒为负.‎ 故在区间内存在零点.‎ 同理在区间内存在零点.‎ 所以在区间内至少有两个零点.‎ 由(Ⅰ)知,当时,在上单调递增,故在内至多有一个零点.‎ 当时,在上单调递减,故在内至多有一个零点.‎ 所以.‎ 此时,在上单调递减,在上单调递增,‎ 因此,必有 ‎.‎ 由得:,有 ‎.‎ 解得.‎ 当时,在区间内有最小值.‎ 若,则,‎ 从而在区间上单调递增,这与矛盾,所以.‎ 又,‎ 故此时在和内各只有一个零点和.‎ 由此可知在上单调递增,在 上单调递减,在上单调递增.‎ 所以,,‎ 故在 内有零点.‎ 综上可知,的取值范围是.‎ ‎【考点定位】导数的应用及函数的零点.‎ ‎22.‎ 在平面直角坐标系中,的参数方程为(为参数),过点且倾斜角为的直线与交于两点.‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)求中点的轨迹的参数方程.‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2)为参数,‎ ‎【解析】分析:(1)由圆与直线相交,圆心到直线距离可得。‎ ‎(2)联立方程,由根与系数的关系求解 详解:(1)的直角坐标方程为.‎ 当时,与交于两点.‎ 当时,记,则的方程为.与交于两点当且仅当,解得或,即或.‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎(2)的参数方程为为参数, .‎ 设,,对应的参数分别为,,,则,且,满足.‎ 于是,.又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是 为参数, .‎ 点睛:本题主要考查直线与圆的位置关系,圆的参数方程,考查求点的轨迹方程,属于中档题。‎ ‎23.‎ 设函数.‎ ‎(1)画出的图像;‎ ‎(2)当,,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)见解析 ‎(2)‎ ‎【解析】分析:(1)将函数写成分段函数,再画出在各自定义域的图像即可。‎ ‎(2)结合(1)问可得a,b范围,进而得到a+b的最小值 详解:(1) 的图像如图所示.‎ ‎(2)由(1)知,的图像与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值为.‎ 点睛:本题主要考查函数图像的画法,考查由不等式求参数的范围,属于中档题。‎
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