【数学】天津市和平区2020届高三下学期线上学习阶段性评估检测试题（解析版）

【数学】天津市和平区2020届高三下学期线上学习阶段性评估检测试题（解析版）

天津市和平区2020届高三下学期线上学习阶段性评估检测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（　　）‎ A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}‎ ‎2．设a∈R，则“|a﹣1|≤‎1”‎是“﹣a2+‎3a≥‎0”‎的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎3．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（　　）‎ A． B．‎1 ‎C．2 D．‎ ‎4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x（万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎10‎ ‎26‎ ‎35‎ ‎49‎ 根据上表可得回归方程x的等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（　　）‎ A．54万元 B．55万元 C．56万元 D．57万元 ‎5．设a＝sin，b＝log23，c＝（），则（　　）‎ A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a ‎6．著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（　　）‎ A．2 B．‎2‎ C．4 D．4‎ ‎8．已知函数f（x）＝cosx﹣|sinx|，那么下列命题中假命题是（　　）‎ A．f（x）是偶函数 ‎ B．f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点 ‎ C．f（x）是周期函数 ‎ D．f（x）在[﹣π，0]上是增函数 ‎9．已知函数f（x），g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣‎2g（a）＝0，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） ‎ C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．‎ ‎10．设复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则|z|＝　 　．‎ ‎11．二项式的展开式中，常数项为　 　（用数字作答）‎ ‎12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，若四边形AA‎1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为　 　．‎ ‎13．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是　 　若X表示摸出黑球的个数，则EX＝　 　．‎ ‎14．已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2取得最小值为　 　时，a+b＝　 　．‎ ‎15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且•1，则tanA＝　 　，•　 　．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．已知函数f（x）sin2x﹣cos2x．‎ ‎（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合．‎ ‎（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c，f（C）＝0，若sinB＝2sinA，求a，b的值．‎ ‎17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，已知BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝90°，AB⊥侧面BB1CC1．‎ ‎（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；‎ ‎（2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．‎ ‎（3）在（2）的条件下，若AB，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小．‎ ‎18．（15分）已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合 ‎（ I）求椭圆C的方程；‎ ‎（ II）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值 ‎（ III）△ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？‎ ‎19．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，‎2a2＝a4﹣a3，数列{bn}满足bn＝1+2log2an．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）令cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn；‎ ‎（3）若λ＞0，且对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2成立，求k的取值范围．‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）当a＝0时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x），若存在区间，使得函数g（x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，求实数k的最大值．‎ 参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．∵A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，‎ 又C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C＝{1，2，4}．‎ 故选：B．‎ ‎2．|a﹣1|≤1，解得：0≤a≤2，﹣a2+‎3a≥0，解得：0≤a≤3，‎ ‎∴“|a﹣1|≤‎1”‎是“﹣a2+‎3a≥‎0”‎的充分非必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎3．因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2＝5的方程，所以P在圆上，‎ 又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，‎ 所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行，‎ 所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a2．‎ 故选：C．‎ ‎4．由题意，（1+2+4+5）＝3，（10+26+35+49）＝30．‎ ‎∵回归方程x的等于9，‎ ‎∴30＝9×3+a，‎ ‎∴a＝3‎ ‎∴y＝9x+3‎ 当x＝6时，y＝9×6+3＝57万元 故选：D．‎ ‎5．∵a，b＞1，c，‎ ‎∴c＜a＜b．‎ 故选：B．‎ ‎6．根据题意，函数f（x），其定义域为{x|x≠0}，‎ 有f（﹣x）（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，‎ 又由x＞0时，有ex＞e﹣x，即有ex﹣e﹣x＞0，则有f（x）＞0，排除D，‎ 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C；‎ 故选：B．‎ ‎7．根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），‎ 即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x，则p＝4，‎ 则抛物线的焦点为（2，0）；‎ 则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；‎ 点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，‎ 由双曲线的性质，可得b＝1；‎ 则c，则焦距为‎2c＝2‎ 故选：A．‎ ‎8．对于A，函数f（x）＝cosx﹣|sinx|，定义域为R，‎ 且满足f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣|sin（﹣x）|＝cosx﹣|sinx|＝f（x），f（x）为定义域R上的偶函数，A正确；‎ 对于B，x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，f（x）＝cosx﹣|sinx|＝cosx+sinxsin（x），‎ 且x∈[，]，∴f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点是，B正确；‎ 对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数f（x）是最小正周期为2π的周期函数，C正确；‎ 对于D，x∈[﹣π，0]时，f（x）sin（x），且x∈[，]，∴f（x）在[﹣π，0]上先减后增，D错误．‎ 故选：D．‎ ‎9．∵g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，‎ ‎∴‎2g（a）＝‎2a2﹣‎4a，a∈R，‎ ‎∵y＝‎2a2﹣‎4a，a∈R，‎ ‎∴当a＝1时，y最小值＝﹣2，‎ ‎∵函数f（x），‎ f（﹣7）＝6，f（e﹣2）＝﹣2，‎ ‎∴值域为[﹣2，6]‎ ‎∵存在实数m，使f（m）﹣‎2g（a）＝0，‎ ‎∴﹣2≤‎2a2﹣‎4a≤6，‎ 即﹣1≤a≤3，‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．‎ ‎10．由（1+i）z＝3﹣i，得z1﹣2i，‎ ‎∴|z|；‎ 故答案为：．‎ ‎11．依题意，二项式的展开式的第k+1项为：‎ Tk+1•，‎ 由80解得，k＝6，‎ 所以常数项为：112，‎ 故答案为：112．‎ ‎12．∵在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，若四边形AA‎1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，‎ ‎∴A‎1C1⊥AA1，AC2+AB2＝BC2，∴A‎1C1⊥A1B1，‎ ‎∵AA1∩A1B1＝A1，∴A‎1C1⊥平面A1MB，‎ ‎∵M是AA1的中点，∴3，‎ ‎∴三棱锥A1﹣MBC1的体积：‎ ‎4．‎ 故答案为：4．‎ ‎13．恰有一个黑球的概率P．‎ 由题意可得：X＝0，1，2．‎ P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）．‎ 可得X的分布列：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴EX12．‎ 故答案为：．‎ ‎14．因为a＞0，b＞0，‎ 所以a+4b，当且仅当a＝4b时取等号，‎ 所以（a+4b）2≥16ab，‎ 则（a+4b）28，‎ 当且仅当即a＝1，b时取等号，此时取得最小值8，a+b．‎ 故答案为：8，‎ ‎15．以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，‎ 设A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），且D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，‎ ‎∴D（，），E（，），M（ ，），N（ ，），‎ ‎∴（a，），（﹣a，），且 •1，‎ ‎∴﹣a21①，‎ 又AC＝3，∴a2+b2＝9②，‎ 联立①②得，a2，‎ 在△ABC中，由余弦定理得，cosA．‎ 因为A为等腰三角形的顶角；且cosA，‎ ‎∴sinA；‎ ‎∴tanA；‎ sin；‎ ‎∴cosB＝cos（）＝sin；‎ ‎∴••3×‎2a×cosB＝﹣3．‎ 故答案为：，．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本题满分为14分）‎ 解：（1）∵f（x）sin2x﹣cos2xsin2xsin（2x）﹣1，…4分 ‎∴当2x2kπ，即x＝kπ（k∈Z）时，f（x）的最小值为﹣2，…6分 此时自变量x的集合为：{x/x＝kπ，k∈Z}…7分 ‎（2）∵f（C）＝0，‎ ‎∴sin（‎2C）﹣1＝0，‎ 又∵0＜C＜π，‎ ‎∴‎2C，可得：C，…9分 ‎∵sinB＝2sinA，由正弦定理可得：b＝‎2a①，又c，‎ ‎∴由余弦定理可得：（）2＝a2+b2﹣2abcos，可得：a2+b2﹣ab＝3②，…13分 ‎∴联立①②解得：a＝1，b＝2…14分 ‎17．以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）‎ ‎（1）直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，‎ 平面ABC的法向量，又，‎ 设BC1与平面ABC所成角为θ ‎，则．‎ ‎（2）设E（1，y，0），A（0，0，z），则，‎ ‎∵EA⊥EB1，‎ ‎∴‎ ‎∴y＝1，即E（1，1，0）所以E为CC1的中点．‎ ‎（3）∵A（0，0，），则，‎ 设平面AEB1的法向量m＝（x1，y1，z1），‎ 则∴，‎ 取m＝（1，1，），‎ ‎∵，‎ ‎∴BE⊥B1E，又BE⊥A1B1∴BE⊥平面A1B1E，‎ ‎∴平面A1B1E的法向量，‎ ‎∴cos＜m，，‎ ‎∴二面角A﹣EB1﹣A1为45°．‎ ‎18．（Ⅰ）∵点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，‎ ‎∴，解得a＝2，，，‎ ‎∴椭圆C的方程为．…（2分）‎ 证明：（Ⅱ）设D（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，‎ 则kAD+kAB ‎，（*）‎ 设直线BD的方程为，‎ 联立，‎ ‎∴△＝﹣8b2+64＞0，解得﹣2b＜2，，﹣﹣﹣﹣①，‎ ‎②，‎ 将①、②式代入*式整理得0，‎ ‎∴kAD+kAB＝0，∴直线AB，AD的斜率之和为定值．‎ 解：（Ⅲ）|BD||x1﹣x2|，‎ 设d为点A到直线BD：的距离，∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当b＝±2时取等号，‎ ‎∵±2，∴当b＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为．‎ ‎19．（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，‎ a1＝2，‎2a2＝a4﹣a3，可得4q＝2q3﹣2q2，解得q＝2（﹣1舍去），‎ 可得an＝2n；‎ bn＝1+2log2an＝1+2log22n＝1+2n；‎ ‎（2）cn＝an•bn＝（2n+1）•2n，‎ 前n项和Sn＝3•2+5•4+7•8+…+（2n+1）•2n，‎ ‎2Sn＝3•4+5•8+7•16+…+（2n+1）•2n+1，‎ 两式相减可得﹣Sn＝6+2（4+8+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1‎ ‎＝6+2•（2n+1）•2n+1，‎ 化简可得Sn＝2+（2n﹣1）•2n+1；‎ ‎（3）若λ＞0，且对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2成立，‎ 即为2λ2﹣kλ+2的最大值，‎ 由0，‎ 可得{}递减，可得n＝1时，取得最大值，‎ 可得2λ2﹣kλ+2，即为k＜2λ的最小值，‎ 可得2λ22，当且仅当λ时取得最小值2，‎ 则k＜2．‎ ‎20．（1）当a＝0时，f（x）＝x﹣lnx（x＞0），这时的导数，‎ 令f'（x）＝0，即，解得x＝1，令f'（x）＞0得到x＞1，令f'（x）＜0得到0＜x＜1，‎ 故函数f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；故函数f（x）在x＝1时取到最小值，‎ 故f（x）min＝f（1）＝1；‎ ‎（2）当a＞0时，函数导数为 ‎，‎ 若a＝1时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，‎ 若a＞1时，，当x＞1或时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，‎ 即函数f（x）在区间，（1，+∞）上单调递减，在区间上单调递增．‎ 若0＜a＜1时，，当或0＜x＜1时，f'（x）＜0，‎ 当时，f'（x）＞0，‎ 函数f（x）在区间（0，1），上单调递减，在区间上单调递增．‎ 综上，若a＝1时，函数f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间，‎ 若a＞1时，函数f（x）的减区间为，（1，+∞），增区间为，‎ 若0＜a＜1时，函数f（x）的减区间为（0，1），，增区间为．‎ ‎（3）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x）＝x2﹣xlnx．‎ 令g'（x）＝2x﹣lnx﹣1，，‎ 当时，g''（x）≥0，g'（x）为增函数，，g（x）为增函数，g（x）在区间上递增，‎ ‎∵g（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，‎ ‎∴g（x）＝k（x+2）﹣2在上至少有两个不同的正根，，令，‎ 求导得，，‎ 令，‎ 则，‎ 所以G（x）在递增，，G（1）＝0，‎ 当，G（x）＜0，‎ ‎∴F'（x）＜0，当x∈[1，+∞），G（x）＞0，‎ ‎∴F'（x）＞0，‎ 所以F（x）在上递减，在[1，+∞）上递增，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴k的最大值为．‎