2019-2020学年江西省九江市九江一中高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省九江市九江一中高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省九江市九江一中高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合,集合,则中所含整数的个数为( )‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】解指数不等式求得集合，由此求得，进而判断出中所含整数的个数.‎ ‎【详解】‎ 由，所以，所以，所以，所含整数为共个.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数不等式的解法，考查交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：A中函数在区间上单调递减；B中函数不是奇函数；C中函数不是奇偶函数；D中函数既是奇函数又在区间上单调递增的函数 ‎【考点】函数奇偶性单调性 ‎3．设,,,则,,的大小关系是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用“分段法”比较出三者的大小关系.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.‎ ‎4．已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）．‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】通过举反例可知A,B,C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知D正确.‎ ‎【详解】‎ 项，若，，则或与相交，故项错误；‎ 项，若，，则或与相交，故项错误；‎ 项，若，，则，，相交，异面都有可能，故项错误；‎ 项，若，，由线面垂直的性质定理可知，故项正确．‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题.‎ ‎5．两条直线，互相垂直，则的值是（ ）‎ A．3 B．-1 C．-1或3 D．0或3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，解得，故选C．‎ ‎6．若函数是上的单调函数,则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据在上的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 二次函数的开口向上，对称轴为，左减右增，所以且在上递减.故，解得，所以实数的取值范围是.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二次函数的图像与性质，考查指数函数单调性，考查分段函数单调性，属于基础题.‎ ‎7．已知,,为直角三角形中的三边长,为斜边长,若点在直线上,则的最小值为( )‎ A．2 B．3 C．4 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】写出勾股定理，将点坐标代入直线的方程，根据的几何意义，求得其最小值.‎ ‎【详解】‎ 由于，，为直角三角形中的三边长，为斜边长，所以.由于点在直线上，表示直线上的点到原点的距离的平方，原点到直线的的距离为，所以的最小值为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查勾股定理，考查点到直线的距离公式，属于基础题.‎ ‎8．在正四面体A—BCD中，棱长为4，M是BC的中点，‎ 点P在线段AM上运动（P不与A、M重合），过 点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，‎ 给出下列命题：‎ ‎①BC⊥平面AMD ②Q点一定在直线DM上 ‎③‎ 其中正确的是（ ）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ ‎∵A−BCD为正四面体且M为BC的中点，‎ ‎∴AM⊥BC，DM⊥BC，‎ 又∵AM∩DM=M，‎ ‎∴BC⊥平面ADM，故①正确。‎ ‎∵PQ⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，‎ ‎∴PQ⊥BC，‎ 又∵P∈AM∴P∈平面AMD，‎ 又∵BC⊥平面AMD，‎ ‎∴Q∈平面AMD，‎ 又∵平面AMD∩平面BCD=MD，∴Q∈MD故②正确。‎ 由①得BC⊥平面ADM，‎ ‎∴把MC作为四面体C−MAD的高，为其底面 在三角形中，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故③错误。‎ 故选A.‎ ‎9．已知圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，a，b为正实数，则ab的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab的最大值．‎ ‎【详解】‎ 由已知，‎ 圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1的圆心为C1（﹣a，2），半径r1=1．‎ 圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4的圆心为C2（b，2），半径r2=2．‎ ‎∵圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，‎ ‎∴|C1C2|=r1+r2．‎ 即a+b=3．‎ 由基本不等式，得．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．‎ ‎10．已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递减,若,则不等式解集为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据为偶函数，判断出的单调区间和零点，由此求得不等式解集.‎ ‎【详解】‎ 由于函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， ，所以在上递增且.所以或，解得或，所以不等式解集为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数的单调性和奇偶性解不等式，属于基础题.‎ ‎11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图所提供的图形和数据可知：该几何体是一个底面是两直角边分别为直角三角形，高为的三棱锥，则其外接球的直径为，其表面积，应选答案B ‎。‎ ‎12．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据幂函数定义解得m,再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，则，即，当时， ，又当时， ，∴，解得，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由，得，故函数定义域为 ‎【考点】函数定义域 ‎14．点和点的距离的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用两点间的距离公式列式，结合二次函数的形式求得距离的最小值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，当时，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两点间的距离公式，考查二次函数最值的求法，属于基础题.‎ ‎15．三条直线,,围成一个三角形,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使三条直线能围成三角形，则不经过与的交点，且与都不平行，由此求得的的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由解得.直线不过点，即，解得①.的斜率为，的斜率为，当时，直线与能围成三角形；当时，直线的斜率为，所以且，即且②.由①②得的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查两条直线的交点坐标的求法，属于基础题.‎ ‎16．已知函数,则关于的方程的实根个数构成的集合为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出的图像.令，并画出图像，结合两个函数图像以及，判断出实根个数构成的集合.‎ ‎【详解】‎ 画出的图像如图所示.令，画出图像如图所示.‎ 由解得.由，解得.‎ 由解得.由，解得..‎ 由解得.由，解得.‎ ‎（1）当时，，有解，且或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.‎ ‎（2）当时，，有解，且或或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.‎ ‎（3）当时，，有解，且或或或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.‎ ‎（4）当时，，有解，且或或或，结合的图像可知，其中对应一个，其它三个都有两个 与其对应，故此时有个实数根.‎ ‎（5）当时，，有解，且或或，结合的图像可知，时没有与其对应，或时每个都有个与其对应，故此时有个实数根.‎ ‎（6）当时，，有解，且或，有一个与其对应，有两个与其对应，故此时有个实数根.‎ ‎（7）当时，，有解，且，结合的图像可知，每个有两个与其对应，故此时有个实数根.‎ 综上所述，关于的方程的实根个数构成的集合为.‎ 故答案为： ‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．集合,,,全集为.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】（1）根据补集和交集的概念和运算，求得.‎ ‎（2）先求得，再根据，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，所以.‎ ‎（2）依题意，由于，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎18．在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：面；‎ ‎（Ⅱ）求点到面的距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）取中点，连结，，∵，分别为，的中点，‎ ‎∴可证得，，∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，又∵平面，平面，‎ ‎∴面．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎19．已知函数.‎ ‎(1)用函数单调性的定义证明在区间上为增函数;‎ ‎(2)解不等式.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】（1）通过计算，证得在区间上为增函数.‎ ‎（2）利用的单调性，化简不等式，由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为.任取，则.‎ 当时，，而，所以，所以在区间上为增函数.‎ ‎（2）由于，且由（1）知在区间上为增函数，所以由可得，即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题.‎ ‎20．已知圆上一点关于直线的对称点仍在圆上,直线截得圆的弦长为.‎ ‎(1)求圆的方程;‎ ‎(2)设是直线上的动点,､是圆的两条切线,､为切点,求四边形面积的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)4.‎ ‎【解析】（1）根据对称性判断出圆心在直线上，由此设出圆心坐标，利用弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的方程.‎ ‎（2）根据圆的切线的几何性质，判断出四边形面积最小时，垂直于直线，根据点到直线的距离公式求得的最小值，进而求得四边形面积的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于圆上一点关于直线的对称点仍在圆上，所以圆心在直线上，设圆心的坐标为，半径，依题意直线截得圆的弦长（其中是圆心到直线的距离，即.）所以，即，解得，所以圆心，.所以圆的方程为.‎ ‎（2），而，所以当最小时，最小，从而最小.的最小值为圆心到直线的距离，即，此时，也即的最小值为，所以四边形面积的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查圆的标准方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎21．如图甲,在平面四边形中,已知,,,,现将四边形沿折起,使平面平面(如图乙),设点､分别为棱､的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)设,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】（1）通过证明，由此证得平面.‎ ‎（2）证得，通过计算的体积，求得的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）折叠前：由于,,,，所以，.‎ 折叠后：由于平面平面，平面平面，，所以平面，所以，由于，，所以平面.‎ ‎（2）由于，所以.由于分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以，由于三棱锥和三棱锥的高相等，故，即.而.所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，属于中档题.‎ ‎22．已知函数,,.‎ ‎(1)当时,判断函数在上的单调性及零点个数;‎ ‎(2)若关于的方程有两个不相等实数根,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)在上为增函数,一个;(2).‎ ‎【解析】（1）当时，分别判断出和在上的单调性，由此判断出在上的单调性.利用零点存在性定理，判断出在区间上的零点个数.‎ ‎（2）化简方程，分离出常数，结合二次函数的性质，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由，解得或.‎ ‎（1）由于，由于在上递增，根据复合函数单调性可知，在上递增，当时，在上递增，所以在上递增.由于，，所以在区间上有个零点.‎ ‎（2）方程可化为，即，化简得，（或），画出（或）的图像如下图所示，要使有两个解，则需，解得.所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复合函数单调性的判断，考查根据方程解的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎