2018《单元滚动检测卷》高考数学（理）（苏教版）精练检测三 导数及其应用

2018《单元滚动检测卷》高考数学（理）（苏教版）精练检测三 导数及其应用

单元滚动检测三　导数及其应用 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．‎ ‎2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．‎ ‎3．本次考试时间120分钟，满分160分．‎ ‎4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．‎ 第Ⅰ卷 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)‎ ‎1．(2016·南京模拟)曲线f(x)＝xln x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为________．‎ ‎2．(2016·福建三明一中月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.‎ ‎3．已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是____________________．‎ ‎4．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数且满足f(x)＜－xf′(x)，则不等式(x＋1)f(x＋1)＞f(x2－1)·f(x2－1)的解集是________．‎ ‎5．(2016·苏州一模)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．‎ ‎6．若函数y＝cos x＋ax在[－，]上是增函数，则实数a的取值范围是____________．‎ ‎7．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为__________．‎ ‎8．(2016·泰州模拟)已知函数f(x)＝x－sin x－cos x的图象在点A(x0，y0)处的切线的斜率为1，则tan x0＝________.‎ ‎9．(2016·连云港模拟)已知函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．‎ ‎10．(2016·兰州高三实战考试)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意的实数x都有f(x)≥0，则的取值范围是______________．‎ ‎11．(2016·金华十校联考(二))若函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围为________．‎ ‎12(2016·新余二模)函数f(x)＝xsin x＋cos x在[，π]上的最大值为________．‎ ‎13．已知函数f(x)＝1n x－a，若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎14．设函数f(x)＝，g(x)＝，若对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．‎ 第Ⅱ卷 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(14分)(2016·南京模拟)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.‎ ‎(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；　‎ ‎(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．‎ ‎16.(14分)已知函数f(x)＝ln x－.‎ ‎(1)若a＞0，试判断f(x)在定义域内的单调性；‎ ‎(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值.‎ ‎17.(14分)(2016·苏北四市一模)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋b(a，b为常数)，其图象是曲线C.‎ ‎(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调减区间；‎ ‎(2)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若存在唯一的实数x0，使得f(x0)＝x0与f′(x0)＝0同时成立，求实数b的取值范围.‎ ‎18.(16分)(2016·宿迁一模)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(x∈R)，已知F(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数，且F(1)＝－11.‎ ‎(1)求b，c，d的值；　(2)求F(x)的单调区间与极值.‎ ‎19.(16分)(2016·淮安质检)设函数f(x)＝cln x＋x2＋bx(b，c∈R，c≠0)，且x＝1为f(x)的极值点．‎ ‎(1)若x＝1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；‎ ‎(2)若f(x)＝0恰有两解，求实数c的取值范围.‎ ‎20.(16分)已知f(x)＝aln x＋x2－x(a∈R)．‎ ‎(1)若x＝2是函数f(x)的一个极值点，求f(x)的最小值；‎ ‎(2)对任意x∈(e，＋∞)，f(x)－ax＞0恒成立，求a的取值范围.‎ 答案精析 ‎1. 解析　∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，‎ 又∵直线倾斜角的取值范围是[0，π)．‎ ‎∴f(x)在(1，f(1))处的切线的倾斜角为.‎ ‎2．－1‎ 解析　因为f(x)＝2xf′(1)＋1n x，‎ 所以f′(x)＝2f′(1)＋，‎ 令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1.‎ ‎3．(0，)和(2，＋∞)‎ 解析　函数f(x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，‎ 令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，‎ 解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是(0，)，(2，＋∞)．‎ ‎4．(2，＋∞)‎ 解析　因为f(x)＋xf′(x)＜0，所以[xf(x)]′＜0，故xf(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，‎ 又(x＋1)f(x＋1)＞(x2－1)·f(x2－1)，所以x＋1＜x2－1，解得x＞2.‎ ‎5．3‎ 解析　f′(x)＝a(ln x＋x·)＝a(ln x＋1)，‎ 又f′(1)＝3，所以f′(1)＝a＝3.‎ ‎6．[1，＋∞)‎ 解析　y′＝－sin x＋a，若函数在[－，]上是增函数，‎ 则a≥sin x在[－，]上恒成立，所以a≥1，‎ 即实数a的取值范围是[1，＋∞)．‎ ‎7．(0,1)‎ 解析　∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得a＝x2.‎ 又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1.‎ ‎8．－ 解析　由题意知f′(x)＝－cos x＋sin x，‎ 且f′(x0)＝－cos x0＋sin x0＝1，‎ 化简得sin(x0－)＝1，从而得x0＝2kπ＋，k∈Z，所以tan x0＝－.‎ ‎9.－1‎ 解析　由f(x)＝，得f′(x)＝，‎ 当a>1时，若x>，则f′(x)<0，f(x)单调递减，若10，f(x)单调递增，故当x＝时，函数f(x)有最大值＝，得a＝<1，不合题意；当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)＝，不合题意；当00，∴b>0，‎ 又∵∀x∈R，都有f(x)≥0，∴ ‎∴ac≥⇒≥⇒·≥，‎ ‎∴c>0.∴＝＝1＋＋ ‎≥1＋2 ≥1＋2＝2，‎ 当且仅当＝＝⇒a＝c＝b>0时，等号成立，‎ ‎∴的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎11．(－∞，2)‎ 解析　函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，‎ 即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，又f′(x)＝＋a，即＋a＝2在(0，＋∞)上有解，‎ 即a＝2－在(0，＋∞)上有解，因为x＞0，所以2－＜2，‎ 所以实数a的取值范围是(－∞，2)．‎ ‎12. 解析　因为f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，‎ 所以f′(x)＝0在[，π]上的解为x＝.‎ 又f()＝＋，f()＝，f(π)＝－1，‎ 所以函数f(x)＝xsin x＋cos x在[，π]上的最大值为.‎ ‎13．[－1，＋∞)‎ 解析　∵函数f(x)＝ln x－a，‎ 且f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴函数f(x)＝ln x－a＜x2在(1，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴a＞ln x－x2，令h(x)＝ln x－x2，有h′(x)＝－2x，‎ ‎∵x＞1，∴－2x＜0，‎ ‎∴h(x)在(1，＋∞)上为减函数，‎ ‎∴当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜h(1)＝－1，∴a≥－1.‎ ‎14．[，＋∞)‎ 解析　当x＞0时，f(x)＝＝e2x＋≥2 ＝2e，当且仅当x＝时取等号，所以当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)有最小值2e.因为g(x)＝，所以g′(x)＝ ‎＝－.当0＜x＜2时，g′(x)＞0，则函数g(x)在(0,2)上单调递增，当x＞2时，g′(x)＜0，则函数g(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以当x＝2时，函数g(x)有最大值g(2)＝4，则当x1，x2∈(0，＋∞)时，f(x2)min＝2e＞g(x1)max＝4.因为≤恒成立，且k＞0，‎ 所以≥，所以k≥.‎ ‎15．解　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，‎ ‎∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，‎ ‎∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，‎ 即x－y－4＝0.‎ ‎(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)．‎ ‎∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，‎ ‎∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，‎ 又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，‎ ‎∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)·(x0－2)，‎ 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，‎ 解得x0＝2或x0＝1，‎ ‎∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.‎ ‎16．解　(1)由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ 且f′(x)＝＋＝，a＞0，‎ 显然f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．‎ ‎(2)由(1)可知，f′(x)＝.‎ ‎①若a≥－1，则当x∈(1，e)时，x＋a＞0，即f′(x)＞0，‎ 故f(x)在[1，e]上为增函数，‎ 所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－(舍去)．‎ ‎②若a≤－e，则当x∈(1，e)时，x＋a＜0，即f′(x)＜0，‎ 故f(x)在[1，e]上为减函数，‎ 所以f(x)min＝f(e)＝1－＝，‎ 所以a＝－(舍去)．‎ ‎③若－e＜a＜－1，令f′(x)＝0，得x＝－a，‎ 当1＜x＜－a时，f′(x)＜0，f(x)在(1，－a)上为减函数；‎ 当－a＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)在(－a，e)上为增函数．‎ 所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，‎ 所以a＝－，满足－e0，得x<－或x>－；‎ 令g′(x)<0，得－

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