2017年安徽省淮北市高考一模数学理

2017年安徽省淮北市高考一模数学理

2017 年安徽省淮北市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P=(-∞，0]∪(3，+∞)，Q={0，1，2，3}，则(ð RP)∩Q=( ) A.{0，1} B.{0，1，2} C.{1，2，3} D.{x|0≤x＜3} 解析：根据补集与交集的定义，写出对应的结果即可. 答案：C. 2.复数 z= 1 i i 的共轭复数的模为( ) A. 1 2 B. 2 2 C.1 D.2 解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，结合| z |=|z|求解. 答案：B. 3.已知 x，y 满足线性约束条件 3 5 yx xy y       ，若 z=x+4y 的最大值与最小值之差为 5，则实数 λ的值为( ) A.3 B. 7 3 C. 3 2 D.1 解析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值和最 小值.建立方程关系进行求解即可. 答案：A. 4.函数 f(x)=|x|+ a x (其中 a∈R)的图象不可能是( ) A. B. C. D. 解析：分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断. 答案：C. 5.已知三个数 1，a，9 成等比数列，则圆锥曲线 22 2 xy a  =1 的离心率为( ) A. 3 3 B. 5 C. 5 或 10 2 D. 或 10 2 解析：由已知求得 a 值，然后分类讨论求得圆锥曲线 =1 的离心率. 答案：D. 6.在△ABC 中，∠A= 3  ，BC=4 3 ，则△ABC 的周长为( ) A.4 +8 sin(B+ 6  ) B.4 +8sin(B+ ) C.4 +8 cos(B+ ) D.4 +8cos(B+ ) 解析：由正弦定理可得 43 sin sin sin 3 2 AB AC BC C B A=8，利用三角函数恒等变换的应用， 三角形内角和定理，化简即可得解. 答案：A. 7.下列说法正确的是( ) (1)已知等比数列{an}，则“数列{an}单调递增”是“数列{an}的公比 q＞1”的充分不必要条 件； (2)二项式(2x+ 1 x )5 的展开式按一定次序排列，则无理项互不相邻的概率是 1 5 ； (3)已知 S= 1 22 0 1 4 x dx，则 S= 16  ； (4)为了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则 分段的间隔为 40. A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(2)(4) 解析：(1)等比数列{an}单调递增时公比 q＞1 且首项 a1＞0，或公比 0＜q＞1 且首项 a1 ＜0；(2)根据二项式(2x+ )5 的展开式的通项公式可得展开式中无理项项数，再用古典概 型概率计算公式可求；(3)S= 表示圆 x2+y2= 1 4 (y≥0，0≤x≤ 1 2 )的圆的面积； (4)1000÷40=25. 答案：B. 8.执行如图的程序框图，则输出 S 的值为( ) A. tan 2017 tan1949 67tan1     B. tan 2016 tan1949 67tan1     C. tan 2017 tan1949 68tan1     D. tan 2016 tan1949 68tan1     解析：执行程序框图，得出 S 的算式，再利用两角差的正切公式计算 S 的值即可. 答案：C. 9.如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、 等边三角形，则该几何体的体积( ) A. 3 3 B. 3 2 C. 23 3 D. 3 解析：如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面 ACBD⊥底面 PAB.侧面 ACBD 为直角梯形，PA ⊥AB. 答案：D. 10.若函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|- 2 2 2 2 1 1 2 2x y x y   的最大值为 0，则称 f(x)为“柯西函数”， 则下列函数： ①f(x)=x+ 1 x (x＞0)； ②f(x)=lnx(0＜x＜3)； ③f(x)=2sinx； ④f(x)= 228x  . 其中为“柯西函数”的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由柯西不等式得：对任意实数 x1，y1，x2，y2，|x1x2+y1y2|- ≤0 恒成立(当且仅当存在实数 k，使得 x1=kx2，y1=ky2 取等号)，若函数 f(x)在其图象上存在不 同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|- 的最 大值为 0，则函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得OA、OB 共 线，即存在点 A、B 与点 O 共线，逐一判定即可. 答案：C. 11.已知直线 l1 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于不同的 A，B 两点，对平面内任意点 Q 都有 ()1QC QA QB   ，λ∈R，又点 P 为直线 l2：3x+4y+4=0 上的动点，则 PA PB 的最小值为( ) A.21 B.9 C.5 D.0 解析：由 ()1QC QA QB   ，λ∈R，得三点 A、B、C 共线，由向量的线性运算的 BA PA PB， 2 2 2 22PC PA PB BA PA PB PA PB       …①， 2 2 2 42PC PA PB PA PB    …②. ②-①得 2 2 21 44PA PB PC BA PC     ，求出 PC 范围即可. 答案：C. 12.已知定义在(0，+∞)的函数 f(x)，其导函数为 f′(x)，满足：f(x)＞0 且     23 fxx x f x  ＞ 总成立，则下列不等式成立的是( ) A.e2e+3f(e)＜e2ππ3f(π) B.e2e+3f(π)＞e2ππ3f(e) C.e2e+3f(π)＜e2ππ3f(e) D.e2e+3f(e)＞e2ππ3f(π) 解析：令 g(x)=e2xx3f(x)，g′(x)=e2xx2[(2x+3)f(x)+xf′(x)]＞0，g(x)=e2xx3f(x)在(0， +∞)上单调递增g(e)＜g(π)，即可得到. 答案：A. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知实数 a，b 均大于 0，且 2211 abab      ≥2m-4 总成立，则实数 m 的取值范围是 _____. 解析：求得 2211 abab      的最小值，可得 2m-4≤2 2 ，即可得到 m 的范围. 答案：(-∞，2+ ]. 14.设随机变量ξ服从正态分布 N(2，9)，若 P(ξ＞c+1)=P(ξ＜c-1)，则 c=_____. 解析：画正态曲线图，由对称性得 c-1 与 c+1 的中点是 2，由中点坐标公式得到 c 的值. 答案：2. 15.函数 f(x)=2sinx+2cosx-sin2x+1，x∈[- 5 12  ， 3  )的值域是_____. 解析：根据题意，令 t=sinx+cosx，用 t 表示出 sin2x，求出函数 y=f(t)的解析式，根据 x 的取值范围，再求出 t 的取值范围，从而求出 f(t)值域. 答案：[ 3 22  ，3]. 16.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}是等比数列，且满足 a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3， 数列{ n n a b }的前 n 项和 Tn，若 Tn＜M 对一切正整数 n 都成立，则 M 的最小值为_____. 解析：利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出{an}以及{bn}和{ n n a b }的通项公式，利 用错位相减法进行求和，利用不等式恒成立进行求解即可. 答案：10. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中，设边 a，b，c 所对的角为 A，B，C，且 A，B，C 都不是直角， (bc-8)cosA+accosB=a2-b2. (Ⅰ)若 b+c=5，求 b，c 的值； (Ⅱ)若 a= 5 ，求△ABC 面积的最大值. 解析：(Ⅰ)由已知利用余弦定理化简已知等式可得 b2+c2-a2-8· 2 2 2 2 b c a bc  =0，又△ABC 不是直角三角形，解得 bc=4，又 b+c=5，联立即可解得 b，c 的值. (Ⅱ)由余弦定理，基本不等式可得 5=b2+c2-2bccosA≥2bc-2bccosA=8-8cosA，解得 cosA≥ 3 8 ， 可求 sinA≤ 55 8 ，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值. 答案：(Ⅰ)∵(bc-8)· · 2 2 2 2 a c b ac  =a2-b2， ∴ 2 2 2 2 b c a -8· + 2 2 2 2 a c b =a2-b2， ∴b2+c2-a2-8· =0， ∵△ABC 不是直角三角形， ∴bc=4， 又∵b+c=5， ∴解得 1 4 b c    或 4 1 b c    . (Ⅱ)∵a= 5 ，由余弦定理可得 5=b2+c2-2bccosA≥2bc-2bccosA=8-8cosA， ∴cosA≥ 3 8 ， ∴sinA≤ 55 8 ，所以 S△ABC= 1 2 bcsinA≤ 55 4 . ∴△ABC 面积的最大值是 ，当 cosA= 时取到. 18.为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情 况，该校随机调查了该校 80 位性别不同的 2016 年师范类毕业大学生，得到具体数据如表： (Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作 与性别有关”？ 参考公式：k2=        2n ad bc a b c d a c b d      (n=a+b+c+d). 附表： (Ⅱ)求这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率； (Ⅲ)以(Ⅱ)中的频率作为概率.该校近几年毕业的 2000 名师范类大学生中随机选取 4 名，记 这 4 名毕业生从事与教育有关的人数为 X，求 X 的数学期望 E(X). 解析：(Ⅰ)利用 k2 计算公式即可得出. (Ⅱ)由图表知这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率. (Ⅲ)由题意知 X 服从 B(4， 13 16 )，即可得出 E(X). 答案：(Ⅰ)由题意得 k2= 280 30 5 35 10 80 40 40 6 1 39 () 55        ＜3.841. 故不能在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与 性别有关” (Ⅱ)由图表知这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率 p= 65 13 80 16 . (Ⅲ)由题意知 X 服从 B(4， 13 16 )，则 EX=np=4×13 16 =13 4 . 19.正三棱柱 ABC-A1B1C1 底边长为 2，E，F 分别为 BB1，AB 的中点. (Ⅰ)已知 M 为线段 B1A1 上的点，且 B1A1=4B1M，求证：EM∥面 A1FC； (Ⅱ)若二面角 E-A1C-F 所成角的余弦值为 27 7 ，求 AA1 的值. 解析：(Ⅰ)取 B1A1 中点为 N，连结 BN，推导出 BN∥A1F，从而 EM∥BN，进而 EM∥A1F，由此 能证明 EM∥面 A1FC. (Ⅱ)以 F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 AA1=a，利用向量法能求出结果. 答案：(Ⅰ)取 B1A1 中点为 N，连结 BN， 则 BN∥A1F，又 B1A1=4B1M， 则 EM∥BN，所以 EM∥A1F， 因为 EM  面 A1FC，A1F面 A1FC， 故 EM∥面 A1FC. (Ⅱ)如图，以 F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 AA1=a. 则 F(0，0，0)，A1(-1，0，a)，E(1，0， 2 a )，C(0， 3 ，0)，EC =(-1， 3 ，- )，FC =(0， 3 ，0)， 1AE=(2，0，-a2)， 1AC=(1， 3 ，-a)， 设平面 A1CF 法向量为 m =(x，y，z)， 设平面 A1CE 法向量为 n =(x，y，z). 则 1 30 30 AC m x y az FC m y          ，取 z=1，得 m =(a，0，1)， 1 1 30 202 AC n x y az aA E n x y           ，取 x=a，得 =(a， 3 a，4)； 设二面角 E-A1C-F 的平面角为θ， ∵二面角 E-A1C-F 所成角的余弦值为 27 7 ， ∴cosθ=cos＜ ， ＞= 2 22 4 2 7 71 4 16 a aa      ， 整理，得 a2= 4 3 ，∴a= 23 3 ， 故当二面角 E-A1C-F 所成角的余弦值为 时，AA1 的值为 . 20.已知椭圆 C1： 22 22 xy ab =1(a＞b＞0)的离心率 e= 3 2 ，且过点(2， 3 )，直线 l1：y=kx+m(m ＞0)与圆 C2：(x-1)2+y2=1 相切且与椭圆 C1 交于 A，B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程； (Ⅱ)过原点 O 作 l1 的平行线 l2 交椭圆于 C，D 两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最小值. 解析：(Ⅰ)由题意列关于 a，b，c 的方程组，求解方程组得 a，b，c 的值，则椭圆方程可求； (Ⅱ)联立直线 l1 的方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用弦长公式求得 AB 的 长度，联立直线 l2 的方程与椭圆方程，求出 CD 的长度，结合|AB|=λ|CD|利用换元法求解 λ的最小值. 答案：(Ⅰ)由题意得 2 3 2 4314 ce a a     ， 解得 a=4，b=2， 故 C1： 22 16 4 xy =1； (Ⅱ)联立 22 116 4 y kx m xy   ， 化简得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-4)=0， △＞0 恒成立， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则   12 2 2 12 2 8 14 44 14 kmxx k m xx k         ，得|x1-x2|= 22 2 4 16 4 14 km k   ， ∴|AB|= 21 k · 22 2 4 16 4 14 km k   ， 把 l2：y=kx 代入 C1： =1，得 x2= 2 16 14k ， ∴|CD|= · 2 8 14k ， ∴λ= 2 2 2 2 222 2 4 16 4 1 114422414 114 2 2 AB k m m m CD kk m m         = 4 242 2 1 1 1442 1 2 1 1 3 24 mm m m    ≥ 6 3 ， 当 m= 2 ，k=- 2 4 ，λ取最小值 . 21.已知函数发 f(x)=(x+1)lnx-ax+2. (Ⅰ)当 a=1 时，求在 x=1 处的切线方程； (Ⅱ)若函数 f(x)在定义域上具有单调性，求实数 a 的取值范围； (Ⅲ)求证：  1 1 1 1 1 ln 13 5 7 2 1 2 nn    ＜ ，n∈N*. 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，计算 f(1)，f′(1)，求出切线方程即可； (Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论函数递减和函数递增，从而求出 a 的范围即可； (Ⅲ)令 a=2，得：lnx＞  21 1 x x   在(1，+∞)上总成立，令 x= 1n n  ，得 ln 1n n  ＞ 121 1 1 n n n n       ， 化简得：ln(n+1)-lnn＞ 2 21n  ，对 x 取值，累加即可. 答案：(Ⅰ)当 a=1 时，f(x)=(x+1)lnx-x+2，(x＞0)， f′(x)=lnx+ 1 x ，f′(1)=1，f(1)=1， 所以求在 x=1 处的切线方程为：y=x. (Ⅱ)f′(x)=lnx+ 1 x +1-a，(x＞0). (i)函数 f(x)在定义域上单调递减时， 即 a≥lnx+ 1x x  时，令 g(x)=lnx+ ， 当 x＞ea 时，g′(x)＞0，不成立； (ii)函数 f(x)在定义域上单调递增时，a≤lnx+ ； 令 g(x)=lnx+ ， 则 g′(x)= 2 1x x  ，x＞0； 则函数 g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增； 所以 g(x)≥2，故 a≤2. (Ⅲ)由(ii)得当 a=2 时 f(x)在(1，+∞)上单调递增， 由 f(x)＞f(1)，x＞1 得(x+1)lnx-2x+2＞0， 即 lnx＞  21 1 x x   在(1，+∞)上总成立， 令 x= 1n n  得 ln 1n n  ＞ ， 化简得：ln(n+1)-lnn＞ 2 21n  ， 所以 ln2-ln1＞ 2 21 ，ln3-ln2＞ 2 51 ，…，ln(n+1)-lnn＞ ， 累加得 ln(n+1)-ln1＞ 2 2 2 3 5 2 1n   ， 即  1 1 1 1 1 ln 13 5 7 2 1 2 nn    ＜ ，n∈N*命题得证. 选做题 22.以平面直角坐标系的原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线 C 的参数 方程为 2cos 3 sin x y     (α是参数)，直线 l 的极坐标方程为ρcos(θ+ 6  )=2 3 . (Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； (Ⅱ)设点 P 为曲线 C 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值. 解析：(Ⅰ)利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程.利 用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线 C 的参数方程化为直角坐标方程. (Ⅱ)设点 P(2cosα， 3 sinα)，求得点 P 到直线 l 的距离 d= | ( ) |15 cos 4 3 2  ， tanβ= 1 2 ，由此求得 d 的最大值. 答案：(Ⅰ)∵直线 l 的极坐标方程为ρcos(θ+ 6  )=2 3 ，即ρ( 3 2 cosθ- sinθ)=2 3 ， 即 3 x-y-4 3 =0. 曲线 C 的参数方程为 (α是参数)，利用同角三角函数的基本关系消去α， 可得 22 43 xy =1. (Ⅱ)设点 P(2cosα， sinα)为曲线 C 上任意一点， 则点 P 到直线 l 的距离 d= 2 3 cos 3 sin 4 3|| 31   = 2 5 515 cos sin 4 355|| 2 ()   = ，其中，cosβ= 25 5 ， sinβ= 5 5 ，即 tanβ= 1 2 ， 故当 cos(α+β)=-1 时，d 取得最大值为 15 4 3 2  . 23.已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2| (Ⅰ)当 a=-3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)不等式等价于 2 3 2 3 x xx       ，或 23 3 2 3 x xx       ＜ ＜ ，或 3 3 2 3 x xx       ， 求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求. (Ⅱ)原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求 a 的取值范围. 答案：(Ⅰ)当 a=-3 时，f(x)≥3 即|x-3|+|x-2|≥3，即① ，或② ，或③ 3 3 2 3 x xx       . 解①可得 x≤1，解②可得 x∈φ，解③可得 x≥4. 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1 或 x≥4}. (Ⅱ)原命题即 f(x)≤|x-4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2-x≤4-x 在[1，2]上恒成立， 等价于|x+a|≤2，等价于-2≤x+a≤2，-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立. 故当 1≤x≤2 时，-2-x 的最大值为-2-1=-3，2-x 的最小值为 0， 故 a 的取值范围为[-3，0].