河北省石家庄市辛集市中学2020届高三第三次月考数学（文）试题

河北省石家庄市辛集市中学2020届高三第三次月考数学（文）试题

河北辛集中学2017级高三上学期第三次阶段考试高三文科数学试卷 第I卷选择题部分 一、单选题 ‎1.集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求集合，然后再求.‎ ‎【详解】 ‎ 解得： ，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.‎ ‎2.已知复数，则的虚部是（ ）‎ A. B. C. -4 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数运算法则及虚部定义求解即可 ‎【详解】由，得，所以虚部为.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查复数的四则运算，复数的虚部，考查运算求解能力.‎ ‎3.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，然后利用集合的包含关系来判断出两条件的必要不充分条件关系.‎ ‎【详解】解不等式，得且，‎ 因此，“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为集合的包含关系进行判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎4.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，计算出该锥体的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可得出该四棱锥的体积.‎ ‎【详解】由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为 ‎，‎ 高为，因此，这个四棱锥的体积为，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，要结合三视图将几何体还原，再结合简单几何体的体积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎5.若，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式以及二倍角公式，化简求得的值.‎ ‎【详解】解：∵，‎ 则 ‎,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用诱导公式和二倍角公式进行恒等变换，求表达式的值，属于基础题.‎ ‎6.已知向量满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据向量模的公式求出，再利用向量夹角公式即可求出．‎ ‎【详解】因为，所以 解得，设与的夹角为，所以，故，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式以及向量夹角公式的应用．‎ ‎7.直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得圆心坐标、圆的半径，已知弦长，可利用勾股定理得圆心到直线的距离，然后利用点到线的距离公式得到关于的方程，解方程即可．‎ ‎【详解】因为直线被圆截得弦长为，所以圆心到直线的距离，所以，解得，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查直线的斜率的求法，已知弦长，通常利用勾股定理求得圆心到直线的距离，然后利用点到线的距离公式得到方程，解出方程即可，属于基础题．‎ ‎8.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线段中垂线的性质可得，，又 ，故有，根据椭圆的定义断判轨迹为椭圆，求出值，即得椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程可知，圆心，半径等于5，‎ 设点的坐标为，的垂直平分线交于，‎ ‎，又 ，‎ ‎ ，‎ 依据椭圆的定义可得，点的轨迹是以为焦点，‎ 且，故椭圆方程为，‎ 即，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查定义法求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.‎ ‎9.如图所示，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，作出在平面上的射影，求出和，然后直接求正弦值即可 ‎【详解】如图所示，在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.平面，的正弦值即为所求.，，.‎ ‎【点睛】本题考查线面角的计算问题，属于基础题，解题核心在于找到平面外直线在平面的射影 ‎10.数列各项均为正数，且满足，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则为以1为首项1为公差的等差数列，写出的通项公式，反解出的通项公式，带入1024计算即可得出答案．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以数列为以1为首项1为公差的等差数列，‎ 所以 所以 故选D ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．‎ ‎11.已知，，，则的最小值是（ ）.‎ A 3 B. C. D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合指数与对数的运算性质可得，从而，展开后利用基本不等式可得解．‎ ‎【详解】，，，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 则，‎ 当且仅当且即，时取等号，‎ 则的最小值是．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值，要注意应用条件的配凑．‎ ‎12.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若函数为偶函数，则函数在的值域为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先进行图像变换得到的表达式，根据为偶函数求得的值，然后根据三角函数值域的求法，求得函数在的值域.‎ ‎【详解】图像向左平移个单位，得到函数，由于函数为偶函数，故，由于，故令求得.所以.由于，，所以 ‎，故，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎13.已知数列满足，，则的最小值是（ ）‎ A. 0 B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知的数列递推式变形，可得，然后用累加法求出数列通项公式，‎ ‎【详解】解：由，得 ‎，‎ 即，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当时，上式成立，‎ 要取最小值，则要最大，‎ 当时，取最小值，最小值为1.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，以及有关最值的求解，考查学生的计算能力，是中档题.‎ ‎14.若存在唯一的正整数 ，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，令，利用导数判断出在上有唯一极大值点，根据存在唯一的正整数使不等式成立，即可求出的范围.‎ ‎【详解】由可得，令,‎ 则，令, 得，‎ ‎，，‎ 所以函数在上有唯一极大值点，在上是减函数，‎ 因为 所以要使不等式存在唯一的正整数，需 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了与不等式成立有关特称命题，利用导数研究函数的单调性与极值，考查了计算能力，属于中档题.‎ 第II卷 非选择题部分 二、填空题 ‎15.已知向量且则实数______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用向量平行公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 则 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了向量的平行，属于基础题型.‎ ‎16.己知两点，，直线：与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围________‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线恒经过定点，利用斜率公式求解即可 ‎【详解】由题意，直线恒经过定点，‎ 由直线的斜率公式，可得，‎ 要使直线与线段有公共点，或 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线过定点问题，是基础题 ‎17.已知椭圆，点是椭圆上在第一象限上的点，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为,若 ‎,则椭圆的离心率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像，，又，得，利用即可求出离心率．‎ ‎【详解】由题意画出图像 由题意可知 由椭圆定义可知，固有，连接OA，知OA是三角形的中位线，，又，得 则，即，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查椭圆定义的灵活运用，利用垂直平分产生相等线段，对线段相等进行等量代换，是中档题．‎ ‎18.己知函数，有以下结论：‎ ‎①的图象关于直线轴对称 ②在区间上单调递减 ‎③的一个对称中心是 ④的最大值为 则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 根据图像知：‎ ‎①的图象关于直线轴对称，错误 ‎②在区间上单调递减，正确 ‎③的一个对称中心是 ，错误 ‎④的最大值为，正确 故答案为②④‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.‎ 三、解答题 ‎19.设 ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.‎ ‎【答案】（1）（）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用诱导公式、二倍角公式 化简，再由正弦函数的单调递增区间得，，即可求解；‎ ‎（2）由三角函数图像的平移、伸缩变换得到的解析式，把代入即可求解.‎ ‎【详解】解（1）‎ 由（），得（）.‎ 所以的单调递增区间是（）. ‎ ‎（2）由（1）知.把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，‎ 即.所以.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数化简、三角函数的单调区间以及三角函数图像的变换，解题的关键熟记正弦函数的单调区间以及图像的伸缩变化规律，属于基础题．‎ ‎20.已知等差数列中，，数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设等差数列的公差为，根据已知条件求出首项与公差，即可得到的通项公式，再由，即可求出的通项公式；‎ ‎（2）令数列的前项和为，由，结合等比数列前项和公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，‎ 由已知可得，解得，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎.‎ ‎（2）令数列的前项和为.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎21.在三棱锥中，平面，，，，是的中点，是线段上的一点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知易得是的中点，由平行平面内直线，证得平面；‎ ‎（2）设点到平面的距离为，利用，求得．‎ ‎【详解】（1）证明：因为，，，‎ 所以.‎ 因为，所以是的斜边上的中线，‎ 所以是的中点.‎ 又因为是的中点，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解法一：由（1）得，‎ ‎.‎ ‎.‎ 因为，所以.‎ 因为平面，所以.‎ 又，，所以平面.‎ 因为平面，所以.由（1）知，所以.‎ 在中，，‎ 所以.‎ 设点到平面的距离为，‎ 则由，得，即.‎ 解得.即点到平面的距离为.‎ 解法二：因为是的中点，‎ 所以点到平面的距离等于点到平面的距离.‎ 因为平面，所以.‎ 又，，所以平面.‎ 由（1）知，所以平面.又平面，‎ 所以平面平面.‎ 过作，垂足为，则平面，‎ 所以的长即为点到平面的距离.‎ 在中，由得.‎ 所以点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理、等积法求点到面距离，考查空间想象能力和运算求解能力，注意在求三棱锥体积时，记得对线面垂直关系的证明．‎ ‎22.已知圆C：，直线l过定点．‎ ‎（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；‎ ‎（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；‎ ‎（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.‎ ‎【详解】（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意. ‎ ‎ ②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．‎ 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即： ，解之得 . 所求直线l1的方程是或.‎ ‎(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不0, 设直线方程为，‎ 则圆心到直线l1的距离 ‎ 又∵△CPQ的面积 ‎ ‎ ＝‎ ‎∴当d＝时，S取得最大值2. ‎ ‎∴＝ ∴ k＝1 或k＝7‎ 所求直线l1方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意得到定义域，对函数求导，分别讨论和两种情况，即可得出结果；‎ ‎（2）因为，由（1）得到函数在上单调递增，不妨设，则可化为，令，则为上的减函数，对求导，根据函数单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）∵依题意可知：函数的定义域为，‎ ‎∴，‎ 当时，在恒成立，所以在上单调递增.‎ 当时，由得；由得；‎ 综上可得当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减；在上单调递增.‎ ‎（2）因为，由（1）知，函数在上单调递增，‎ 不妨设，则，‎ 可化为，‎ 设，则，‎ 所以为上的减函数，‎ 即在上恒成立，等价于在上恒成立，‎ 设，所以，‎ 因，所以，所以函数在上是增函数，‎ 所以（当且仅当时等号成立）‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的方法判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.‎