甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高一下学期第一次学段考试数学（兰天班）试题

甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高一下学期第一次学段考试数学（兰天班）试题

天水一中2019级2019-2020学年度第二学期寒假作业检测 数学试题（兰天班）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解对数不等式求出集合的取值范围，然后由集合的基本运算得到答案．‎ 详解】由得且，所以，‎ 所以，则 ‎【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题．‎ ‎2.函数的图象的大致形状是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式的特征,选择特殊值代入即可判断选项.‎ ‎【详解】函数 当时, ,所以排除C、D选项;‎ 当时, ,所以排除A选项;‎ 所以B图像正确 故选:B ‎【点睛】本题考查了函数图像的应用,根据解析式判断函数图像可结合奇偶性、单调性、特殊值等方法,属于基础题.‎ ‎3.已知函数，则的解析式为　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.‎ ‎【详解】令,则，所以 即 .‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.‎ ‎4.已知p：函数在(－∞，－1)上是减函数，q：∀x>0，恒成立，则p是q(　　)‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于命题：利用二次函数的单调性可得，：，对于命题：由于，利用基本不等式的性质可得，即可得出结论 ‎【详解】：函数在上是减函数，所以，所以：，‎ ‎：因为，所以，‎ 当且仅当时取等号，所以.‎ 则是的充分不必要条件，‎ 故选 ‎【点睛】本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，根据题目条件先求出命题成立的取值范围，然后求出结果．‎ ‎5.三个数，，之间的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，根据幂函数的单调性与比大小，利用余弦函数和正弦函数的值域将与比较大小，即可得出结论.‎ ‎【详解】，‎ 而，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查比较数的大小关系，涉及到幂函数、正弦函数、余弦函数的性质，要注意与特殊数的对比，属于基础题.‎ ‎6.已知，则的值为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知求出，将所求的式子化弦为切，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换求值问题，灵活运用公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎7.奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性单调性和特殊值分别求出和的解集，再分类讨论即可求解.‎ ‎【详解】由题奇函数在区间上单调递减，且，‎ 所以由得，则的解集为，‎ 由得，则的解集为，‎ 由题：即：或，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，解抽象函数相关不等式，关键在于等价转化分类讨论求解.‎ ‎8.若为奇函数，且是函数的一个零点，在下列函数中，一定是其零点的函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，是的一个零点，则有，结合函数的奇偶性依次分析选项，验证是不是其零点，即可得答案.‎ ‎【详解】解：根据题意，是的一个零点，则有， 依次分析选项： 对于A、，将代入可得：，不符合题意； 对于B、，将代入可得：，不符合题意； 对于C、，将代入可得：，不符合题意； 对于D、，将代入可得：，即一定是其零点，符合题意； 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点的定义，涉及函数奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性性质.‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎9.设变量满足约束条件，则的最大值为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，做出满足条件的可行域，根据图形，求出的最大值，即可求解.‎ ‎【详解】做出满足的可行域，如下图所示（阴影部分）‎ 当目标函数过点时，取得最大值，‎ 所以的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.‎ ‎10.已知向量，且，则实数___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出坐标，再由共线向量的坐标关系，建立的方程，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查共线向量的坐标运算，属于基础题.‎ ‎11.已知对数函数的图象过点，则不等式的解集______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用点求得的值，利用对数运算化简不等式后求得不等式的解集.‎ ‎【详解】设，代入点得，故，即.故原不等式可化为，即，解得，故不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数函数解析式的求法，考查对数不等式的解法，属于中档题.‎ ‎12.已知正数满足，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则，利用基本不等式可求的最小值.‎ ‎【详解】令，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取等号．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，注意根据题设和目标代数式之间的联系做合适的换元，再对目标代数式做合适变形以便产生积为定值，本题为中档题.‎ 三、解答题（共2小题，共40分，）‎ ‎13.在中，角的对边分别为，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的外接圆直径为2，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：（1）根据三角函数和差公式化简，得到角A、B、C的关系，以及A+B+C=π即可求出角C．‎ ‎（2）设，利用正弦定理和外接圆直径为2，建立边和角的对应关系；再利用降幂公式，把A、B化成α的表达式；利用角α的取值范围即可求出的取值范围．‎ 详解：（1）由得 即，则，即，即.‎ ‎（2）由，设 则 则 ‎ 即 ‎ 由，‎ 则 ‎∴‎ ‎∴，‎ 故的取值范围是.‎ 点睛：本题综合考查了三角函数和差公式、正弦定理、降幂公式的综合应用，结合知识点多，化简较为复杂，属于难题．在三角函数问题中，边角转化是解决问题的核心，解题前要确认把角转化成边，还是把边转化成角．‎ ‎14.已知函数．‎ ‎（1）当时，求的定义域；‎ ‎（2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明；‎ ‎（3）若在区间上恒取正值，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）函数在区间上是减函数，证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入得到的解析式，根据解析式要有意义，列出不等式，求解即可得到的定义域； （2）利用函数单调性的定义，令，先判断出，再根据对数的单调性，判断出，从而证明结结论； ‎ ‎（3）将在上恒取正值，等价为在上恒成立，转化为，利用的单调性即可求出的最小值，从而列出不等式，求解即可得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，， ，即， ，即， ∴函数的定义域为； （2）函数在区间上是减函数. 证明：任取，且， ，‎ 令，‎ ‎ ， ，， ，即， ， ， ∴， ∴在上是减函数； （3）由（2）可知，在上是减函数， ∴在上是单调递减函数， ∴在上的最小值为， ∵在上恒取正值，即在上恒成立， ‎ ‎， ，即， ， ， ， 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数定义域的求解，函数单调性的判断及其证明，函数恒成立问题的求解.对于求函数的定义域即求使得解析式有意义的的取值集合.函数恒成立问题的，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，属于中档题.‎