【数学】2020届一轮复习苏教版数列中的基本量计算作业

【数学】2020届一轮复习苏教版数列中的基本量计算作业

‎(十三) 数列中的基本量计算 A组——抓牢中档小题 ‎1．(2018·南京三模)若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1＝1，S6＝3S3，则a7的值为________．‎ 解析：由S6＝3S3，得(1＋q3)S3＝3S3.因为S3＝a1(1＋q＋q2)≠0，所以q3＝2，得a7＝4.‎ 答案：4‎ ‎2．(2018·南通三模)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若公差d＝2，a5＝10，则S10的值是________．‎ 解析：法一：因为等差数列{an}中a5＝a1＋4d＝10，d＝2，所以a1＝2，所以S10＝10×2＋×2＝110.‎ 法二：在等差数列{an}中，a6＝a5＋d＝12，所以S10＝＝5(a5＋a6)＝5×(10＋12)＝110.‎ 答案：110‎ ‎3．(2018·苏锡常镇调研(二))已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝4，则＝________.‎ 解析：因为S10＝10a1＋d＝10a1＋45d，S5＝5a1＋d＝5a1＋10d，所以＝＝＝4，可得d＝2a1，故＝2.‎ 答案：2‎ ‎4．(2018·苏中三市、苏北四市三调)已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和．若a3＝2，S12＝4S6，则a9的值为________．‎ 解析：由S12＝4S6，当q＝1，显然不成立，所以q≠1，则＝4，因为≠0，所以1－q12＝4(1－q6)，即(1－q6)(q6－3)＝0，所以q6＝3或q＝－1，所以a9＝a3q6＝6或2.‎ 答案：2或6‎ ‎5．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ 则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；‎ b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.‎ 所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，‎ 所以＝1.‎ 答案：1‎ ‎6．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则的值为________．‎ 解析：由题意＝＝3，化简得d＝4a1，‎ 则＝＝＝.‎ 答案： ‎7．(2018·常州期末)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．‎ 解析：依题意有a2a4＝a，a2a3a4＝(a3)3＝a2＋a3＋a4≥a3＋2＝3a3，整理有a3(a－3)≥0，因为an>0，所以a3≥，所以a3的最小值为.‎ 答案： ‎8．(2018·盐城期中)在数列{an}中，a1＝－2101，且当2≤n≤100时，an＋2a102－n＝3×2n恒成立，则数列{an}的前100项和S100＝________.‎ 解析：因为当2≤n≤100时，an＋2a102－n＝3×2n恒成立，‎ 所以a2＋2a100＝3×22，a3＋2a99＝3×23，…，a100＋2a2＝3×2100，以上99个等式相加，‎ 得3(a2＋a3＋…＋a100)＝3(22＋23＋…＋2100)＝3(2101－4)，所以a2＋a3＋…＋a100＝2101－4，‎ 又因为a1＝－2101，所以S100＝a1＋(a2＋a3＋…＋a100)＝－4.‎ 答案：－4‎ ‎9．(2018·扬州期末)已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3,6a5成等差数列，且a3＝3a，则S3＝________.‎ 解析：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，则q>0，且a1>0，‎ 由4a4，a3,6a5成等差数列，得2a3＝4a4＋6a5，‎ 即2a3＝4a3q＋6a3q2，解得q＝.‎ 又由a3＝3a，解得a1＝，‎ 所以S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝.‎ 答案： ‎10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.‎ 解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.‎ 答案：200‎ ‎11．(2018·扬州期末)在正项等比数列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，则a5＋a6的最小值为________．‎ 解析：令a1＋a2＝t(t>0)，则a4＋a3－2a2－2a1＝6可化为tq2－2t＝6(其中q为公比)，所以a5＋a6＝tq4＝q4＝6≥6＝48(当且仅当q＝2时等号成立)．‎ 答案：48‎ ‎12．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝2Sn＋2n，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ 解析：当n≥2时，an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＋2n－2n－1＝2an＋2n－1，从而an＋1＋2n＝3(an＋2n－1)．又a2＝2a1＋2＝4，a2＋2＝6，故数列{an＋1＋2n}是以6为首项，3为公比的等比数列，从而an＋1＋2n＝6×3n－1，即an＋1＝2×3n－2n，又a1＝1＝2×31－1－21－1，故an＝2×3n－1－‎ ‎2n－1.‎ 答案：2×3n－1－2n－1‎ ‎13．数列{an}中，若对∀n∈N*，an＋an＋1＋an＋2＝k(k为常数)，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则该数列的前100项的和等于________．‎ 解析：由an＋an＋1＋an＋2＝k，an＋1＋an＋2＋an＋3＝k，得an＋3＝an，‎ 从而a7＝a1＝2，a9＝a3＝3，a98＝a2＝4，‎ 因此a1＋a2＋a3＝9，‎ 所以S100＝33(a1＋a2＋a3)＋a1＝33×9＋2＝299.‎ 答案：299‎ ‎14．(2018·无锡期末)已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1·a2·…·an的最大值为________．‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，‎ 根据等比数列的性质可得a2a5＝a3a4＝2a3，‎ 由于a3≠0，可得a4＝2.‎ 因为a4，，2a7成等差数列，‎ 所以2×＝a4＋2a7，可得a7＝，‎ 由a7＝a4q3，可得q＝，‎ 由a4＝a1q3，可得a1＝16，‎ 从而an＝a1qn－1＝16×n－1.‎ 法一：令an≥1可得n≤5，故当1≤n≤5时，an≥1，当n≥6时，01，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为________．‎ 解析：由a2a4＝a3得a＝a3，又{an}的各项均为正数，故a3＝1，T5＝a1a2a3a4a5＝a＝1，当n＝6时，T6＝T5·a6，又公比q>1，a3＝1，故a6>1，T6>1.‎ 答案：6‎ ‎3．设a1，a2，…，a10成等比数列，且a1a2·…·a10＝32，设x＝a1＋a2＋…＋a10，y＝＋＋…＋，则＝________.‎ 解析：由a1a2·…·a10＝32，得a1a2·…·a10＝(a1a10)5＝32，则a1a10＝2，设公比为q，则a1a10‎ ‎＝aq9＝2，因为x＝a1＋a2＋…＋a10＝，y＝＋＋…＋＝＝，所以＝aq9＝2.‎ 答案：2‎ ‎4．(2018·南京考前模拟)数列{an}中，an＝2n－1，现将{an}中的项依原顺序按第k组有2k项的要求进行分组：(1,3)，(5,7,9,11)，(13,15,17,19,21,23)，…，则第n组中各数的和为________．‎ 解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝n2，因为2＋4＋…＋2n＝n(n＋1)＝n2＋n,2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＝n2－n.所以第n组中各数的和为Sn2＋n－Sn2－n＝(n2＋n)2－(n2－n)2＝4n3.‎ 答案：4n3‎ ‎5．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若2S4＝S2＋2，则S6的最小值为________．‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为2S4＝S2＋2，‎ 当q＝1时，则8a1＝2a1＋2，解得a1＝，所以S6＝2.‎ 当q≠1时，2×＝＋2，所以＝，则S6＝＝(1＋q2＋q4)＝＋≥2＝，当且仅当q2＝时取等号．‎ 综上可得S6的最小值为.‎ 答案： ‎6．(2018·江苏高考)已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为________．‎ 解析：所有的正奇数和2n(n∈N*)按照从小到大的顺序排列构成{an}，在数列{an}中，25前面有16个正奇数，即a21＝25，a38＝26.当n＝1时，S1＝1<12a2＝24，不符合题意；当n＝2时，S2＝3<12a3＝36，不符合题意；当n＝3时，S3＝6<12a4＝48，不符合题意；当n＝4时，S4＝10<12a5＝60，不符合题意；……；当n＝26时，S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合题意；当n＝27时，S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝540，符合题意．故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为27.‎ 答案：27‎