2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0；p2：∀x∈[1，2]，使得x2﹣1≥0．以下命题是真命题的为（　　）‎ A．¬p1∧¬p2 B．p1∨¬p2 C．¬p1∧p2 D．p1∧p2‎ ‎2．（5分）已知等比数列{an}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则an=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4．（5分）下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①对于实数a，b，c，若a＞b，则ac2＞bc2；‎ ‎②命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：“若x＜﹣1，则x2﹣3x+2≤0”‎ ‎③“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件；‎ ‎④命题“∃x0∈R，x02+1≥3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．（5分）已知m∈R，命题p：方程=l表示椭圆，命题q：m2﹣7m+10＜0，则命题p是命题q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．（5分）设{an}是等差数列，公差为d，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）‎ A．d＜0 B．a7=0‎ C．S9＞S5 D．S6和S7均为Sn的最大值 ‎7．（5分）两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（2n+7）Sn=（5n+3）Tn，则的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则•的最大值和最小值分别为（　　）‎ A．1与﹣2 B．2与﹣2 C．1与﹣1 D．2与﹣1‎ ‎9．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B．2﹣ C．2（2﹣） D．‎ ‎10．（5分）设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2﹣2 D．‎ ‎12．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（，0） B．（0，） C．（0，） D．（，1）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13．（5分）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为　 　．‎ ‎14．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的最小值是　 　．‎ ‎15．（5分）下列命题：‎ ‎①数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=An2+Bn是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；‎ ‎②∀x＞0，不等式2x+≥4成立的充要条件a≥2；‎ ‎③“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的充分不必要条件； ‎ ‎④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则是P=Q的既不充分也不必要条件．‎ 则其中所有真命题的序号是　 　．‎ ‎16．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，过M（1，1）斜率为﹣直线l交曲线C于A，B且M是线段AB的中点，则椭圆C的标准方程为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知数列an满足a1+2a2+…+2n﹣1an=（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项；‎ ‎（Ⅱ）若bn=（3﹣n）an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）直线l：x=2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，证明：|DE|•|DE|恒为定值．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n•an+1，其中a1=1‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=+，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2n+．‎ ‎21．（12分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在椭圆C上．F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F2的直线交椭圆C于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的最小值和最大值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0；p2：∀x∈[1，2]，使得x2﹣1≥0．以下命题是真命题的为（　　）‎ A．¬p1∧¬p2 B．p1∨¬p2 C．¬p1∧p2 D．p1∧p2‎ ‎【分析】由x2+x+1=恒成立可知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0为假命题，￢p1为真；p2：由∀x∈[1，2]，使得x2﹣1≥0为真命题，￢p2为假命题 根据复合命题的真假关系可判断 ‎【解答】解：由x2+x+1=恒成立可知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0为假命题，￢p1为真 p2：由∀x∈[1，2]，使得x2﹣1≥0为真命题，￢p2为假命题 根据复合命题的真假关系可得，￢p1∧￢p2为假命题；p1∨￢p2为假命题；￢p1∧p2为真命题；p1∧p2为假命题 故选C ‎【点评】本题主要考察了p或q，p且q，非p等复合命题的真假判断，解题的关键是准确判断命题p，q的真假关系．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知等比数列{an}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则an=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可得 （a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 ‎ a=5，由此可得首项和公比，从而得到通项公式．‎ ‎【解答】解：∵已知等比数列{an}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则 （a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，‎ 故此等比数列的首项为4，公比为 =，故通项公式为 ，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【分析】分公比q=1和q≠1两种情况，分别由a1＞0推出S3＞S2成立，再由S3＞S2也分q=1和q≠1两种情况推出a1＞0，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：当公比q=1时，由a1＞0可得 s3=3a1＞2a1=s2，即S3＞S2成立．‎ 当q≠1时，由于 =q2+q+1＞1+q=，再由a1＞0可得 ＞，即 S3＞S2成立．‎ 故“a1＞0”是“S3＞S2”的充分条件．‎ 当公比q=1时，由S3＞S2成立，可得 a1＞0．‎ 当q≠1时，由 S3＞S2成立可得 ＞，再由＞，可得 a1＞0．‎ 故“a1＞0”是“S3＞S2”的必要条件．‎ 综上可得，“a1＞0”是“S3＞S2”的充要条件，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断，不等式性质的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①对于实数a，b，c，若a＞b，则ac2＞bc2；‎ ‎②命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：“若x＜﹣1，则x2﹣3x+2≤0”‎ ‎③“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件；‎ ‎④命题“∃x0∈R，x02+1≥3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据题意，对题目中的命题分析、判断真假性即可．‎ ‎【解答】解：对于①，当c=0时，命题“若a＞b，则ac2＞bc2”不成立，①错误；‎ 对于②，命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：‎ ‎“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”，②错误；‎ 对于③，x=5时，x2﹣4x﹣5=0，充分性成立，‎ x2﹣4x﹣5=0时，x=5或x=﹣1，必要性不成立，‎ 是充分不必要条件，③正确；‎ 对于④，命题“∃x0∈R，x02+1≥3x0”的否定是 ‎“∀x∈R，x2+1＜3x”，∴④错误．‎ 综上，正确的命题是③，有1个．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了命题真假性判断问题，也考查了简易逻辑的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知m∈R，命题p：方程=l表示椭圆，命题q：m2﹣7m+10＜0，则命题p是命题q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据条件求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若方程=l表示椭圆，‎ 则，得，即2＜m＜6且m≠4，‎ 由m2﹣7m+10＜0，得2＜m＜5，‎ 则命题p是命题q成立的既不充分也不必要条件，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）设{an}是等差数列，公差为d，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）‎ A．d＜0 B．a7=0‎ C．S9＞S5 D．S6和S7均为Sn的最大值 ‎【分析】S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为Sn的最大值．作差S9﹣S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．‎ ‎【解答】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，‎ 可得d＜0．S6和S7均为Sn的最大值．‎ S9==9a5，S5==5a3．‎ S9﹣S5=9（a1+4d）﹣5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．‎ 因此C错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（2n+7）Sn=（5n+3）Tn，则的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可得=，而由等差数列的性质可得=，代入可求．‎ ‎【解答】解：由题意可得=，‎ 而==‎ ‎===，‎ 故选D ‎【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，化=是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则•的最大值和最小值分别为（　　）‎ A．1与﹣2 B．2与﹣2 C．1与﹣1 D．2与﹣1‎ ‎【分析】椭圆+y2=1中，a=2，b=1，c=，设Q（x，y），则•=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2+y2﹣3，由x∈[﹣2，2]，能求出•的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：椭圆+y2=1中，a=2，b=1，c=，‎ ‎∴F1（﹣，0），F2（，0），‎ 设Q（x，y），则•=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2+y2﹣3，‎ ‎∵x∈[﹣2，2]，∴当x=0，即点Q为椭圆短轴端点时，•有最小值﹣2．‎ 当x=±2，即点Q为椭圆长轴端点时，•有最大值1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，具体涉及到椭圆的简单性质、向量的数量积公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B．2﹣ C．2（2﹣） D．‎ ‎【分析】如图，Rt△MF2 F1中，tan60°==，建立关于a、c的方程，解方程求出 的值．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c ‎∴MF2=4c，MF1=2c MF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，一元二次方程的解法．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，可以画出其可行域，目标函数z=x2+（y﹣1）2表示可行域中的点到圆心（0，1）距离的平方，从而进而求解；‎ ‎【解答】解：集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，‎ B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，可以若x＞0，﹣x≤y≤x；若x＜0可得，x≤y≤﹣x M=A∩B，‎ 可以画出可行域M：‎ 目标函数z=x2+（y﹣1）2表示可行域中的点到圆心（0，1）距离的平方，‎ 由上图可知：z在点A或C可以取得最小值，即圆心（0，1）到直线y=x的距离的平方，‎ zmin=d2=（）2=，‎ z在点B或D处取得最大值，zmax=|0B|2=（）2+（）2=，‎ ‎∴≤z≤，‎ 故选A；‎ ‎【点评】此题主要考查线性规划的应用，解决此题的关键是画出可行域，考查的知识点比较全面，是一道基础题；‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13‎ 成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2﹣2 D．‎ ‎【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．‎ ‎【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，‎ ‎∴（1+2d）2=1+12d．‎ 得d=2或d=0（舍去），‎ ‎∴an =2n﹣1，‎ ‎∴Sn==n2，‎ ‎∴=．‎ 令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4‎ 当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（，0） B．（0，） C．（0，） D．（，1）‎ ‎【分析】根据题意得出∠B1PA2是向量与的夹角，设出椭圆的方程，利用坐标表示出、；再由数量积•＜0，求出椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎∠B1PA2是与的夹角；‎ 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，‎ 则=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b）；‎ ‎∵向量的夹角为钝角时，•＜0，‎ ‎∴﹣ac+b2＜0，‎ 又b2=a2﹣c2，‎ ‎∴a2﹣ac﹣c2＜0；‎ 两边除以a2得1﹣e﹣e2＜0，‎ 即e2+e﹣1＞0；‎ 解得e＜，或e＞；‎ 又∵0＜e＜1，∴＜e＜1；‎ ‎∴椭圆离心率e的取值范围是（，1）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，解题时利用向量的数量积小于0，建立不等式，求出正确的结论，是中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13．（5分）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为　a≤﹣2或a=1　．‎ ‎【分析】根据命题“p且q”是真命题，得到两个命题都是真命题，当两个命题都是真命题时，第一个命题是一个恒成立问题，分离参数，根据x的范围，做出a的范围，第二个命题是一元二次方程有解问题，利用判别式得到结果．‎ ‎【解答】解：∵“p且q”是真命题，‎ ‎∴命题p、q均为真命题，‎ 由于∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，‎ ‎∴a≤1；‎ 又因为∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，‎ ‎∴△=4a2+4a﹣8≥0，‎ 即（a﹣1）（a+2）≥0，‎ ‎∴a≤﹣2或a≥1，‎ 综上可知，a≤﹣2或a=1．‎ 故答案为：a≤﹣2或a=1‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断与应用，是一个综合题，这种题目一般是以解答题目出现，是一个不错的题目，但解起来容易出错．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的最小值是　　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，利用z的几何意义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 设z=x2+y2，则z的几何意义是区域到原点距离，‎ 由图象可知当直线x+y﹣3=0与圆相切时，此时距离最短，‎ d=，‎ 即z=d2=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及直线和圆的位置关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）下列命题：‎ ‎①数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=An2+Bn是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；‎ ‎②∀x＞0，不等式2x+≥4成立的充要条件a≥2；‎ ‎③“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的充分不必要条件； ‎ ‎④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则是P=Q的既不充分也不必要条件．‎ 则其中所有真命题的序号是　②③④　．‎ ‎【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断真假性即可．‎ ‎【解答】解：对于①，由Sn=An2+Bn得a1=A+B，‎ n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2An﹣A+B，显然n=1时适合该式，‎ 因此数列{an}是等差数列，满足充分性，∴①是假命题；‎ 对于②，∀x＞0，不等式2x+≥2=2≥4⇔a≥2，‎ ‎∴②是真命题；‎ 对于③，“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的逆否命题为：若x=1且y=﹣1，则x+y=0，‎ 则x=1且y=﹣1，是x+y=0成立的充分不必要条件，‎ ‎∴“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的充分不必要条件，③正确； ‎ 对于④，不等式x2+x+5＞0与x2+x+2＞0的解集都是R，但=≠，必要性不成立；‎ 同理，充分性也不成立，是既不充分也不必要条件，④正确．‎ 综上，所有真命题的序号是②③④．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎【点评】本题考查了数列与不等式，以及充分与必要条件的应用问题，是综合题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞‎ ‎0）的焦距为2，过M（1，1）斜率为﹣直线l交曲线C于A，B且M是线段AB的中点，则椭圆C的标准方程为　　．‎ ‎【分析】由2c=2，则c=1，即a2=b2+1，利用“点差法”，中点坐标公式及直线的斜率公式即可求得a和b的值，求得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，即2c=2，则c=1，‎ 则有a2=b2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k，‎ 则有+=1，①+=1，②‎ ‎①﹣②可得：=﹣×‎ 又由M（1，1）是线段AB的中点，则有x1+x2=2，y1+y2=2，‎ AB的斜率k==﹣，‎ ‎∴﹣=﹣，即=，‎ 解得a2=4，b2=3，‎ 故椭圆C的标准方程为；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查“点差法”及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞‎ ‎0，命题q：实数x满足 ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）把a=1代入命题p，可得x的取值范围是{x|1＜x＜3}，命题q：分别利用因式分解解出不等式并取交集，可得x范围是{x|2＜x≤3}，p∧q为真即p真且q真；‎ ‎（2）¬p是¬q的充分不必要条件，可转化为q是p的充分不必要条件，进而转化为两个集合间的真子集关系，列出不等式即可．‎ ‎【解答】（1）当a＞0时，{x|x2﹣4ax+3a2＜0}={x|（x﹣3a）（x﹣a）＜0}={x|a＜x＜3a}，如果a=1时，则x的取值范围是{x|1＜x＜3}，而{x|x2﹣x﹣6≤0，且x2+2x﹣8＞0}={x|2＜x≤3}，‎ 因为p∧q为真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}．故实数x的取值范围是{x|2＜x＜3}．‎ ‎（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件．由（1）知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，易知a≤2且3＜3a，解得{a|1＜a≤2}．‎ 故实数a的取值范围是{a|1＜a≤2}．‎ ‎【点评】本题考查了二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知数列an满足a1+2a2+…+2n﹣1an=（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项；‎ ‎（Ⅱ）若bn=（3﹣n）an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）根据数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）数列an满足a12+2a+…+2n﹣1an=（n∈N*）（1）‎ 当n≥2时，=（2）‎ ‎（1）﹣（2）得：，‎ 整理得：，‎ 当n=1时，也满足上式 所以：．‎ ‎（Ⅱ）bn=（3﹣n）an=，‎ 则：①，‎ 所以：②，‎ ‎①﹣②得：，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ 所以：．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）直线l：x=2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，证明：|DE|•|DE|恒为定值．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的端点，△A1BA2的面积为2，建立方程组，可求椭圆方程．‎ ‎（2）A1（﹣2，0），A2（2，0）．设P（x0，y0），直线A1P的方程为y=（x+2），令x=2，得|DE|=，同理|DF|=，由此能求出|DE|•|DF|为定值3．‎ ‎【解答】（1）解：由已知，可得，‎ 解得a=2，b=． ‎ 故所求椭圆方程为． ‎ ‎（2）由题意可得：A1（﹣2，0），A2（2，0）．设P（x0，y0），‎ 由题意可得：﹣2＜x0＜2，‎ ‎∴直线A1P的方程为y=（x+2），令x=2，‎ 则y=，即|DE|=，‎ 同理：直线BP的方程为y=（x﹣2），令x=2，‎ 则y=，即|DF|=，‎ 所以|DE|•|DF|=×==，‎ ‎4y02=3（4﹣x02），代入上式，得|DE|•|DF|=3，‎ 故|DE|•|DF|为定值3．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查|DE|•|DE|恒为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n•an+1，其中a1=1‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=+，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2n+．‎ ‎【分析】（1）求出数列的首项，通过，得到数列的递推关系式，利用累加法求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）化简bn=+，为，然后求解数列{bn}的前n项和为Tn，即可证明：Tn＜2n+．‎ ‎【解答】（本题14分）‎ 解：（1）令n=1，得，即，由已知a1=1，得a2=2…（1分）‎ 把式子中的n用n﹣1替代，得到 由可得 即，即 即得：，…（3分）‎ 所以：‎ 即 …（6分）‎ 又∵a2=2，所以∵an=n（n≥2）‎ 又∵a1=1，∴an=n…（8分）‎ ‎（2）由（1）知 又∵…（11分）‎ ‎∴‎ ‎∴…（14分）‎ ‎【点评】本题考查数列与不等式的应用，数列的递推关系式以及数列的求和的方法，通项公式的求法，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为．‎ ‎∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，‎ ‎∴当x=﹣c时，，得y=±，‎ ‎∴=，‎ ‎∵离心率为，∴=，‎ 解得b=，c=1，a=．‎ ‎∴椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），‎ 由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），‎ ‎∴‎ ‎=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1），‎ ‎=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，‎ ‎=6+=8，解得k=．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在椭圆C上．F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F2的直线交椭圆C于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的最小值和最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式，求得a2=2b2，将点代入椭圆方程，求得a和b的值，即可求得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）分类讨论，当斜率不存在时，求得M和N点坐标，即可求得，当直线的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为e===，则a2=2b2，‎ 将（1，）代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=2，…2分 ‎∴椭圆方程为…4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，F2（1，0），‎ ‎（1）若MN的斜率不存在，则M（1，），N（1，﹣），=﹣，…6分 ‎（2）若MN的斜率存在，设MN：y=k（x﹣1），‎ 则，整理得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，…8分 则=（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）=（k2+1）[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣，…10分 ‎=﹣﹣∈[﹣1，﹣），‎ ‎∴的最小值为﹣1，最大值为﹣．…12分．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎