安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考数学文试题(解析版)

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文档介绍

安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考数学文试题(解析版)

高三年级三月份联考 数学(文科)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得到集合,再和集合求交集即可得出结果.‎ ‎【详解】解不等式得,所以,又,‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查集合的交集,熟记概念即可,属于基础题型.‎ ‎2.设(,为虚数单位),则的表达式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的运算法则化简,再由复数相等求出,进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为,又,所以,‎ 因此.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查复数的运算,熟记运算法则以及复数相等的充要条件即可,属于基础题型.‎ ‎3.曲线在点处的切线经过点,则的值为( )‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导,求出,进而可得切线方程,再由切线过点,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为,所以,故,又,‎ 所以曲线在点处的切线方程为,又该切线过点,所以,解得.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义,先对函数求导,求出函数在点处的切线方程即可,属于常考题型.‎ ‎4.某位教师2017年的家庭总收入为80000元,各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图,已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元,则该教师2018年的家庭总收入为( )‎ A. 100000元 B. 95000元 C. 90000元 D. 85000元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据折线图求得年的就医费用,然后求得年的就医费用,这个费用除以即可求得年家庭总收入.‎ ‎【详解】由已知得,2017年的就医费用为元,故2018年的就医费用为12750元,所以该教师2018年的家庭总收入为元.故选D ‎【点睛】本小题主要考查阅读分析能力,图表分析能力,考查生活中的数学问题,属于基础题.‎ ‎5.已知,,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用正切值求得余弦值,再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值.‎ ‎【详解】,得,‎ 而.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法,考查三角函数诱导公式、二倍角公式,属于基础题.‎ ‎6.如图是某几何体的三视图,则过该几何体顶点的所有截面中,最大的截面面积是( )‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 所有截面都是等腰三角形,根据三角形的面积公式可知,当顶角为时,面积取得最大值,由此求得最大的截面面积.‎ ‎【详解】将三视图还原,可知几何体是一个轴截面的顶角为的半圆锥,故过其顶点的截面面积.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图,考查圆锥的截面面积最大值的计算,考查三角形面积公式,属于中档题.‎ ‎7.若是从区间内任意选取的一个实数,也是从区间内任意选取的一个实数,则点在圆:内的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是从区间内任意选取的一个实数,也是从区间内任意选取的一个实数,可知点构成正方形区域,求出正方形的面积以及圆的面积,即可由面积比得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为是从区间内任意选取的一个实数,也是从区间内任意选取的一个实数,所以点的所有取值构成边长为4的正方形区域,且正方形面积为;‎ 如图所示,作出满足题意的正方形和圆,‎ 在圆:内,由可得,所以,所以;‎ 因此,‎ 所以阴影部分面积为,‎ 所以点在圆:内的概率为.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型,熟记公式即可,属于常考题型.‎ ‎8.函数的部分图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先令求得,排除选项.通过的值排除A选项.通过的值排除D选项.由此得到正确选项.‎ ‎【详解】当时,由知,选项C不正确;‎ 又因为 ,所以选项A不正确;‎ 当时,,故选项D不正确,‎ 可知选项B正确.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的识别,考查特殊值法,考查特殊角的三角函数值,属于基础题.‎ ‎9.已知直线:与轴,轴分别交于点,,点在椭圆上运动,则面积的最大值为( )‎ A. 6 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线方程求出点,坐标,得到长度,再由椭圆方程设出点坐标,根据点到直线距离公式,求出三角形的高,进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为:与轴,轴分别交于点,,所以,,因此,‎ 又点在椭圆上运动,所以可设,‎ 所以点到直线的距离为(其中),所以.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,需要用到点到直线距离公式等,属于常考题型.‎ ‎10.已知锐角的角,,的对边分别为,,,且,三角形的面积,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的面积求得边上的高,设,用勾股定理求得的表达式,利用二次函数求值域的方法求得的取值范围.‎ ‎【详解】设边上的高为,‎ 则,则.以为直径作圆,显然在圆外,故为锐角,又、为锐角,设,因为已证为锐角,所以的取值因,为锐角限定,所以,所以 ,对称轴为,由,对称轴时取得最小值,两端是最大值(不能取得),可得的取值范围为.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式,考查勾股定理,考查二次函数求值域的方法,属于中档题.‎ ‎11.在中,,,,过的中点作平面的垂线,点在该垂线上,当时,三棱锥外接球的半径为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由,,可得,因此为底面外接圆圆心,所以外接球球心在上,记球心为,连结,即可结合勾股定理求解.‎ ‎【详解】因为,,,所以,因此为底面外接圆圆心,又因为平面,所以外接球球心在上,记球心为,连结,设球的半径为,则,‎ 所以,又,所以在中,,即,解得.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算,熟记公式即可,属于常考题型.‎ ‎12.已知双曲线:的左,右焦点分别为,,右顶点为,以为圆心,(为坐标原点)为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为,若,且,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到,,求出,再由双曲线的定义结合求出,两式相等,即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可得,,因为,所以,又因点在双曲线的右支上,所以,因为,所以;因此,即,所以,解得,因为,所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查双曲线的离心率,熟记双曲线的性质即可,属于常考题型.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.已知向量,,,若向量与向量共线,则实数的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由,得出向量的坐标表示,再由向量与向量共线,即可求出结果.‎ ‎【详解】因为向量,,所以;又,向量与向量共线,所以,解得.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,熟记共线向量定理即可,属于基础题型.‎ ‎14.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡九千人,南乡五千四百人,凡三乡,发役五百,意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役,则北乡比南乡多抽__________人.‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题中数据求出抽样比,确定每乡抽取的人数,进而可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可得,三乡共有人,从中抽取500人,因此抽样比为,所以北乡共抽取人;南乡共抽取人,所以 北乡比南乡多抽人.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查分层抽样,只需依题意确定抽样比即可求解,属于基础题型.‎ ‎15.若,满足约束条件,则的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由约束条件作出可行域,再由目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率,结合图像即可得出结果.‎ ‎【详解】由约束条件作出可行域如下:‎ 因为目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率,所以由图像可得或,由解得;由解得;‎ 所以,,因此的取值范围是.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划,只需由约束条件作出可行域,分析目标函数的几何意义即可求解,属于基础题型.‎ ‎16.已知函数,函数是定义域为的奇函数,且,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意求出,再由是定义域为的奇函数,求出,进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为,,所以,即,‎ 又函数是定义域为的奇函数,所以,‎ 因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,熟记函数奇偶性定义即可,属于基础题型.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.已知等差数列的前项和为,,公差为.‎ ‎(1)若,求数列的通项公式;‎ ‎(2)是否存在,使成立?若存在,试找出所有满足条件的,的值,并求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,求出,即可求出结果;‎ ‎(2)由等差数列的前项和公式和,先得到,再分别取以及,逐一验证即可得出结果.‎ ‎【详解】解:(1)当时,由,‎ 得,‎ 解得,‎ 所以.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎(2)由题可知,‎ 由,得,‎ 即,‎ 所以.‎ 令时,得不存在;‎ 时,得符合.‎ 此时数列的通项公式为;‎ 时,得不符合;‎ 时,得符合,‎ 此时数列的通项公式为;‎ 时,得符合.‎ 此时数列的通项公式为;‎ 时,得不符合,时,得不符合;‎ 时,得不符合,时,均不符合,‎ 所以存在3组,其解与相应的通项公式分别为 ‎,,;‎ ‎,,;‎ ‎,,.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列,熟记等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解,属于常考题型.‎ ‎18.如图(一),在直角梯形中,,,,是的中点,将沿折起,使点到达点的位置得到图(二),点为棱上的动点.‎ ‎(1)当在何处时,平面平面,并证明;‎ ‎(2)若,,证明:点到平面的距离等于点到平面的距离,并求出该距离.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先判断出点为棱中点时,平面平面;再根据面面垂直的判定定理即可得出结论成立;‎ ‎(2)先由(1)得到平面平面,且交线为,再过点作交的延长线于点,从而可得就是点到底面的距离,最后由,即可求出结果.‎ ‎【详解】解:(1)当点为棱中点时,平面平面.‎ 证明如下:‎ 在图(一)的直角梯形中,,,,是的中点,‎ 所以.‎ 在图(二)中,有,,,平面,平面,‎ 所以平面.‎ 又平面,‎ 所以.‎ 又,所以.‎ 由于,‎ 为的中点,‎ 所以.‎ 又因为,平面,平面,‎ 所以平面.‎ 又平面,‎ 所以平面平面.‎ ‎(2)图(一)中,由及条件关系,‎ 得,‎ 由(1)的证明可知,在图(二)中有平面.‎ 所以平面平面,且交线为,‎ 所以过点作交的延长线于点,‎ 由平面平面,可知平面,‎ 所以就是点到底面的距离.‎ 由知,‎ 所以.‎ 设点到平面的距离为,‎ 由,‎ 得 ,‎ 即,‎ 即得点到平面的距离等于点到平面距离,且为.‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的判定,以及点到面的距离问题,需要考生熟记面面垂直的判定定理,灵活掌握等体积法等,属于常考题型.‎ ‎19.为了选拔学生参加全市中学生物理竞赛,学校先从高三年级选取60名同学进行竞赛预选赛,将参加预选赛的学生成绩(单位:分)按范围,,,分组,得到的频率分布直方图如图:‎ ‎(1)计算这次预选赛的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(2)若对得分在前的学生进行校内奖励,估计获奖分数线;‎ ‎(3)若这60名学生中男女生比例为,成绩不低于60分评估为“成绩良好”,否则评估为“成绩一般”,试完成下面列联表,是否有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关?‎ 成绩良好 成绩一般 合计 男生 女生 合计 附:,‎ 临界值表:‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】(1)56分;(2)67.5分;(3)有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)平均值等于每组的中间值乘以该组频率再求和,即可得出结果;‎ ‎(2)根据题意先求出获奖分数线所在的区间,设获奖分数线为,再由题意列出方程,即可求出结果;‎ ‎(3)先求出成绩落在区间的人数,根据60名学生中男女生比例为,求出男女生人数,即可完善列联表,再由公式求出,结合临界值表即可得出结果.‎ ‎【详解】解:(1)预选赛的平均成绩为(分).‎ ‎(2)因为成绩落在区间的频率是,成绩落在区间的频率是,,‎ 所以获奖分数线落在区间.‎ 设获奖分数线为,则,‎ 解得,‎ 即获奖分数线为67.5分.‎ ‎(3)成绩落在区间的人数为,‎ 又60人中男女生比例为,故男生40人,女生20人,‎ 可得列联表如下:‎ 成绩良好 成绩一般 合计 男生 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 女生 ‎3‎ ‎17‎ ‎20‎ 合计 ‎18‎ ‎42‎ ‎60‎ 所以.‎ 又因为,‎ 所以有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图中平均值的计算,以及独立性检验问题,熟记公式即可求解,属于基础题型.‎ ‎20.已知抛物线:,圆:.‎ ‎(1)若过抛物线的焦点的直线与圆相切,求直线方程;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若直线交抛物线于,两点,轴上是否存在点使(为坐标原点)?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)切线方程为或.(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求得抛物线的焦点,根据点斜式设出直线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线的方程.(2)联立直线的方程和抛物线的方程,化简后写出韦达定理,根据,则列方程,解方程求得的值,进而求得点的坐标.‎ ‎【详解】解:(1)由题知抛物线的焦点为,‎ 当直线的斜率不存在时,过点的直线不可能与圆相切;‎ 所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,‎ 设直线斜率为,则所求的直线方程为,即,‎ 所以圆心到直线的距离为,‎ 当直线与圆相切时,有,‎ 所以所求的切线方程为或.‎ ‎(2)由(1)知,不妨设直线:,交抛物线于,两点,‎ 联立方程组,‎ 所以,,‎ 假设存在点使,‎ 则.‎ 而,,‎ 所以 ‎,‎ 即,‎ 故存在点符合条件.‎ 当直线:时,‎ 由对称性易知点也符合条件.‎ 综合可知在(1)的条件下,存在点使.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线方程,考查直线和圆的位置关系,考查直线和抛物线的交点,综合性较强,属于中档题.直线和圆的位置关系,主要利用的是圆心到直线的距离来求解,也即圆心到直线的距离小于半径,则直线和圆相交,若距离等于半径,则直线和圆相切,若距离大于半径,则直线和圆相离.‎ ‎21.设函数.‎ ‎(1)试讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若,证明:方程有且仅有3个不同的实数根.(附:,,)‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先对函数求导,分类讨论和两种情况,即可得出结果;‎ ‎(2)将代入函数解析式,得到,根据(1)中结果,得到函数单调性,求出函数极值,即可得出结果.‎ ‎【详解】解:(1)由,‎ 得,‎ 令,‎ 所以,‎ 所以当时,,恒成立,‎ 即恒成立,‎ 所以单调递增;‎ 当时,,此时方程有两个不相等的根,,不妨设,‎ 令 ,‎ 所以,,‎ 所以当时,,‎ 即,所以单调递增;‎ 当时,,‎ 即,所以单调递减;‎ 当时,,‎ 即,所以单调递增.‎ 综上,当时,在上单调递增;‎ 当时,的单调递增区间为,;的单调递减区间为.‎ ‎(2)当时,,‎ 由(1)知,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以当时,函数有极大值,且 ,‎ 当时,函数有极小值,‎ 且 .‎ 又因为,,‎ 所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点,‎ 所以当时,方程有且仅有3个不同的实数根.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用,通常需要对函数求导,由导数的方法研究函数的单调性和极值等,属于常考题型.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),过点作斜率为的直线与圆交于,两点.‎ ‎(1)若圆心到直线的距离为,求的值;‎ ‎(2)求线段中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由圆的参数方程消去参数得到圆的普通方程,由题意设直线的方程,再根据点到直线的距离公式即可求出结果;‎ ‎(2)由题意,设直线的参数方程为(为参数),代入圆的方程,结合韦达定理写出点E坐标,进而可求出结果.‎ ‎【详解】解:(1)由题知,圆的普通方程为,‎ 即圆的圆心为,半径.‎ 依题可设过点的直线的方程为,即,‎ 设圆心到直线的距离为,‎ 则,‎ 解得.‎ ‎(2)设直线的参数方程为(为参数),,代入圆:,‎ 得.‎ 设,,对应的参数分别为,,,则,‎ 所以,.‎ 又点的坐标满足,‎ 所以点的轨迹的参数方程为,即 ,‎ 化为普通方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程,熟记参数方程与普通方程的互化即可求解,属于常考题型.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)在平面直角坐标系中作出函数的图象;‎ ‎(2)若当时,不等式恒成立,求的最大值.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)-6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将函数写出分段函数的形式,在坐标系内作出每段的图像即可;‎ ‎(2) 当时,由(1)可求出数的图象与轴的交点的纵坐标为3,各部分所在直线的斜率的最小值为-3,再由不等式恒成立,可求出的范围,进而可求出结果.‎ ‎【详解】解:(1)‎ ‎,‎ 其图象如下图:‎ ‎(2)若,由(1)知函数的图象与轴的交点的纵坐标为3,‎ 各部分所在直线的斜率的最小值为-3,‎ 故当且仅当且时时,不等式恒成立,‎ 所以,所以,‎ 故的最大值为-6.‎ ‎【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式,通常需要分情况去绝对值求解,属于常考题型.‎
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