历届高考数学真题汇编专题14_复数_理(2)

历届高考数学真题汇编专题14_复数_理(2)

‎【2012年高考试题】‎ ‎1.【2012高考真题浙江理2】 已知i是虚数单位，则=‎ A .1-2i 　　　　　B.2-i 　　C.2+i D .1+2i ‎ ‎2.【2012高考真题新课标理3】下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）‎ ‎ 的共轭复数为 的虚部为 ‎ ‎ ‎3.【2012高考真题四川理2】复数（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎【解析】‎ ‎4.【2012高考真题陕西理3】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B.‎ ‎【解析】或，而复数是纯虚数，‎ 是纯虚数，故选B.‎ ‎5.【2012高考真题上海理15】若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.【2012高考真题山东理1】若复数满足（为虚数单位），则为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】。故选A。‎ ‎7.【2012高考真题辽宁理2】复数 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎9.【2012高考真题广东理1】 设i为虚数单位，则复数=‎ A．6+5i B．6-5i C．-6+5i D．-6-5i ‎ ‎ 【答案】D ‎【解析】=．故选D．‎ ‎10.【2012高考真题福建理1】若复数z满足zi=1-i，则z等于 A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i ‎【答案】A.‎ ‎ 【解析】根据知，，故选A.‎ ‎11.【2012高考真题北京理3】设a，b∈R。“a=‎0”‎是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎12.【2012高考真题安徽理1】复数满足：；则（ ）‎ ‎ ‎ ‎13．【2012高考真题天津理1】i是虚数单位，复数=‎ ‎ （A） 2 + i （B）2 – i ‎ （C）-2 + i （D）-2 – i ‎【答案】B ‎【解析】复数，选B.‎ ‎14.【2012高考真题全国卷理1】复数=‎ A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，选C.‎ ‎ 15.【2012高考真题重庆理11】若，其中为虚数单位，则 ‎ ‎16.【2012高考真题上海理1】计算： （为虚数单位）。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】复数。‎ ‎17.【2012高考江苏3】（5分）设，（i为虚数单位），则的值为 ▲ ．‎ ‎18.【2012高考真题湖南理12】已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_____.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】=，.‎ ‎【2011年高考试题】‎ 一、选择题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科2)复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ‎（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 ‎4.(2011年高考浙江卷理科2)把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=‎ ‎（A） （B） （C）（D）‎ ‎【答案】 A ‎【解析】 故选A ‎5．(2011年高考广东卷理科1)设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则Z=（ ）‎ ‎ A．1+i B．1-i C．2+2i D．2-2i ‎【解析】B.由题得所以选B. ‎ ‎6.(2011年高考辽宁卷理科1)a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ）‎ ‎（A）2 （B） (C) (D)1‎ 答案： B 解析：,a>0,故a=.‎ ‎7. (2011年高考全国新课标卷理科1)复数的共轭复数是（ ）‎ A B C D;‎ ‎8.(2011年高考江西卷理科1)若，则复数 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为=，所以复数,选D.‎ ‎9. (2011年高考江西卷理科7)观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为 ‎ A．3125 B．‎5625 C．0625 D．8125‎ ‎10．(2011年高考江西卷理科10)如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是 ‎12．(2011年高考湖北卷理科1)i为虚数单位，则=‎ A.－i B.－‎1 ‎C.i D.1‎ 答案：A ‎ 解析：因为,故所以选A.‎ ‎13．(2011年高考陕西卷理科7)设集合，‎ 则为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】：由即 由得即故选C ‎14.(2011年高考重庆卷理科1)复数 ‎（A） (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ 解析：选B. 。‎ 二、填空题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科15)设函数,观察:‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当且时， .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.‎ ‎2.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.‎ ‎①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ‎②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ‎③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点 ‎④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ‎⑤存在恰经过一个整点的直线 ‎3. (2011年高考湖北卷理科15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：‎ n=1‎ n=2‎ n=3‎ n=4‎ 由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个[黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）‎ ‎4．(2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式 照此规律，第个等式为 ‎ ‎【答案】‎ ‎3、(2011年高考安徽卷江苏3)设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为，所以,故的实部是1.‎ 三、解答题:‎ ‎1．(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。‎ ‎（19）(2011年高考安徽卷理科19)（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）设证明，‎ ‎（Ⅱ），证明.‎ ‎【命题意图】：本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。‎ ‎【证明】：(Ⅰ)由于，所以 要证明：‎ 只要证明：‎ 只要证明：‎ 只要证明：‎ 只要证明：‎ 由于，上式显然成立，所以原命题成立。‎ ‎2. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）‎ 已知数列与满足：， ，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）设证明：．‎ ‎【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎（Ⅰ）解:由,,可得, 又 当n=1时,,由,,得;‎ 当n=2时,,可得.‎ 当n=3时,,可得.‎ ‎（III）证明：由（II）可得，‎ 于是，对任意，有 将以上各式相加，得 即，‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意，‎ ‎3. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，‎ ‎，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，‎ ‎，故，），则（1） ；（2） .‎ 答案：2; 1093‎ ‎4. (2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数 求函数的零点个数，并说明理由；‎ 设数列满足证明：存在常数 使得对于任意的都有 解：由知，，而且，‎ ‎，则为的一个零点，且在内由零点，‎ 因此至少有两个零点.‎ 综上所述，有且只有两个零点.‎ 解法2 由，记则 当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，‎ 从而在上至多有一个零点.‎ 综上所述，有且只有两个零点.‎ 记的正零点为，即 ‎（1）当时，由得，而，因此.‎ 由此猜测：.下面用数学归纳法证明.‎ ‎①当时，显然成立，‎ ‎②假设当时，成立，则当时，由 知 因此，当时，成立 故对任意的成立 ‎5. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,‎ (1) 求数列的通项公式；‎ (2) 证明：对于一切正整数n,‎ ‎【解析】（1）由 ‎ 令，‎ ‎ 当 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ①当时，‎ ‎ ‎ ‎6．(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）‎ ‎【解析】解：（1）证明：切线的方程为 ‎ ‎ ‎ 当 ‎ 当 ‎ （2）的方程分别为 ‎ 求得的坐标，由于，故有 ‎ 1）先证：‎ ‎ （）设 ‎ 当 ‎ 当 ‎ （）设 ‎ 当 ‎ 注意到 ‎ （3）求得的交点 ‎ 而是Ｌ的切点为的切线，且与轴交于，‎ ‎ 由（１）线段Q1Q2，有 ‎ 当 ‎ ‎ ‎ 在（0，2）上，令 ‎ ‎ ‎7. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）‎ ‎(Ⅰ)已知函数，求函数的最大值；‎ ‎(Ⅱ)设均为正数，证明：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2）若，则 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想. ‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为，令，解得，‎ 当时，，在（0，1）内是增函数；‎ 当时，，在内是减函数；‎ 故函数在处取得最大值 ‎（Ⅱ）‎ ‎（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即，‎ ‎，从而有，得，‎ 求和得,‎ ‎,,即 ‎.‎ ‎8.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设 ‎【解析】：（Ⅰ）由得，‎ 前项为，‎ ‎【解析】：（Ⅰ） ‎ 故 ‎（Ⅱ）法一：第次抽取时概率为，则抽得的20个号码互不相同的概率 由（Ⅰ），当 即有故 ‎10．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）‎ ‎ 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 ‎ （1）记为满足的点的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点的个数，求 解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。‎ ‎（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。‎ ‎（2）设，则 对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；‎ 当n-1被3整除时，解数一共有：‎ 当n-1被3除余1时，解数一共有：‎ 当n-1被3除余2时，解数一共有：‎ ‎11．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）‎ ‎ 若数列满足，数列为数列，记=．‎ ‎ （Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；‎ ‎ （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；‎ ‎ （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。‎ ‎ 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.‎ ‎ 又因为a1=12，a2000=2011,‎ ‎ 所以a2000=a1+1999.‎ ‎ 故是递增数列.‎ ‎ 综上，结论得证。‎ ‎ （Ⅲ）令 ‎ 因为 ‎ ……‎ ‎ ‎ ‎【2010年高考试题】‎ ‎（2010浙江理数）（5）对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 解析：可对选项逐个检查，A项，，故A错，B项，，故B错，C项，，故C错，D项正确。‎ ‎（2010全国卷2理数）（1）复数 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】.‎ ‎（2010辽宁理数）(2)设a,b为实数，若复数，则 ‎（A） (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎（2010江西理数）1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ）‎ A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2‎ C. x=1，y=1 D. x=1，y=2‎ ‎（2010四川理数）（1）i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝‎ ‎（A）－1 （B）1 （C） （D）‎ 解析：由复数性质知：i2＝－1‎ 故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1‎ 答案：A ‎（2010天津理数）（1）i 是虚数单位，复数 ‎(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i ‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。‎ 进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.‎ ‎（2010广东理数）2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（ ）‎ A．4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3‎ ‎2. A．‎ ‎（2010全国卷1理数）(1)复数 ‎(A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13‎ ‎（2010山东理数）(2) 已知（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=‎ ‎(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3‎ ‎1.（2010安徽理数）1、是虚数单位， ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎1.B ‎【解析】，选B.‎ ‎【规律总结】为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论.‎ ‎2. （2010福建理数）‎ ‎（2010重庆理数）（11）已知复数z=1+I ，则=____________.‎ 解析：‎ ‎（2010北京理数）（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为 。‎ 答案：（-1,1） ‎ ‎（2010江苏卷）2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_________.‎ ‎[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。‎ ‎（2010湖北理数）1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是 A．E B.F C.G D.H ‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】观察图形可知,则，即对应点H（2，－1），故D正确.‎ ‎【2009年高考试题】‎ ‎21．( 2009·天津理1) i是虚数单位，=‎ ‎（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i 考点定位本小考查复数的运算，基础题。‎ 解析：，故选择D。‎ ‎23．( 2009·浙江文理3)设（是虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 命题意图本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质的理解程度．‎ 解析对于 ‎24．( 2009·山东文理2)复数等于（ ）． ‎ A． B． C． D． ‎ ‎26．( 2009·辽宁理2)已知复数，那么=‎ ‎ ‎ ‎28． (2009·广东理2) 设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，‎ A． 8 B． ‎6 ‎‎ ‎‎ C． 4 D． 2‎ 解析，则最小正整数为4，选C．‎ ‎31． (2009·福建理13) 复数的实部是 -1 。‎ 解析 =-1-I,所以实部是-1。‎ ‎32． (2009·福建理11)若（i为虚数单位， ）则_________ w．w．w．k．s．5．u．c．o．m ‎ 答案：2‎ ‎ 解析：由，所以故。‎ ‎【2008年高考试题】‎ ‎3．（2008·山东）设z的共轭复数是，或z+=4,z·＝8，则等于 ‎（A）1　　　　　　　（B）-i (C)±1 (D) ±i ‎4．（2008·广东）已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析，而，即， ‎ 答案：C ‎ ‎【2007年高考试题】‎ ‎1．(2007·广东) ．若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=‎ ‎ (A) 2 (B) (C) - (D) -2‎ 解：(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i，而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数，那么由2-b=0‎ 且1+2b≠0得b=2，故选A。‎