2018-2019学年四川省成都外国语学校高二上学期半期考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年四川省成都外国语学校高二上学期半期考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省成都外国语学校高二上学期半期考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．下列各点中，在不等式表示的平面区域内的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意，依次将选项中点的坐标代入不等式2x+y﹣6≤0，验证其是否成立，若成立，则 在不等式表示的平面区域内，否则不在，综合即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，将（0，7）代入不等式2x+y﹣6≤0，可得7﹣6≤0，不等式不成立，点（0，7）不 在不等式2x+y﹣6≤0表示的平面区域内，A错误；‎ 对于B，将（5，0）代入不等式2x+y﹣6≤0，可得10﹣6≤0，不等式不成立，点（5，0）‎ 不在不等式2x+y﹣6≤0表示的平面区域内，B错误；‎ 对于C，将（0，6）代入不等式2x+y﹣6≤0，可得6﹣6≤0，不等式成立，点（0，6）在不 等式2x+y﹣6≤0表示的平面区域内，C正确；‎ 对于D，将（2，3）代入不等式2x+y﹣6≤0，可得7﹣6≤0，不等式不成立，点（2，3）不 在不等式2x+y﹣6≤0表示的平面区域内，D错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是二元一次不等式组与平面区域，掌握已知不等式表示的平面区域是解答 本题的关键．‎ ‎2．抛物线的准线方程是(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】选D　由抛物线方程，可知抛物线的准线方程是.‎ ‎3．双曲线的渐近线方程为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 将双曲线的方程化为标准方程，由双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±x，即可得到所求渐近线方程．‎ ‎【详解】‎ 双曲线即为，‎ 由双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±x，‎ 可得所求双曲线的渐近线方程为y=±x．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．（2）解答圆锥曲线的问题，首先通常把圆锥曲线的方程化为标准式.‎ ‎4．方程表示一个圆，则的取值范围是(　　 )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由二元二次方程表示圆的条件得到m的不等式，解不等式即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵方程+x+y﹣m=0表示一个圆，∴1+1+4m＞0，∴m＞﹣‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二元二次方程表示圆的条件，属基础知识的考查.(2)‎ 表示圆的充要条件是.‎ ‎5．已知抛物线： 的焦点为，过点且倾斜角为的直线交曲线于， 两点，则弦的中点到轴的距离为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知过点的直线方程为，‎ 联立方程消去得： . ‎ 设， ，则，‎ 所以弦的中点的横坐标为，故到轴的距离为，‎ 故选D．‎ ‎6．设是椭圆的左，右焦点，过作轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意推出椭圆上的点的坐标，代入椭圆方程，得到a、b、c的关系，然后求解椭圆的离心 率即可．‎ ‎【详解】‎ 是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，过点作x轴的垂线交椭圆四点构成 一个正方形，所以（c，c）是椭圆上的点，可得：，即，‎ ‎，‎ 可得．解得e==．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．（2）求离 心率常用的有公式法、方程法.‎ ‎7．设满足约束条件,则目标函数的最大值为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 先作出不等式组对应的可行域，如图所示，再利用线性规划求出目标函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由题得不等式组对应的可行域如图所示，‎ 由题得y=-2x+z,当直线y=-2x+z经过点A时，直线的纵截距z最大，‎ 联立得A(),所以z最大为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)‎ 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.‎ ‎8．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2）‎ 到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值．‎ ‎【详解】‎ 要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，‎ 此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m，‎ 由点到直线的距离公式得 m==4，‎ 由勾股定理求得切线长的最小值为=．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理的应用．解题的关键是理解 要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小．‎ ‎9．设椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个公共点,则的值等于 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），‎ 解方程组，得．‎ 取P点坐标为，，，‎ cos∠F1PF2==．‎ 故选A．‎ ‎10．已知分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用均值不等式建立关系式，‎ ‎==+4a+m≥8a，最后求出结果．‎ ‎【详解】‎ 设|PF2|=m，（m≥c﹣a）‎ 则：根据双曲线的定义：|PF1|=2a+m，‎ 所以==+4a+m≥8a当且仅当m=2a时成立．‎ 因为m≥c﹣a，‎ 所以c﹣a≤2a 即解得：1＜e≤3‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题考查的知识要点：双曲线的定义的应用．双曲线的离心率，均值不等式的应用，‎ 属于中等题型．（2）求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.‎ ‎11．已知实数满足，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画出x2+y2≤1，3x+4y≤0的表示区域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义，求解即 可．‎ ‎【详解】‎ 实数x，y满足x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示的区域如图：‎ 则==，表示阴影区域与（3，1）连线的斜率，‎ 解得A（，﹣）．B（﹣，），kPB==‎ 则==，‎ 令y﹣1=k（x﹣3），可得kx﹣y﹣3k+1=0，‎ 由题意可得：，可得k=0或k=，‎ ‎∈[，]，‎ ‎1﹣∈[，]．‎ ‎∴∈[，4]．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义的转化与求解是解题的关键，考查数形结合 以及计算能力．‎ ‎12．已知椭圆的左、右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若，且是曲线上不同的点，满足，则的取值范围为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由已知条件推导出曲线C2：y2=4x．，，由 AB⊥BC，推导出，由此能求出的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆C1：+=1的左右焦点为F1，F2，‎ ‎∴F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l1：x=﹣1，‎ 设l2：y=t，设P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），‎ 则y=t，且由|MP|=|MF2|，‎ ‎∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2，‎ ‎∴曲线C2：y2=4x．‎ ‎∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，‎ ‎∴，，‎ ‎∵AB⊥BC，‎ ‎∴=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y2﹣y1）=0，‎ ‎∵，，‎ ‎∴（﹣4）（﹣）+=0，‎ ‎∵y1≠2，y1≠y2，‎ ‎∴，‎ 整理，得，‎ 关于y1的方程有不为2的解，‎ ‎∴，且y2≠﹣6，‎ ‎∴0，且y2≠﹣6，‎ 解得y2＜﹣6，或y2≥10．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数的取值范围的求法，考查点的轨迹方程的求法，综合性强，难度大，解题时要 熟练掌握圆锥曲线的简单性质，注意函数与方程思想的合理运用．‎ 二、填空题 ‎13．已知椭圆与双曲线有共同的焦点,则_________‎ ‎【答案】 4‎ ‎【解析】‎ 先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的焦距求m的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得椭圆的焦点为（-3,0）和（3,0）,所以3=，所以m=4.‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．空间直角坐标系中，在轴上与点和点等距离的点的坐标为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设出C的坐标，根据所给的两个点的坐标，代入求两点之间的距离公式即得解.‎ ‎【详解】‎ 设所求C（0，0，z），‎ ‎∵C与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离 ‎∴=，‎ 解得z=.‎ 故答案为：（0，0，）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间两点间的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．设椭圆的左,右焦点分别为,过焦点的直线交椭圆于两点,若的内切圆的面积为,则____________‎ ‎【答案】 3‎ ‎【解析】‎ 由已知△ABF2内切圆半径r=1．，从而求出△ABF2，再由ABF2面积=|y1﹣y2|×2c，能求 出|y1﹣y2|．‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆+=1的左右焦点分别为F1，F2，a=3，b=，c=2，‎ 过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，△ABF2的内切圆的面积为π，‎ ‎∴△ABF2内切圆半径r=1．‎ ‎△ABF2面积S=×1×（AB+AF2+BF2）=2a=6，‎ ‎∴ABF2面积S=|y1﹣y2|×2c=|y1﹣y2|×2×2=6，‎ ‎∴|y1﹣y2|=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义及简单几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形的 内切圆和面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是得到△ABF2面积S=×1×（AB+AF2+BF2）=2a=6，其二是得到 ABF2面积S=|y1﹣y2|×2c=|y1﹣y2|×2×2=6.‎ ‎16．方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④的图像不经过第一象限，其中正确结论的个数是___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 先根据题意画出方程的曲线即为函数y=f（x）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的结论的正确性．‎ ‎【详解】‎ 根据题意画出方程的曲线即为函数y=f（x）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形． 从图形中可以看出，关于函数 的有下列说法： ①R上单调递减；正确． ②由 即 ，从而图形上看，函数的图象与直线没有交点，故函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；正确． ③函数y=f（x）的值域是R；正确． ④的图象不经过第一象限，正确． 其中正确的个数是4． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用、函数单调性的应用、圆锥曲线的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题 三、解答题 ‎17．(1)已知圆的圆心是直线与轴的交点，且与直线相切，求圆的标准方程；‎ ‎(2)已知圆，直线过点与圆相交于两点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2)或 ‎【解析】‎ ‎（1）求出直线x﹣y+1=0与x轴的交点即为圆心C坐标，求出点C到直线x+y+3=0的距离 即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；(2) 由题意画出图象，由弦长公式求出圆心到直线 l的距离，对直线l的斜率分类讨论，根据点到直线的距离公式求出直线的斜率，即可求出 直线l的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对于直线x﹣y+1=0，令y=0，得到x=﹣1，即圆心C（﹣1，0），‎ ‎∵圆心C（﹣1，0）到直线x+y+3=0的距离d==，‎ ‎∴圆C半径r=，‎ 则圆C方程为（x+1）2+y2=2；‎ ‎(2) 由题意画出图象，如图所示：‎ 过圆心C作CM⊥PQ，则|MP|=|MQ|=|PQ|=，‎ 由圆C的方程得到圆心C坐标（0，3），半径r=2，‎ 在Rt△CPM中，根据勾股定理得：CM=1，‎ 即圆心到直线的距离为1，‎ ‎①当直线l的斜率不存在时，显然直线x=﹣1满足题意；‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，‎ 又过A（﹣1，0），则直线l的方程为y=k（x+1），‎ 即kx﹣y+k=0，‎ ‎∴圆心到直线l的距离d==1，解得k=，‎ ‎∴直线l的方程为4x﹣3y+4=0，‎ 综上，满足题意的直线l为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．‎ 故答案为：x=﹣1或4x﹣3y+4=0．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查直线和圆的方程是求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求直线和圆的方程，常用待定系数法，先定式后定量.‎ ‎18．(1)求与双曲线有相同的焦点且过点的双曲线标准方程；‎ ‎(2)求焦点在直线上的抛物线的标准方程.‎ ‎【答案】(1) (2)或 ‎【解析】‎ ‎(1)先求出双曲线的c,再代点P的坐标即得a,b的方程组，解方程组即得双曲线的标准方程.(2) ‎ 先根据焦点在直线x﹣2y+2=0上求得焦点的坐标，再分抛物线以x轴对称式和y轴对称式，‎ 分别设出抛物线的标准方程，求得p，即可得到抛物线的方程．‎ ‎【详解】‎ 由题得设双曲线的标准方程为，‎ 代点P的坐标得解方程组得.‎ ‎(2) ∵焦点在直线x﹣2y+2=0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，‎ 焦点的坐标为A（0， 1），或（-2，0），‎ 若抛物线以y轴对称式，设方程为x2=2py，=1，求得p=2，∴此抛物线方程为x2=4y；‎ 若抛物线以x轴对称式，设方程为y2=-2px，=2，求得p=4，∴此抛物线方程为y2=-8x；‎ 故所求的抛物线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定位后定量.‎ ‎19．过点作直线与双曲线交于，为弦的中点.‎ ‎(1)求所在直线的方程； (2)求的长.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)利用点差法求直线AB的斜率，再写出直线的点斜式方程化简即得.(2)利用弦长公式求|AB|的长.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 两式相减得，‎ ‎.‎ 所以直线的方程为即.‎ ‎（2）联立直线和双曲线的方程消去y得.‎ 所以|AB|=.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查中点弦方程的求法，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果已知中涉及圆锥曲线的弦的中点，一般利用点差法，可以减少运算，提高解题效率.使用点差法，一般先“设点代点”，再作差，最后化简，最后可以得到中点的坐标和直线的斜率的关系.‎ ‎20．已知椭圆，为其左, 右焦点.‎ ‎(1) 若点, 是椭圆上任意一点，求的最大值； ‎ ‎(2)直线与椭圆交于不同两点和，且（其中为坐标原点），求的值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎(1) ,即得的最大值,(2)联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再化简，把韦达定理代入得k的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ 故 ‎(2)将代入得.‎ 由直线与椭圆交于不同的两点，得 即.‎ 设，则.‎ 由,得.‎ 而 ‎.‎ 于是.解得.故的值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查椭圆的定义，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 一般已知中涉及直线和圆锥曲线的两个交点，常用韦达定理.‎ ‎21．已知点为抛物线的焦点,点是准线上的动点,直线交抛物线于两点,若点的纵坐标是,点为准线与轴的交点.‎ ‎(1)若,求的面积; (2)设，求的值.‎ ‎【答案】（1）； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题知，求出斜率用点斜式写出直线方程．设，用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式求出面积； （2），变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)解析：由题知，故，直线的方程为 记，联立直线与抛物线方程得：‎ ‎，于是 而点到直线的距离，所以 ‎(2)由直线,与抛物线联立得,‎ 所以.‎ ‎ ，‎ 于是 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程、抛物线焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强．‎ ‎22．已知椭圆的离心率为, 倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点且与圆相切.‎ ‎(1)求椭圆 的方程；‎ ‎(2)若直线与圆相切于点, 且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积与的面积分别为.‎ ‎①求的最大值； ②当取得最大值时，求的值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据已知得到a,b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程.(2) ①先把直线和椭圆的方程联立计算出，再计算出弦长|AB|和,即得的最大值；②先计算出，最后计算 ‎.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)依题直线的斜率.设直线的方程为,‎ 依题有： ‎ ‎(2)由直线与圆相切得： .‎ 设.将直线代入椭圆的方程得： ‎ ‎ 且 .‎ 设点到直线的距离为,故的面积为：‎ ‎,‎ 当.等号成立.故的最大值为1.‎ 设，由直线与圆相切于点，可得，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答第2问的关键是先准确求出|AB|的长，其次是求的最值.‎