2020年中考数学一模试卷 （解析版）

2020年中考数学一模试卷 （解析版）

‎2020年中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．计算9×（﹣5）的结果等于（　　）‎ A．45 B．﹣45 C．4 D．﹣14‎ ‎2．cos45°的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.7×104 B．1.7×105 C．1.7×106 D．0.17×106‎ ‎5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．估计在（　　）‎ A．2～3之间 B．3～4之间 C．4～5之间 D．5～6之间 ‎7．计算﹣1的结果为（　　）‎ A． B．x C．1 D．‎ ‎8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（　　）‎ A．（3，6） B．（4，3） C．（4，8） D．（2，3）‎ ‎9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）‎ A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3‎ ‎10．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（　　）‎ A．（3，2+m） B．（3+m，2） C．（2，3+m） D．（2+m，3）‎ ‎11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（　　）‎ A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H ‎12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：‎ ‎①﹣3＜a＜0；‎ ‎②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；‎ ‎③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分 ‎13．计算：a5÷a3＝　 　．‎ ‎14．计算（+1）（﹣1）的结果等于　 　．‎ ‎15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为　 　．‎ ‎16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为　 　．‎ ‎17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为　 　．‎ ‎18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．‎ ‎（Ⅰ）△ABC的面积为　 　；‎ ‎（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）‎ ‎19．解不等式组．‎ 请结合题意填空，完成本题的解答．‎ ‎（Ⅰ）解不等式①，得　 　；‎ ‎（Ⅱ）解不等式②，得　 　；‎ ‎（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：‎ ‎（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．‎ ‎20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）图①中a的值为　 　；‎ ‎（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．‎ ‎21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．‎ ‎（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．‎ ‎22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）‎ 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．‎ ‎23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．‎ ‎（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．‎ ‎（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．‎ ‎24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．‎ ‎（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；‎ ‎（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．‎ ‎25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；‎ ‎（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；‎ ‎（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．‎ 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．计算9×（﹣5）的结果等于（　　）‎ A．45 B．﹣45 C．4 D．﹣14‎ ‎【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．‎ 解：原式＝﹣9×5＝﹣45，‎ 故选：B．‎ ‎2．cos45°的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．‎ 解：cos45°＝．‎ 故选：D．‎ ‎3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．‎ 解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；‎ B、不是轴对称图形，本选项不合题意；‎ C、是轴对称图形，本选项符合题意；‎ D、不是轴对称图形，本选项不合题意；‎ 故选：C．‎ ‎4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.7×104 B．1.7×105 C．1.7×106 D．0.17×106‎ ‎【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．‎ 解：将17000用科学记数法可表示为1.7×104．‎ 故选：A．‎ ‎5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．‎ 解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．‎ 故选：B．‎ ‎6．估计在（　　）‎ A．2～3之间 B．3～4之间 C．4～5之间 D．5～6之间 ‎【分析】确定出被开方数23的范围，即可估算出原数的范围．‎ 解：∵16＜23＜25，‎ ‎∴4＜＜5，‎ 故选：C．‎ ‎7．计算﹣1的结果为（　　）‎ A． B．x C．1 D．‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．‎ 解：原式＝‎ ‎＝，‎ 故选：A．‎ ‎8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（　　）‎ A．（3，6） B．（4，3） C．（4，8） D．（2，3）‎ ‎【分析】联立两函数解析式解关于x、y的二元一次方程组即可得解．‎ 解：解析式联立，‎ 解得，‎ 所以，交点坐标为（3，6）．‎ 故选：A．‎ ‎9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，‎ y2，y3的大小关系是（　　）‎ A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3‎ ‎【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．‎ 解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，‎ ‎∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，‎ 又∵﹣6＜2＜3，‎ ‎∴y1＜y3＜y2．‎ 故选：C．‎ ‎10．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（　　）‎ A．（3，2+m） B．（3+m，2） C．（2，3+m） D．（2+m，3）‎ ‎【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，且BA＝OC即可得到结论．‎ 解：如图，在▱OABC中，O（0，0），C（m，0），‎ ‎∴OC＝BA＝m，‎ 又∵BA∥CO，‎ ‎∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，‎ ‎∴B（2+m，3），‎ 故选：D．‎ ‎11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（　　）‎ A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H ‎【分析】由折叠的性质可得AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，由“AAS”可证△BHE≌△AHA'，可得BE＝AA'＝2AC．‎ 解：∵将△ABC沿直线BC折叠，‎ ‎∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，‎ ‎∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC，‎ ‎∵AH⊥A'B，‎ ‎∴∠ABH＝∠BAH＝45°，‎ ‎∴AH＝BH，‎ ‎∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°，‎ ‎∴∠A'BC＝∠HAA'，‎ 又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°，‎ ‎∴△BHE≌△AHA'（AAS），‎ ‎∴BE＝AA'，‎ ‎∴BE＝2AC，‎ 故选：B．‎ ‎12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：‎ ‎①﹣3＜a＜0；‎ ‎②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；‎ ‎③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，分a＞0、a＜0分别求解即可；‎ ‎②△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，即可求解；‎ ‎③当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，即可求解．‎ 解：①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，‎ 当a＞0时，x＝﹣＞0，解得：a＜﹣3，无解；‎ 当a＜0时，x＝﹣＞0，解得：a＞﹣3，故﹣3＜a＜0；‎ 故①正确，符合题意；‎ ‎②ax2+bx+3＝2，即ax2+bx+1＝0，‎ ‎△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，‎ 故方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根，正确，符合题意；‎ ‎③抛物线y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3，‎ 当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），‎ 当x＝0时，y＝3，‎ 故③正确，符合题意；‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分 ‎13．计算：a5÷a3＝　a2　．‎ ‎【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．‎ 解：a5÷a3＝a5﹣3＝a2．‎ 故填a2．‎ ‎14．计算（+1）（﹣1）的结果等于　2　．‎ ‎【分析】利用平方差公式计算．‎ 解：原式＝3﹣1‎ ‎＝2．‎ 故答案为2．‎ ‎15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为　　．‎ ‎【分析】根据概率的求法，求出女生的人数与总人数的比值就是其发生的概率．‎ 解：∵九年一班共35名同学，其中女生有17人，‎ ‎∴现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率＝，‎ 故答案为：．‎ ‎16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为　y＝x+1　．‎ ‎【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k ‎，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，即可得解．‎ 解：∵一次函数y＝kx+b的图象平行于y＝x，‎ ‎∴k＝1，‎ ‎∴这个一次函数的解析式为y＝x+b．‎ 把点（3，4）代入得，4＝3+b，‎ 解得b＝1，‎ 所以这个一次函数的解析式为y＝x+1，‎ 故答案为y＝x+1．‎ ‎17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为　　．‎ ‎【分析】先证明△AOG≌△BOF（ASA）、△BOF≌△COH≌DOE≌△AOG，进而证明四边形EGFH为正方形，求出两个正方形的边长，由勾股定理求得AC、GF的长，从而得出OC、OH的长度，由有两个角相等的三角形相似判定△OHM∽△OCH，由相似三角形的性质得出比例式，计算即可求得OM的长．‎ 解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD为对角线，‎ ‎∴OA＝OB，∠OAG＝∠OBF＝45°，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 又∵EF⊥GH，‎ ‎∴∠AOG+∠BOG＝90°，∠BOF+∠BOG＝90°，‎ ‎∴∠AOG＝∠BOF，‎ 在△AOG和△BOF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOG≌△BOF（ASA）．‎ ‎∴BF＝AG＝2，OG＝OF，‎ 同理可证：△BOF≌△COH，DOE≌△AOG．‎ ‎∴OF＝OH＝OE＝OG，‎ 又∵EF⊥GH，‎ 四边形EGFH为正方形，‎ ‎∵BF＝AG＝2，FC＝4，‎ ‎∴BC＝6，即正方形ABCD的边长为6，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝6，‎ ‎∴OC＝3，‎ ‎∵AG＝2，‎ ‎∴BG＝6﹣2＝4，‎ 在Rt△BFG中，由勾股定理得：GF＝＝2，‎ ‎∴小正方形的边长为2．‎ ‎∵GH为小正方形的对角线，‎ ‎∴GH＝×2＝2，‎ ‎∴OH＝，‎ 在△OHM和△OCH中，‎ ‎∵∠OHM＝∠COH，∠OHM＝∠OCH＝45°，‎ ‎∴△OHM∽△OCH，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴OM＝．‎ 故答案为：．‎ ‎18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．‎ ‎（Ⅰ）△ABC的面积为　15　；‎ ‎（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）　取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求　．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式计算即可．‎ ‎（Ⅱ）取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．‎ 解：（Ⅰ）S△ABC＝×5×6＝15，‎ 故答案为15．‎ ‎（Ⅱ）如图，正方形ADEF即为所求．‎ 故答案为：取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）‎ ‎19．解不等式组．‎ 请结合题意填空，完成本题的解答．‎ ‎（Ⅰ）解不等式①，得　x≤﹣3　；‎ ‎（Ⅱ）解不等式②，得　x＜1　；‎ ‎（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：‎ ‎（Ⅳ）原不等式组的解集为　x≤﹣3　．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ 解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3；‎ ‎（Ⅱ）解不等式②，得x＜1；‎ ‎（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：‎ ‎，‎ ‎（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3．‎ ‎20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）图①中a的值为　25　；‎ ‎（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．‎ ‎【分析】（Ⅰ）用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；‎ ‎（Ⅲ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．‎ 解：（1）根据题意得：‎ ‎1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%＝25%；‎ 则a的值是25；‎ 故答案为：25；‎ ‎（Ⅱ）观察条形统计图，‎ ‎∵＝1.61，‎ ‎∴这组数据的平均数是1.61．‎ ‎∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，‎ ‎∴这组数据的众数为1.65，‎ ‎∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.60，‎ 有∴这组数据的中位数为1.60，‎ ‎（Ⅲ）能．‎ ‎∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，‎ ‎∴根据中位数可以判断出能否进入前10名；‎ ‎∵1.65m＞1.60m，‎ ‎∴能进入复赛．‎ ‎21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．‎ ‎（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．‎ ‎【分析】（Ⅰ）如图①，连接AD．由切线的性质求出∠BAC＝90°，则可求出∠C的度数，求出∠DAB＝90°﹣∠ABC＝38°，则可求出∠DFB的度数；‎ ‎（Ⅱ）如图②，连接OD．求出∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．得出∠BDO＝∠B＝52‎ ‎°，则∠ODF＝76°﹣52°＝24°，则可求出答案．‎ 解：（Ⅰ）如图①，连接AD．‎ ‎∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，‎ ‎∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°．‎ ‎∵∠ABC＝52°，‎ ‎∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°．‎ ‎∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠DFB＝∠DAB＝38°．‎ ‎（Ⅱ）如图②，连接OD．‎ 在△BDE中，DB＝DE，∠B＝52°，‎ ‎∴∠BED＝∠B＝52°，‎ ‎∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．‎ 又在△BOD中，OB＝OD，‎ ‎∴∠BDO＝∠B＝52°，‎ ‎∴∠ODF＝76°﹣52°＝24°．‎ ‎∵OD＝OF，‎ ‎∴∠F＝∠ODF＝24°．‎ ‎22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）‎ 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．‎ ‎【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．‎ 解：过点C作CD⊥AB垂足为D，‎ 在Rt△ACD中，tanA＝tan45°＝＝1，CD＝AD，‎ sinA＝sin45°＝＝，AC＝CD．‎ 在Rt△BCD中，tanB＝tan37°＝≈0.75，BD＝；‎ sinB＝sin37°＝≈0.60，CB＝．‎ ‎∵AD+BD＝AB＝63，‎ ‎∴CD+＝63，‎ 解得CD≈27，‎ AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2，‎ CB＝≈＝45.0，‎ 答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．‎ ‎23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．‎ ‎（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．‎ ‎（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．‎ ‎【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；‎ ‎（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．‎ 解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14，‎ 则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；‎ ‎（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：‎ ‎（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，‎ 解得x1＝1，x2＝5，‎ 当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；‎ 当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），‎ 为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），‎ 答：每辆汽车的售价为20万元．‎ ‎24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．‎ ‎（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；‎ ‎（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意得OA＝，OB＝1，求出∠BAO＝30°． 得出AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，求出DM＝，AM＝DM＝，进而得出答案；‎ ‎（Ⅱ）延长OE交AC于F，证△BOE是等边三角形，得出OE＝OB，由旋转性质得DC＝OB，得出OE＝DC．证出OE∥DC． 即可得出结论；‎ ‎（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，证△OBE是等边三角形，得出∠OEB＝60°，求出AG＝，得出CG＝+2，进而得出答案．‎ 解：（Ⅰ）∵A（，0），点B（0，1），‎ ‎∴OA＝，OB＝1，‎ 在△AOB中，∠AOB＝90°，tan∠BAO＝＝，‎ ‎∴∠BAO＝30°．‎ ‎∴AB＝2OB＝2，‎ 由旋转性质得，DA＝OA＝，‎ 过D作DM⊥OA于M，如图①所示：‎ 则在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，‎ ‎∴OM＝AO﹣OM＝﹣，‎ ‎∴D（﹣，）．‎ ‎（Ⅱ）延长OE交AC于F，如图②所示：‎ 在Rt△AOB 中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，‎ ‎∴OE＝BE＝AE．‎ 又∠ABO＝60°，‎ ‎∴△BOE是等边三角形，‎ ‎∴OE＝OB，‎ ‎∴∠BOE＝60°，‎ ‎∴∠EOA＝30°，‎ 由旋转性质，DC＝OB，‎ ‎∴OE＝DC．‎ ‎∵α＝60°，‎ ‎∴∠OAD＝60°，‎ 由旋转性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°，‎ ‎∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，‎ ‎∴∠OFA＝90°﹣∠EOA＝90°﹣30°＝60°，‎ ‎∴∠DCA＝∠OFA，‎ ‎∴OE∥DC．‎ ‎∴四边形OECD是平行四边形．‎ ‎（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，如图③所示：‎ 过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，‎ 当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，‎ ‎∵点E是边AB中点，∠AOB＝90°，AB＝2，‎ ‎∴OE＝BE＝AE＝AB＝1＝OB，‎ ‎∴△OBE是等边三角形，‎ ‎∴∠OEB＝60°，‎ ‎∴∠AEG＝∠OEB＝60°，‎ 在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，AE＝1，sin∠AEG＝，‎ ‎∴AG＝AE×sin∠AEG＝1×＝，‎ ‎∴CG＝AG+AC＝AG+AB＝+2，‎ ‎∴△OEC面积的最大值＝OE×CG＝×1×（+2）＝+1．‎ ‎25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；‎ ‎（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；‎ ‎（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；‎ ‎（Ⅱ）点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，则m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，即可求解；‎ ‎（III）分a+1＜1、a＜1≤a+1、a≥1三种情况，分别求解即可．‎ 解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，‎ ‎∴点B的坐标为（3，0），‎ 则y＝（x+1）（x﹣3），‎ 即抛物线C的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；‎ ‎∴顶点坐标为（1，﹣4）；‎ ‎（Ⅱ）由抛物线C解析式知B（3，0），点A的坐标为（﹣1，0），‎ 所以点A点B关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线C′上，‎ 且抛物线C′开口向下，形状与由抛物线C相同，‎ 于是可得抛物线C′的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；‎ 由点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，‎ 由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，‎ ‎∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，‎ 解得：m＝；‎ ‎（III）①当a+1＜1时，即a＜0，‎ 则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，‎ 解得a＝1﹣（正值舍去）；‎ ‎②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1，‎ 则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，‎ 解得：a＝﹣2（舍去）；‎ ‎③当a≥1时，‎ 则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）；‎ 综上，a的值为1﹣或2+．‎