数学（理）卷·2018届湖北省武汉二中高二下学期期中考试（2017-04）

数学（理）卷·2018届湖北省武汉二中高二下学期期中考试（2017-04）

武汉二中 2016-2017下学期 高二期中数学理试卷 一、选择题（每小题5分，共60分，各题均只有一个正确答案）‎ ‎1. 已知随机变量服从正态分布N(1，)，且P(<2)=0.8, 则P(0<<1)=( )‎ A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2‎ ‎2. 如图,阴影部分的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )‎ A．15 B．30 C．45 D．60‎ ‎4. 曲线在点M()处的切线斜率为( )‎ A. B. C. 1 D.2‎ ‎5. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ x ‎40‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ y ‎490‎ ‎260‎ ‎390‎ ‎540‎ ‎6. 某产品近四年的广告费x万元与销售额y万元的统计数据如下表，根据此表可得回归方程中的=9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为( )万元.‎ A. 650 B. 655 C. 677 D. 720‎ ‎7. 随机变量的取值为0，1，2，若，，则方差 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X=3)等于 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 定义在R上的可导函数，其导函数为满足恒成立，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个６点”，则条件概率，分别等于(　　)‎ A.，　　　 B.，　　　　 C.，　　　 D.，‎ ‎11. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知曲线y＝x2+1在点P处的切线为l，若l也与函数的图象相切，则x0满足( ) （其中）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 （每小题5分，共20分）‎ 13. ‎ 已知则展开式中的各项系数和为　 　‎ ‎14．若在x=1处取得极大值10，则的值为 .‎ ‎15. 现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍。 要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为 ‎ ‎16. 若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是 .‎ 三、解答题（17题满分10分，其他每题均满分12分）‎ C1‎ B1‎ A1‎ B A D C ‎17. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，在线段上。‎ ‎(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；‎ ‎(2)若二面角B1—DC—C1的大小为60°，求AD的长．‎ ‎18. 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择;‎ 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为．第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元．‎ 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获奖金400元．‎ ‎(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金(元)的分布列；‎ ‎(2)某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？‎ ‎19. 某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班(人数均为20人)进行教学(两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致)，数学期终考试成绩茎叶图如下：‎ ‎(1)学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的2×2联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．‎ 甲班 乙班 合计 优秀 ‎ a ‎ b 不优秀[]‎ ‎ c ‎ d 合计 附：参考公式及数据 P(x2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K2=‎ ‎(2)从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名，设ξ为抽取成绩不低于95‎ 分同学人数，求ξ的分布列和期望．‎ ‎20. 已知函数.（其中）‎ ‎(1)当a=4e, b=0时，求证：；‎ ‎(2)若，设，求函数h(x)在区间上的最大值．‎ M x y A B O D E ‎21. 如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的短轴长。与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交于点。‎ ‎(1)求、的方程；‎ ‎(2)求证：；‎ ‎(3)记的面积分别为，若，求的最小值．‎ ‎22．已知．‎ ‎(1)求的单调区间；‎ ‎(2)令，则时有两个不同的根，求的取值范围；‎ ‎(3)存在，且，使成立，求的取值范围．‎ 高二期中数学考试答案 一.选择题(每小题5分，共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C D A B B B D A A B D 二.填空题(每小题5分，共20分) ‎ ‎13. －1 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. (1)∵，∴，‎ 又由直三棱柱性质知，∴平面ACC1A1.∴由D为中点可知， ，∴,即 又，所以平面B1C1D，又平面B1CD，‎ 故平面平面B1C1D .......5分 ‎(2)解法一：由(1)知平面ACC1A1，在平面ACC1A1内过 ‎ C1作交CD于E，连EB1，由三垂线定理可知为二面角 B1—DC—C1的平面角，∴‎ 由B1C1=2知，，设，则 ‎∵的面积为1，∴，解得，即 ……10分 ‎(2)解法二：以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系. ‎ 设AD=a，则D点坐标为(1，0，a)，， ‎ 设平面B1CD的法向量为. ‎ 则由得 又平面C1DC的法向量为， ‎ 则由， 得，故………………10分 ‎18. 解:(1)，，‎ 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金(元)的分布列为 ‎ ‎0‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎ ‎ ‎ …………………………6分 ‎（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的均值.‎ 若选择方案乙进行抽奖中奖次数，则.‎ 抽奖所获奖金X的均值，故选择方案甲较划算 ………12分 ‎19. 解：(1)如图所示 甲班 乙班 合计 优秀 ‎ 14 ‎ ‎8‎ ‎22‎ 不优秀 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 由K2=≈3.636＞2.706知，可以判断：有90%把握认为“成绩优秀与教学方式有关”． …………………………（6分）‎ ‎(2)两个班数学成绩不低于90分的同学中，成绩不低于95分同学人数有3名，‎ 从中随机抽取3名，ξ=0，1，2，3‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ξ的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎．…………………………（12分）‎ ‎20. （1）证明：设 则 当x>时，，当x<时，‎ 单调递减，在上单调递增。‎ ‎∴.‎ ‎∴得证 .......5分 ‎（2） ‎ ‎ ∵‎ ‎ 当时， ∴在[0，1]单调递增，∴ ‎ ‎ 当时，由.‎ 若即时，∴在[0，1]单调递增，∴‎ 若即时，∴在（0，－）单调递增，（－，1）单调递减.‎ ‎∴ ＝.‎ 综上所述得 M x y A B O D E ‎ .........12分 ‎21. 解. (1)又，得 ‎ ‎ ‎(2)设直线 由 ‎ 则=0 ‎ ‎ .....6分 ‎ ‎(3)设直线 ‎，同理可得 同理可得 ‎ ‎ ‎∴最小值是 .......12分 ‎22. (1)．令得，时，，单调递增；时，，单调递减．‎ 综上，单调递增区间为，单调递减区间为．........3分 ‎(2)‎ ‎①当时，，单调递减，故不可能有两个根，舍去 ‎②当时， 时，，单调递减，‎ 时，，单调递增．所以得．‎ 综上， ......7分 ‎(3)不妨设，由(1)知时，单调递减．‎ ‎，等价于 即 存在，且，使成立 令，在存在减区间 有解，即有解，即 令，，时，，单调递增，‎ 时，，单调递减，，．......12分