2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第27--梯形

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‎2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编 第27章 梯形 一、选择题 ‎1. （2011江苏扬州，7,3分）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等。其中假命题有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎ ‎【答案】B ‎2. （2011山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )‎ A.1 B‎.2 ‎‎ C.3 D.4‎ ‎（第12题图）‎ ‎【答案】C ‎3. （2011山东烟台，6,4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（ ）‎ A.8 B‎.9 C.10 D.12‎ A B C D E F G ‎（第6题图）‎ ‎【答案】B ‎4. （2011浙江台州，7,4分）如图，在梯形ABCCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，对角线BD、AC相交于点O。下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是（ ）‎ A. ∠1=∠4 B. ∠1=∠‎3 C. ∠2=∠3 D.OB2+OC2=BC2‎ ‎【答案】B ‎5. （2011台湾台北，15）图(五)为梯形纸片ABCD，E点在上，且 ‎，＝3，＝9，＝8。若以为折线，将C折至上，使得与交于F点，则长度为何？‎ A． 4.5 B。‎5 C。5.5 D．6‎ ‎【答案】B ‎6. （2011山东潍坊，11，3分）已知直角梯形ABCD中， AD∥BC，∠BCD=90°, BC = CD=2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确的是（） ‎ A . CP 平分∠BCD B. 四边形 ABED 为平行四边形 C. CQ将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分 ‎ D. △ABF为等腰三角形 ‎【答案】C ‎7. （2011山东临沂，12，3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则梯形ABCD的周长是（ ）‎ A．12 B．‎14 C．16 D．18‎ ‎【答案】C ‎8. （2011四川绵阳11，3）如图，在等腰梯形站ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC, AB = ‎8cm,则△COD的面积为[来源:Zxxk.Com]‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎9. （2011湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是 ‎ A．40°．　　 B．45°．  C．50°．　　 　D．60°．‎ ‎  ‎第7题图 A B C D ‎ 【答案】C ‎10．（2011湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是( ).‎ A. ∠HGF = ∠GHE B. ∠GHE = ∠HEF ‎ C. ∠HEF = ∠EFG D. ∠HGF = ∠HEF ‎（第12题图）‎ ‎【答案】D ‎11.[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎12. ‎ 二、填空题 ‎1. （2011福建福州，13，4分）如图4,直角梯形中,∥,,则 度.‎ 图4‎ ‎【答案】‎ ‎2. (2011 浙江湖州，14，4)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎3. （2011湖南邵阳，16，3分）如图（六）所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=‎2cm，则上底DC的长是_______cm。‎ ‎【答案】2.提示：∠CAB=90°-60°=30°，‎ 又∵等腰梯形ABCD中，∠BAD=∠B=60°，‎ ‎∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°。‎ 又∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=30°=∠DAC。‎ ‎∴CD=AD=BC=2cm。‎ ‎4. （2011江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎5. （2011江苏宿迁,15,3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝‎7cm，BC＝‎8cm，则AB的长度是 ▲ cm．‎ ‎【答案】15‎ ‎6. （ 2011重庆江津， 13，4分）在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面积是___________.‎ ‎【答案】30·‎ ‎7. ．(2011江苏南京，10，2分)‎ 等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为___________㎝．‎ ‎【答案】6‎ ‎8. （2011山东临沂，19，3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，则在第10个这样的图形中，共有 个等腰梯形．‎ ‎ ⑴ ⑵ ⑶‎ ‎【答案】100‎ ‎9. （2011湖北襄阳，17，3分）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝ 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.‎ 图4‎ ‎【答案】2或 ‎10．（2011江苏盐城，15，3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是 ▲ ．‎ ‎【答案】等腰梯形 ‎11.‎ ‎12. ‎ 三、解答题 ‎1. （2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分过点D作，过点C作，垂足分别为E、F，连接EF，求证：为等边三角形. ‎ ‎【答案】‎ 证明:因为DC‖AB，，所以.‎ 又因为平分，所以 ………………2分 因为DC‖AB，所以，所以 所以 4分 因为，所以F为BD中点，又因为，所以 ……6分 ‎ 由，得，所以为等边三角形. ………………8分 ‎2. （2011山东菏泽，17（2），7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4， E为AB中点，EF∥DC交BC于点F， 求EF的长．‎ E ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形AGCD是平行四边形， ‎ ‎∴GC=AD， ‎ ‎∴BG=BC－AD=4－1=3， ‎ 在Rt△ABG中，‎ AG=， ‎ ‎∵EF∥DC∥AG，‎ ‎∴，‎ ‎∴EF=． ‎ ‎3. （2011山东泰安，27 ，10分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC.‎ ‎（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图①），求证：△AOE∽△COF ‎（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G（如图②），求证：四边形EFDG是菱形。‎ ‎【答案】证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD ‎ ∴EC=BE=BC=AD 又∵AD∥EC ‎∴四边形AECD为平行四边形 ‎∴AE∥DC ‎∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO ‎∴△AOE∽△COF ‎（2）证明：连接DE ‎∵AD∥BE ，AD=BE ‎∴四边形ABED是平行四边形[来源:Zxxk.Com]‎ 又∠ABE=900‎ ‎∴□ABED是矩形 ‎∴GE=GA=GB=GD=BD=AE ‎∵E、F分别是BC、CD的中点 ‎∴EF、GE是△CBD的两条中位线 ‎∴EF=BD=GD，GE=CD=DF 又GE=GD∴EF=GD=GE=DF 则四边形EFDG是菱形 ‎4. （2011四川南充市，17，6分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC,点E,F在BC上，且BE=CF,连接DE,AF.‎ 求证：DE=AF. ‎ ‎【答案】证明：∵BE=FC ‎∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE ‎∵四边形ABCD是等腰梯形[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎∴AB=DC ∠ B=∠C 在⊿DCE和⊿ABF中，‎ DC=AB ‎∠B=∠C CE=BF ‎∴⊿DCE≌⊿ABF(SAS) ‎ ‎∴DE=AF ‎5. （2011四川南充市，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。‎ ‎（1）求证：⊿MDC是等边三角形；‎ ‎（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值.‎ ‎【答案】（1）证明：过点D作DP⊥BC,于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q,‎ ‎∵∠C=∠B=600‎ ‎∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB ‎ 又∵ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD,‎ 由已知，点M是BC的中点，‎ BM=CM=AD=AB=CD, ‎ 即⊿MDC中，CM=CD, ∠C=600,故⊿MDC是等边三角形.‎ ‎（2）解：⊿AEF的周长存在最小值，理由如下：‎ 连接AM,由（1）平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB, ⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形，‎ ‎∠BMA=∠BME+∠AME=600, ∠EMF=∠AMF+∠AME=600‎ ‎∴∠BME=∠AMF）‎ 在⊿BME与⊿AMF中，BM=AM, ∠EBM=∠FAM=600‎ ‎∴⊿BME≌⊿AMF(ASA) ‎ ‎∴BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB ‎∵∠EMF=∠DMC=600 ,故⊿EMF是等边三角形，EF=MF. ‎ ‎∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是.‎ ‎⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,‎ ‎⊿AEF的周长的最小值为2+.‎ ‎6. （2011浙江杭州，22， 10)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F．‎ ‎(1)求证：△FOE≌ △DOC；‎ ‎(2)求sin∠OEF的值；‎ ‎(3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值．‎ ‎【答案】(1)证明：∵E，F分别为线段OA，OB的中点，∴EF∥AB，AB＝2EF，∵AB＝2CD，∴EF＝CD，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠OEF＝∠OCD，∠OFE＝∠ODC，∴△FOE≌ △DOC；，‎ ‎ (2) 在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴，．∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠CAB，∴‎ ‎ (3) ∵△FOE≌ △DOC，∴OE＝OC，∵AE＝OE，AE＝OE＝OC，∴．∵EF∥AB，∴△CEH∽△CAB，∴，∴‎ ‎，∵EF＝CD，∴‎ ‎，同理，∴，∴‎ ‎7. （2011浙江温州，18，8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点．‎ 求证：△A DM≌△BCM.‎ ‎【答案】证明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴AD＝BC，∠A＝∠B，‎ ‎∵点M是AB的中点，‎ ‎∴ MA＝MB，‎ ‎∴△ADM≌△BCM ‎8. （2011四川重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF．‎ ‎(1)求EG的长；‎ ‎(2)求证：CF ＝AB ＋AF．‎ ‎【答案】 (1) 解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，‎ ‎∴CD＝DB＝2，∴CB＝＝2，‎ ‎∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，∴EG＝CB＝．‎ ‎(2)证明：证法一：延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90°，‎ ‎∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°，‎ ‎∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)，‎ DF＝DH， CF＝ BH＝BA＋AH，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°，‎ ‎∠HDA＝∠DCB＝45°，∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA，‎ ‎∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH，‎ 又CF＝BH＝BA＋AH ，∴CF＝AB＋AF．‎ 证法二：在线段 DH上截取CH=CA，连结DH．‎ ‎∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°．‎ 又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．‎ 又BD=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD．‎ ‎∴AD=HD，∠ADB=∠HDC．‎ 又AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°．‎ ‎∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°．‎ ‎∴∠ADB＝∠HDB．‎ 又AD=HD， DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF．‎ ‎∴CF＝CH＋HF=AB＋AF．‎ ‎9. （2011湖南邵阳，19，8分）在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE。‎ ‎（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；‎ ‎（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形。（写出你所添加的条件，不要求证明）‎ ‎【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形。证明如下：‎ 连结AC，BD，由E，F，G，H分别是所在边的中点，‎ 知EF∥AC，且EF=AC，GH∥AC，且GH=AC，‎ ‎∴GH∥EF，且GH=EF，四边形EFGH是平行四边形。‎ ‎10．（2011湖南益阳，15，6分）如图6，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD =DC，‎ 求证：AC是∠DAB的平分线．‎ 图6‎ D A B C ‎【答案】解：∵， ∴. ‎ ‎ ∵，∴ . ‎ ‎∴ ， 即是的角平分线.‎ ‎11. （2011湖南益阳，21，12分）图10是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．‎ ‎（1）证明：△ABE≌△CBD； ‎ ‎（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；‎ ‎（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；‎ ‎（4）求线段BD的长．‎ E C D A M N 图10‎ B ‎【答案】⑴证明： ，‎ ‎ ，．　‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， ． 　 　 ‎ 在．　‎ ‎⑵答案不唯一．如．‎ 证明：，，‎ ‎ ． ‎ ‎　 其相似比为：．‎ ‎⑶ 由（2）得，． 　 ‎ ‎ ‎ 同理.‎ ‎． ‎ ⑷作，‎ ‎，． ‎ ‎，，，‎ ‎．　‎ ‎，， ‎ ‎ ．‎ ‎12. （2011江苏苏州，23,6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E.‎ ‎（1）求证：△ABD≌△ECB；‎ ‎（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数.‎ ‎【答案】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC.‎ 又∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB.‎ 在△ABD和△ECB中，‎ ‎∴△ABD≌△ECB.‎ ‎（2）解法一：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC=65°.‎ 又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°.‎ ‎∴∠DCE=90°-∠EDC=25°.‎ 解法二：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠BCD=65°.‎ 又∵∠BEC=90°，∴∠BCE=40°.‎ ‎∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=25°.‎ ‎13. （2011湖北黄石，19，7分）如图（6），在中，AD∥BC，AB＝DC，E是BC的中点，连接AE，DE，求证：AE＝DE ‎ ‎ ‎【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形 ‎∴∠B＝∠C ‎∵E是BC的中点 ∴BE＝EC 在△ABE的△DCE中 AB＝DC ‎∠B＝∠C BE＝EC ‎∴△ABE≌△DCE ‎∴AE＝DE ‎14. （2011广东茂名，22，8分）如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2．‎ ‎(1)求证：OD＝OE；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (3分)‎ ‎(2)求证：四边形ABＥD是等腰梯形；　　　　　　　　　　　　　 　　　(3分)‎ ‎(3)若AB＝3DE, △DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积．　　 　　　　 (2分)‎ ‎【答案】(1)证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC ， ∴∠BAD＝∠ABE，‎ 又∵AB＝BA、∠2＝∠1， ∴△ABD≌△BAE(ASA)，‎ ‎∴BD＝AE，又∵∠１＝∠２，∴OA＝OB，‎ ‎∴BD－OB＝AE－OA，即：OD＝OE．·‎ ‎(2) 证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，‎ ‎∴∠OED＝－∠DOE)，‎ 同理：∠1＝－∠AOB)，‎ 又∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB，‎ ‎∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行，‎ ‎∴四边形ABED是梯形，　又由(1)知∴△ABD≌△BAE，∴AD＝BE ‎∴梯形ABED是等腰梯形．‎ ‎(3)解：由(2)可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，‎ ‎∴，即：，‎ ‎∴△ACB的面积＝18，‎ ‎∴四边形ABED的面积＝△ACB的面积－△DCE的面积＝18－2＝16 ．‎ ‎15. （2011山东东营，19，8分）(本题满分8分)如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C。‎ ‎ （1）求证:四边形ABDE是平行四边形；‎ ‎（2）若DC=12，求AD的长。‎ ‎【答案】（1）证明：∵∠ABC=120°，∠C=60°，∴∠ABC+∠BCD=180°‎ ‎ ∴AB∥DC。即AB∥ED。‎ 又∵∠C=60°，∠E=∠C，∠BDC=30°‎ ‎∴∠E=∠BDC=30° ∴AE∥BD 所以 四边形ABDE是平行四边形 ‎（2）解：由第（1）问，AB∥DC。 ∴四边形ABCD是梯形。‎ ‎ ∵DB平分∠ADC，∠BDC=30° ∴∠ADC=∠BCD=60°‎ ‎ ∴四边形ABCD是等腰梯形 ∴ BC=AD ‎∵ 在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30° ∴ ∠DBC=90°。又已知DC=12‎ ‎∴AD=BC=DC=6‎ ‎16. （2011重庆市潼南,24,10分） 如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.‎ ‎⑴ 求证：AD=AE；‎ ‎⑵ 若AD=8，DC=4，求AB的长.‎ ‎【答案】解：（1）连接AC -------------------------------1分[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎∵AB∥CD ‎∴∠ACD=∠BAC ‎∵AB=BC ‎∴∠ACB=∠BAC ‎∴∠ACD=∠ACB --------------------------------2分 ‎∵AD⊥DC AE⊥BC ‎∴∠D=∠AEC=900 ‎ ‎∵AC=AC --------------------------------3分 ‎∴△ADC≌△AEC -------------------------------4分 ‎∴AD=AE --------------------------------5分 ‎（2）由（1）知：AD=AE ，DC=EC 设AB＝x, 则BE=x－4 ，AE=8 -----------------------6分 在Rt△ABE中 ∠AEB=900‎ 由勾股定理得： ----------------------8分 解得：x=10‎ ‎∴AB=10 ----------------------10分 ‎17. （2011山东枣庄，24，10分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，‎ ‎，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当时，求EF的长．‎ F D B A E C ‎[来源:Z|xx|k.Com]‎ 解：（1）过D作DG⊥BC于G．‎ 由已知可得，四边形ABGD为正方形． …………１分 ‎ ∵DE⊥DC，[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，‎ ‎∴∠ADE=∠GDC ． ………………………3分 又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，‎ ‎∴△ADE≌△GDC ．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴DE=DC，且AE=GC． ……………………4分 在△EDF和△CDF中，‎ ‎∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，‎ ‎∴△EDF≌△CDF．‎ ‎∴EF=CF ． ………………………………………………………………………………6分 F D B A E C G ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（2）∵tan∠ADE==， ∴． ………………………………………7分 设，则，BE=6－2=4. ‎ 由勾股定理，得　． [来源:Z.xx.k.Com]‎ 解之，得　， 即． …………………………………………………10分 ‎18. ‎ ‎19. ‎ ‎20．‎ ‎21.‎ ‎22.‎ ‎23.‎ ‎24.‎ ‎25.‎ ‎26.‎