吉林省九校联考高考数学二模试卷理科解析

吉林省九校联考高考数学二模试卷理科解析

‎2014年吉林省九校联考高考数学二模试卷（理科）‎ ‎(扫描二维码可查看试题解析)‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）（2014•吉林二模）已知U=R，M={x|﹣l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则（∁UM）∩N=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎{x|2≤x≤3}‎ B．‎ ‎{x|2＜x≤3}‎ ‎　‎ C．‎ ‎{x|x≤﹣1，或2≤x≤3}‎ D．‎ ‎{x|x＜﹣1，或2＜x≤3}‎ ‎2．（5分）（2014•吉林二模）已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 第一象限 B．‎ 第二象限 C．‎ 第三象限 D．‎ 第四象限 ‎3．（5分）（2014•吉林二模）在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7，则a5等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎7‎ C．‎ ‎10‎ D．‎ ‎11‎ ‎4．（5分）（2014•吉林二模）抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左焦点，则p=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5．（5分）（2014•吉林二模）将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=cos2x+sin2x B．‎ y=cos2x﹣sin2x ‎　‎ C．‎ y=sin2x﹣cos2x D．‎ y=cosxsinx ‎6．（5分）（2014•吉林二模）先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．（5分）（2014•濮阳县校级一模）一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎8．（5分）（2014•吉林二模）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎20‎ B．‎ ‎30‎ C．‎ ‎40‎ D．‎ ‎50‎ ‎9．（5分）（2014•吉林二模）一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角D﹣AC﹣B的余弦值为，则下列论断正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π ‎　‎ B．‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π ‎　‎ C．‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为 ‎　‎ D．‎ 不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上 ‎10．（5分）（2014•吉林二模）如图，在四面体OABC中，，则=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎3‎ ‎11．（5分）（2014•南昌模拟）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（3，7）‎ B．‎ ‎（9，25）‎ C．‎ ‎（13，49）‎ D．‎ ‎（9，49）‎ ‎12．（5分）（2014•吉林二模）若2014=‎2a1+‎2a2+…+2an，其中a1，a2，…，an为两两不等的非负整数，令x=sin，y=cos，z=tan，则x，y，z的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x＜y＜z B．‎ z＜x＜y C．‎ x＜z＜y D．‎ y＜z＜x ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）（2014•吉林二模）将某班的60名学生编号为：01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是　　　　　　．‎ ‎14．（5分）（2014•阳泉二模）设，则的展开式中含x2项的系数是　　　　　　．‎ ‎15．（5分）（2014•吉林二模）在△ABC中，边上的高为，则AC+BC=　　　　　　．‎ ‎16．（5分）（2014•吉林二模）若直角坐标平面内，A、B两点满足条件：①点A、B都在函数f（x）图象上；②点A、B关于原点对称，则称点对（A、B）是函数f（x）的一个“姐妹点对”（点对（A、B）与点（B、A）可看作同一个“姐妹对”）．已知函数，则f（x）的“姐妹点对”有　　　　　　个．‎ ‎　‎ 三．解答题：（本大题共5小题，共60分）‎ ‎17．（12分）（2014•长春二模）已知α为锐角，且tanα=﹣1，函数f（x）=2xtan‎2a+sin（‎2a+），数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn．‎ ‎18．（12分）（2014•吉林二模）如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．‎ ‎（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；‎ ‎（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．‎ ‎19．（12分）（2015•商丘一模）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：‎ 日销售量 ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ 频数 ‎10‎ ‎25‎ ‎15‎ 频率 ‎0.2‎ a b ‎（1）求表中a，b的值 ‎（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，‎ ‎ ①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；‎ ‎ ②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．‎ ‎20．（12分）（2014•吉林二模）已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且．‎ ‎（1）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，求的最大值．‎ ‎21．（12分）（2014•抚州模拟）已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）（2015•丹东一模）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；‎ ‎（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．‎ ‎23．（2014•吉林二模）已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．‎ ‎（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；‎ ‎（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．‎ ‎24．（2015•丹东一模）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．‎ ‎（1）当a=1时，求此不等式的解集；‎ ‎（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2014年吉林省九校联考高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）（2014•吉林二模）已知U=R，M={x|﹣l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则（∁UM）∩N=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎{x|2≤x≤3}‎ B．‎ ‎{x|2＜x≤3}‎ ‎　‎ C．‎ ‎{x|x≤﹣1，或2≤x≤3}‎ D．‎ ‎{x|x＜﹣1，或2＜x≤3}‎ 考点：‎ 补集及其运算；交集及其运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；数形结合．‎ 分析：‎ 利用补集的定义求出集合M的补集；借助数轴求出（CuM）∩N 解答：‎ 解：∵M={x|﹣l≤x≤2}，‎ ‎∴CuM={x|x＜﹣1或x＞2}‎ ‎∵N={x|x≤3}，‎ ‎∴（CuM）∩N={x|x＜﹣1，或2＜x≤3}‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查利用数轴求集合间的交集、并集、补集运算．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•吉林二模）已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 第一象限 B．‎ 第二象限 C．‎ 第三象限 D．‎ 第四象限 考点：‎ 复数的基本概念．菁优网版权所有 专题：‎ 数系的扩充和复数．‎ 分析：‎ 将复数进行化简，根据复数的几何意义即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：z===，‎ ‎∴对应的点的坐标为（），‎ 位于第四象限，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算将复数进行化简是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•吉林二模）在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7，则a5等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎7‎ C．‎ ‎10‎ D．‎ ‎11‎ 考点：‎ 等差数列的通项公式．菁优网版权所有 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ 设出等差数列的公差，由已知条件列式求出公差，则a5可求．‎ 解答：‎ 解：设公差为d，则，‎ 解得，a1=﹣2，d=3，‎ ‎∴a5=a1+4d=﹣2+3×4=10．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了等差数列的通项公式，是基础的运算题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•吉林二模）抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左焦点，则p=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ 先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．‎ 解答：‎ 解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，‎ ‎∴=，p=2，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程 y2=2px中p的意义．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•吉林二模）将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=cos2x+sin2x B．‎ y=cos2x﹣sin2x ‎　‎ C．‎ y=sin2x﹣cos2x D．‎ y=cosxsinx 考点：‎ 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据x以向右取正，以向左为负，所以它向右平移是加，用x+替换原式中的x即得．‎ 解答：‎ 解：由题意得，用x+替换原式中的x，‎ 有：y=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x﹣sin2x．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象变换包括三种变换，我们分别把三种变换分别称为振幅变换、伸缩变换、平移变换．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•吉林二模）先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 等可能事件的概率．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意知本题是一个等可能事件的概率，点数之和不大于6的事件可以列举出共有15种结果，满足条件的事件从前面列举出的事件中找出，得到概率．‎ 解答：‎ 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 点数之和不大于6的事件是（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）‎ ‎（3，1）（3，2）（3，3）（4，1）（4，2）（5，1）共有15种结果，‎ 满足条件的事件是点数中有3，共有5种结果，‎ ‎∴先后出现的点数中有3的概率为 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是不重不漏的列举出所有的事件，可以按照数字的大小顺序来列举．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•濮阳县校级一模）一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ 考点：‎ 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由三视图可知几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，应用公式求体积即可．‎ 解答：‎ 解：由三视图可知几何体是四棱锥，底面是直角梯形，上底为2、下底为4、高为1，‎ 一条侧棱垂直底面，长度是1，该几何体的体积是：．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•吉林二模）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎20‎ B．‎ ‎30‎ C．‎ ‎40‎ D．‎ ‎50‎ 考点：‎ 循环结构．菁优网版权所有 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S值，并输出T值．‎ 解答：‎ 解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：‎ ‎ 是否继续循环 s i T 循环前 1 0 0‎ 第一圈 是 7 3 3‎ 第二圈 是 13 6 9‎ 第三圈 是 19 9 18‎ 第四圈 是 25 12 30‎ 第五圈 否 所以最后输出的T值为30．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•吉林二模）一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角D﹣AC﹣B的余弦值为，则下列论断正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π ‎　‎ B．‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π ‎　‎ C．‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为 ‎　‎ D．‎ 不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上 考点：‎ 球的体积和表面积；与二面角有关的立体几何综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意，求出BD的长，然后判断空间四边形ABCD的四个顶点是否在同一球面上，求出球的表面积即可．‎ 解答：‎ 解：如图AC=AB=AD=BC=CD=，cos∠DEB=，‎ E为AC的中点，EB=ED=，‎ 所以BD2=2BE2﹣2××BE2BD=sqrt{2}‎ ABCD的几何体为正四面体，有外接球，球的半径为：‎ 球的表面积为：3π 故选A 点评：‎ 本题是基础题，考查二面角的求法，几何体的外接球的判断，以及外接球的表面积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力，是好题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•吉林二模）如图，在四面体OABC中，，则=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 根据题意，求出•的表达式，再利用余弦定理求出cos∠AOC以及cos∠BOC的值，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵•=•（﹣）‎ ‎=•﹣•‎ ‎=3||cos∠AOC﹣||cos∠BOC，‎ 且cos∠AOC=‎ ‎=，‎ cos∠BOC=‎ ‎=；‎ AC=BC，‎ ‎∴3||cos∠AOC﹣||cos∠BOC ‎=3||×﹣||×‎ ‎=﹣‎ ‎=4；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了平面向量数量积的运算以及余弦定理的应用问题，是易错题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2014•南昌模拟）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（3，7）‎ B．‎ ‎（9，25）‎ C．‎ ‎（13，49）‎ D．‎ ‎（9，49）‎ 考点：‎ 函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题；转化思想．‎ 分析：‎ 由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求 解答：‎ 解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称 ‎ ‎∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）‎ 又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立 ‎∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立 ‎∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2 ‎ ‎∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立 设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，‎ 则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方 由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7‎ ‎∴13＜x2+y2＜49‎ 故选 C 点评：‎ 本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现“数形结合：及”转化”的思想在解题中的应用．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•吉林二模）若2014=‎2a1+‎2a2+…+2an，其中a1，a2，…，an为两两不等的非负整数，令x=sin，y=cos，z=tan，则x，y，z的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x＜y＜z B．‎ z＜x＜y C．‎ x＜z＜y D．‎ y＜z＜x 考点：‎ 象限角、轴线角．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意2014=‎2a1+‎2a2+…+2an，可变形为2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21，继而得到然后根据三角函数的函数值之间的关系即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：∵2014=‎2a1+‎2a2+…+2an，且a1，a2，…，an为两两不等的非负整数，‎ ‎∴2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21，‎ ‎∴=10+9+8+7+6+4+3+2+1=50，‎ ‎∴x=sin=sin50，y=cos=cos50，z=tan=tan50，‎ ‎∵50≈15π+2.9，‎ ‎∴x=sin50=sin（15π+2.9）=﹣sin2.9，‎ y=cos50=cos（15π+2.9）=﹣cos2.9，‎ z=tan50=tan（15π+2.9）=tan2.9＜0，‎ ‎∵‎ ‎∴tan2.9＜﹣1，﹣1＜﹣sin2.9＜0，﹣cos2.9＞0，‎ ‎∴tan2.9＜﹣sin2.9＜﹣cos2.9，‎ ‎∴tan50＜sin50＜cos50，‎ ‎∴z＜x＜y．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了三角函数值的大小比较，关键是把2012=‎2a1+‎2a2+…+2an变形为2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）（2014•吉林二模）将某班的60名学生编号为：01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是　16、28、40、52　．‎ 考点：‎ 系统抽样方法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个学生的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．‎ 解答：‎ 解：用系统抽样抽出的5个学生的号码从小到大成等差数列，‎ 随机抽得的一个号码为04‎ 则剩下的四个号码依次是 ‎ ‎16、28、40、52．‎ 故答案为：16、28、40、52‎ 点评：‎ 系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•阳泉二模）设，则的展开式中含x2项的系数是　40　．‎ 考点：‎ 二项式系数的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 二项式定理．‎ 分析：‎ 先利用定积分求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．‎ 解答：‎ 解：由于 =（x3﹣2x）=4﹣（﹣1）=5，‎ 则的展开式的通项公式为Tr+1=•x5﹣r•2r•=•，‎ 令5﹣=2，解得 r=2，∴展开式中含x2项的系数是=40，‎ 故答案为：40‎ 点评：‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•吉林二模）在△ABC中，边上的高为，则AC+BC=　　．‎ 考点：‎ 解三角形；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 求出三角形的面积，利用余弦定理，直接求出AC+BC的值．‎ 解答：‎ 解：由题意可知三角形的面积为：==，‎ 所以AC•BC=．‎ 由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣‎2AC•BCcos60°=（AC+BC）2﹣‎3AC•BC，‎ 所以（AC+BC）2﹣‎3AC•BC=3，‎ 所以（AC+BC）2=11．‎ 所以AC+BC=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2014•吉林二模）若直角坐标平面内，A、B两点满足条件：①点A、B都在函数f（x）图象上；②点A、B关于原点对称，则称点对（A、B）是函数f（x）的一个“姐妹点对”（点对（A、B）与点（B、A）可看作同一个“姐妹对”）．已知函数，则f（x）的“姐妹点对”有　2　个．‎ 考点：‎ 函数的图象．菁优网版权所有 专题：‎ 新定义．‎ 分析：‎ 根据题意：“姐妹点对”，可知，欲求f（x）的“姐妹点对”，只须作出函数y=2x2+4x+1（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=（x≥0）交点个数即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意：“姐妹点对”，可知，‎ 只须作出函数y=2x2+4x+1（x＜0）的图象关于原点对称的图象，‎ 看它与函数y=（x≥0）交点个数即可．‎ 如图，‎ 观察图象可得：它们的交点个数是：2．‎ 即f（x）的“姐妹点对”有：2个．‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“姐妹点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．‎ ‎　‎ 三．解答题：（本大题共5小题，共60分）‎ ‎17．（12分）（2014•长春二模）已知α为锐角，且tanα=﹣1，函数f（x）=2xtan‎2a+sin（‎2a+），数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn．‎ 考点：‎ 数列的求和．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）利用二倍角的正切可求得tan2α=1，α为锐角，可求得sin（2α+）=1，于是可知函数f（x）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）依题意，可知数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是可求得an=2n﹣1，nan=n•2n﹣n，先用错位相减法求得{n•2n}的前n项和Tn，再利用分组求和法求得Sn．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）∵tanα=﹣1，‎ ‎∴tan2α===1，又α为锐角，‎ ‎∴2α=，‎ ‎∴sin（2α+）=1，‎ ‎∴f（x）=2x+1；‎ ‎（Ⅱ）∵an+1=f（an）=2an+1，‎ ‎∴an+1+1=2（an+1），‎ ‎∵a1=1，‎ ‎∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴an+1=2•2n﹣1=2n，‎ ‎∴an=2n﹣1，‎ ‎∴nan=n•2n﹣n，‎ 下面先求{n•2n}的前n项和Tn：‎ Tn=1×2+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，‎ ‎2Tn=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，‎ 两式相减得：﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1‎ ‎=﹣n•2n+1‎ ‎=2n+1﹣2﹣n•2n+1，‎ ‎∴Tn=2+（n﹣1）•2n+1，‎ ‎∴Sn=2+（n﹣1）•2n+1﹣．‎ 点评：‎ 本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，求得an=2n﹣1是关键，也是难点，突出考查错位相减法与分组求和法，属于难题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•吉林二模）如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．‎ ‎（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；‎ ‎（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．‎ 考点：‎ 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 专题：‎ 空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求平面BCE和CEF的法向量，利用向量法求二面角的大小，解方程即可得出．‎ 解答：‎ 解：（1）证明：连接CE、BD，设CE∩BD=O，连接OG，‎ 由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，‎ ‎∵AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，‎ ‎∴AC∥平面BDG．‎ ‎（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，‎ ‎∴DC⊥平面ABC，‎ ‎∴DC⊥AC，则△ACD为直角三角形．‎ ‎∵△ABC是正三角形，‎ ‎∴取BC的中点M，连结MO，则MO∥CD，‎ ‎∴MO⊥面ABC，‎ 以M为坐标原点，以MB，M0，MA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵AB=2，AD=4，∴AM=，‎ ‎∴B（1，0，0），C（﹣1，0，0），A（0，0，），‎ 在Rt△ACD中，CD=．‎ ‎∴BE=CD=，即E（1，2，0）‎ 则，‎ ‎∵点F在线段AB上，‎ ‎∴设BF=xBA，（0≤x≤1）‎ 则 ‎∴F（1﹣x，0，），则，，‎ 设面CEF的法向量为，‎ 则由得，，‎ 令a=，则b=﹣1，c=，即，‎ 平面BCE的法向量为，‎ 二面角B﹣CE﹣F的余弦值为，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 平方得，解得：，‎ 解得x=﹣1（舍去）或x=．‎ 即F是线段AB的中点时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．‎ 点评：‎ 本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及利用向量法解决二面角的大小问题，综合性较强，运算量较大．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015•商丘一模）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：‎ 日销售量 ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ 频数 ‎10‎ ‎25‎ ‎15‎ 频率 ‎0.2‎ a b ‎（1）求表中a，b的值 ‎（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，‎ ‎ ①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；‎ ‎ ②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．‎ 考点：‎ 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 专题：‎ 应用题；概率与统计．‎ 分析：‎ ‎（1）利用频率等于频数除以样本容量，求出样本容量，再求出表中的a，b．‎ ‎（2）①利用二项分布的概率公式求出5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率．‎ ‎②写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率．列出分布列，求得期望．‎ 解答：‎ 解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.3‎ ‎（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5‎ 设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5，0.5）‎ P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125‎ ‎②X的可能取值为4，5，6，7，8，则 p（X=4）=0.22=0.04‎ p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2‎ p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37‎ p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3‎ p（X=8）=0.32=0.09‎ 所有X的分布列为：‎ X ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0.04‎ ‎0.2‎ ‎0.37‎ ‎0.3‎ ‎0.09‎ EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．‎ 点评：‎ 本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•吉林二模）已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且．‎ ‎（1）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，求的最大值．‎ 考点：‎ 圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；数形结合；转化思想．‎ 分析：‎ ‎（1）先设出点P的坐标，代入整理即可得到动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）先利用条件设出圆的方程，并求出A、B两点的坐标以及|DA|=l1，|DB|=l2的表达式，代入整理后利用基本不等式求最大值即可．‎ 解答：‎ ‎（1）解：设P（x，y），则Q（x，﹣1），‎ ‎∵，‎ ‎∴（0，y+1）•（﹣x，2）=（x，y﹣1）•（x，﹣2）．‎ 即2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），即x2=4y，‎ 所以动点P的轨迹C的方程x2=4y．‎ ‎（2）解：设圆M的圆心坐标为M（a，b），则a2=4b．①‎ 圆M的半径为．‎ 圆M的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+（b﹣2）2．‎ 令y=0，则（x﹣a）2+b2=a2+（b﹣2）2，‎ 整理得，x2﹣2ax+4b﹣4=0．②‎ 由①、②解得，x=a±2．‎ 不妨设A（a﹣2，0），B（a+2，0），‎ ‎∴，．‎ ‎∴=，③‎ 当a≠0时，由③得，．‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 当a=0时，由③得，．‎ 故当时，的最大值为．‎ 点评：‎ 本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力 ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•抚州模拟）已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．‎ 考点：‎ 利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（I）由已知中，函数，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）由（I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（X）的单调性，由此易判断f（x）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），及函数g（x）=ax﹣lnx．我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）f′（x）==‎ f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，‎ 解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为 依题意，记，∵x∈M∴‎ ‎（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得，‎ 故此时 ‎（ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾 ‎（ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得 即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0＜a≤e 点评：‎ 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，函数在某点取得极值的条件，其中根据已知条件构造关于m的方程，进而求出函数f（x）的解析式是解答的关键．‎ ‎　‎ 选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）（2015•丹东一模）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；‎ ‎（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．‎ 考点：‎ 与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题；数形结合．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）证明BD平分∠ABC可通过证明D是的中点，利用相等的弧所对的圆周角相等证明BD是角平分线；‎ ‎（Ⅱ）由图形知，可先证△ABH∽△DBC，得到，再由等弧所对的弦相等，得到AD=DC，从而得到，求出AH的长 解答：‎ 解：（Ⅰ）∵AC∥DE，直线DE为圆O的切线，∴D是弧的中点，即 又∠ABD，∠DBC与分别是两弧所对的圆周角，故有∠ABD=∠DBC，‎ 所以BD平分∠ABC ‎（Ⅱ）∵由图∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC ‎∴△ABH∽△DBC，∴‎ 又 ‎∴AD=DC，‎ ‎∴‎ ‎∵AB=4，AD=6，BD=8‎ ‎∴AH=3‎ 点评：‎ 本题考查与圆有关的比例线段，解题的关键是对与圆有关性质掌握得比较熟练，能根据这些性质得出角的相等，边的相等，从而使问题得到证明 ‎　‎ ‎23．（2014•吉林二模）已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．‎ ‎（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；‎ ‎（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．‎ 考点：‎ 简单曲线的极坐标方程；三角函数的最值．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用两角差的余弦公式展开极坐标方程，再将直角坐标与极坐标的互化公式代入，极坐标方程即 ρ2﹣4 （ +），即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．‎ ‎（2）圆的参数方程为 ，故 x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin（α+），由于﹣1≤sin（α+）≤1，可得 2≤x+y≤6．‎ 解答：‎ 解：（1） 即 ρ2﹣4（ + ），即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为 ，∴x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin（α+）．‎ 由于﹣1≤sin（α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于 2．‎ 点评：‎ 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．‎ ‎　‎ ‎24．（2015•丹东一模）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．‎ ‎（1）当a=1时，求此不等式的解集；‎ ‎（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．‎ 考点：‎ 绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，由此求得不等式的解集．‎ ‎（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，解得，‎ ‎∴不等式的解集为． …（5分）‎ ‎（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．‎ 解得a≥2，或a≤0． 又∵a＞0，∴a≥2．‎ ‎∴实数a的取值范围为[2，+∞）． …（10分）‎ 点评：‎ 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：wdnah；maths；sxs123；minqi5；yhx01248；涨停；qiss；742048；吕静；caoqz；wfy814；庞会丽；翔宇老师；xintrl；733008（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2015年4月29日