吉林省九校联考高考数学二模试卷理科解析

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吉林省九校联考高考数学二模试卷理科解析

‎2014年吉林省九校联考高考数学二模试卷(理科)‎ ‎(扫描二维码可查看试题解析)‎ ‎ ‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.(5分)(2014•吉林二模)已知U=R,M={x|﹣l≤x≤2},N={x|x≤3},则(∁UM)∩N=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎{x|2≤x≤3}‎ B.‎ ‎{x|2<x≤3}‎ ‎ ‎ C.‎ ‎{x|x≤﹣1,或2≤x≤3}‎ D.‎ ‎{x|x<﹣1,或2<x≤3}‎ ‎2.(5分)(2014•吉林二模)已知复数z=,则复数z在复平面内对应的点在(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 第一象限 B.‎ 第二象限 C.‎ 第三象限 D.‎ 第四象限 ‎3.(5分)(2014•吉林二模)在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7,则a5等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎3‎ B.‎ ‎7‎ C.‎ ‎10‎ D.‎ ‎11‎ ‎4.(5分)(2014•吉林二模)抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左焦点,则p=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎5.(5分)(2014•吉林二模)将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位,所得图象的解析式是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ y=cos2x+sin2x B.‎ y=cos2x﹣sin2x ‎ ‎ C.‎ y=sin2x﹣cos2x D.‎ y=cosxsinx ‎6.(5分)(2014•吉林二模)先后两次抛掷一枚骰子,在得到点数之和不大于6的条件下,先后出现的点数中有3的概率为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎7.(5分)(2014•濮阳县校级一模)一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ ‎8.(5分)(2014•吉林二模)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎20‎ B.‎ ‎30‎ C.‎ ‎40‎ D.‎ ‎50‎ ‎9.(5分)(2014•吉林二模)一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为,二面角D﹣AC﹣B的余弦值为,则下列论断正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π ‎ ‎ B.‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π ‎ ‎ C.‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为 ‎ ‎ D.‎ 不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上 ‎10.(5分)(2014•吉林二模)如图,在四面体OABC中,,则=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎8‎ B.‎ ‎6‎ C.‎ ‎4‎ D.‎ ‎3‎ ‎11.(5分)(2014•南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x,y∈R,不等式f(x2﹣6x+21)+f(y2﹣8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(3,7)‎ B.‎ ‎(9,25)‎ C.‎ ‎(13,49)‎ D.‎ ‎(9,49)‎ ‎12.(5分)(2014•吉林二模)若2014=‎2a1+‎2a2+…+2an,其中a1,a2,…,an为两两不等的非负整数,令x=sin,y=cos,z=tan,则x,y,z的大小关系是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ x<y<z B.‎ z<x<y C.‎ x<z<y D.‎ y<z<x ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)(2014•吉林二模)将某班的60名学生编号为:01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是      .‎ ‎14.(5分)(2014•阳泉二模)设,则的展开式中含x2项的系数是      .‎ ‎15.(5分)(2014•吉林二模)在△ABC中,边上的高为,则AC+BC=      .‎ ‎16.(5分)(2014•吉林二模)若直角坐标平面内,A、B两点满足条件:①点A、B都在函数f(x)图象上;②点A、B关于原点对称,则称点对(A、B)是函数f(x)的一个“姐妹点对”(点对(A、B)与点(B、A)可看作同一个“姐妹对”).已知函数,则f(x)的“姐妹点对”有      个.‎ ‎ ‎ 三.解答题:(本大题共5小题,共60分)‎ ‎17.(12分)(2014•长春二模)已知α为锐角,且tanα=﹣1,函数f(x)=2xtan‎2a+sin(‎2a+),数列{an}的首项a1=1,an+1=f(an).‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn.‎ ‎18.(12分)(2014•吉林二模)如图,四棱锥A﹣BCDE中,△ABC是正三角形,四边形BCDE是矩形,且平面ABC⊥平面BCDE,AB=2,AD=4.‎ ‎(1)若点G是AE的中点,求证:AC∥平面BDG;‎ ‎(2)试问点F在线段AB上什么位置时,二面角B﹣CE﹣F的余弦值为.‎ ‎19.(12分)(2015•商丘一模)某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的结果如下:‎ 日销售量 ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ 频数 ‎10‎ ‎25‎ ‎15‎ 频率 ‎0.2‎ a b ‎(1)求表中a,b的值 ‎(2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立,‎ ‎ ①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率;‎ ‎ ②已知每吨该商品的销售利润为2千元,X表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元),求X的分布列和期望.‎ ‎20.(12分)(2014•吉林二模)已知点F(0,1),直线l:y=﹣1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A、B两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求的最大值.‎ ‎21.(12分)(2014•抚州模拟)已知函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取到极值2‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的解析式;‎ ‎(Ⅱ)设函数g(x)=ax﹣lnx.若对任意的,总存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ 选考题:(本小题满分10分)请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(10分)(2015•丹东一模)已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,AC∥DE,AC与BD相交于H点.‎ ‎(Ⅰ)求证:BD平分∠ABC;‎ ‎(Ⅱ)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.‎ ‎23.(2014•吉林二模)已知某圆的极坐标方程为:ρ2﹣4ρcos(θ﹣)+6=0.‎ ‎(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;‎ ‎(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.‎ ‎24.(2015•丹东一模)已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1(a>0).‎ ‎(1)当a=1时,求此不等式的解集;‎ ‎(2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2014年吉林省九校联考高考数学二模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.(5分)(2014•吉林二模)已知U=R,M={x|﹣l≤x≤2},N={x|x≤3},则(∁UM)∩N=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎{x|2≤x≤3}‎ B.‎ ‎{x|2<x≤3}‎ ‎ ‎ C.‎ ‎{x|x≤﹣1,或2≤x≤3}‎ D.‎ ‎{x|x<﹣1,或2<x≤3}‎ 考点:‎ 补集及其运算;交集及其运算.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;数形结合.‎ 分析:‎ 利用补集的定义求出集合M的补集;借助数轴求出(CuM)∩N 解答:‎ 解:∵M={x|﹣l≤x≤2},‎ ‎∴CuM={x|x<﹣1或x>2}‎ ‎∵N={x|x≤3},‎ ‎∴(CuM)∩N={x|x<﹣1,或2<x≤3}‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查利用数轴求集合间的交集、并集、补集运算.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•吉林二模)已知复数z=,则复数z在复平面内对应的点在(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 第一象限 B.‎ 第二象限 C.‎ 第三象限 D.‎ 第四象限 考点:‎ 复数的基本概念.菁优网版权所有 专题:‎ 数系的扩充和复数.‎ 分析:‎ 将复数进行化简,根据复数的几何意义即可得到结论.‎ 解答:‎ 解:z===,‎ ‎∴对应的点的坐标为(),‎ 位于第四象限,‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题主要考查复数的几何意义,利用复数的四则运算将复数进行化简是解决本题的关键,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•吉林二模)在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7,则a5等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎3‎ B.‎ ‎7‎ C.‎ ‎10‎ D.‎ ‎11‎ 考点:‎ 等差数列的通项公式.菁优网版权所有 专题:‎ 等差数列与等比数列.‎ 分析:‎ 设出等差数列的公差,由已知条件列式求出公差,则a5可求.‎ 解答:‎ 解:设公差为d,则,‎ 解得,a1=﹣2,d=3,‎ ‎∴a5=a1+4d=﹣2+3×4=10.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了等差数列的通项公式,是基础的运算题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•吉林二模)抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左焦点,则p=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.菁优网版权所有 专题:‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ 分析:‎ 先求出x2﹣y2=1的左焦点,得到抛物线y2=2px的准线,依据p的意义求出它的值.‎ 解答:‎ 解:双曲线x2﹣y2=1的左焦点为(﹣,0),故抛物线y2=2px的准线为x=﹣,‎ ‎∴=,p=2,‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程 y2=2px中p的意义.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•吉林二模)将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位,所得图象的解析式是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ y=cos2x+sin2x B.‎ y=cos2x﹣sin2x ‎ ‎ C.‎ y=sin2x﹣cos2x D.‎ y=cosxsinx 考点:‎ 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据x以向右取正,以向左为负,所以它向右平移是加,用x+替换原式中的x即得.‎ 解答:‎ 解:由题意得,用x+替换原式中的x,‎ 有:y=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x﹣sin2x.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了三角函数的图象变换,三角函数的图象变换包括三种变换,我们分别把三种变换分别称为振幅变换、伸缩变换、平移变换.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•吉林二模)先后两次抛掷一枚骰子,在得到点数之和不大于6的条件下,先后出现的点数中有3的概率为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 等可能事件的概率.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由题意知本题是一个等可能事件的概率,点数之和不大于6的事件可以列举出共有15种结果,满足条件的事件从前面列举出的事件中找出,得到概率.‎ 解答:‎ 解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,‎ 点数之和不大于6的事件是(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5),(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)‎ ‎(3,1)(3,2)(3,3)(4,1)(4,2)(5,1)共有15种结果,‎ 满足条件的事件是点数中有3,共有5种结果,‎ ‎∴先后出现的点数中有3的概率为 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查等可能事件的概率,本题解题的关键是不重不漏的列举出所有的事件,可以按照数字的大小顺序来列举.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•濮阳县校级一模)一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ 考点:‎ 由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由三视图可知几何体是四棱锥,底面是直角梯形,一条侧棱垂直底面,应用公式求体积即可.‎ 解答:‎ 解:由三视图可知几何体是四棱锥,底面是直角梯形,上底为2、下底为4、高为1,‎ 一条侧棱垂直底面,长度是1,该几何体的体积是:.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查由三视图求面积、体积,考查空间想象能力,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•吉林二模)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎20‎ B.‎ ‎30‎ C.‎ ‎40‎ D.‎ ‎50‎ 考点:‎ 循环结构.菁优网版权所有 专题:‎ 图表型.‎ 分析:‎ 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S值,并输出T值.‎ 解答:‎ 解:程序在运行过程中各变量的聚会如下表示:‎ ‎ 是否继续循环 s i T 循环前 1 0 0‎ 第一圈 是 7 3 3‎ 第二圈 是 13 6 9‎ 第三圈 是 19 9 18‎ 第四圈 是 25 12 30‎ 第五圈 否 所以最后输出的T值为30.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•吉林二模)一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为,二面角D﹣AC﹣B的余弦值为,则下列论断正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π ‎ ‎ B.‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π ‎ ‎ C.‎ 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为 ‎ ‎ D.‎ 不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上 考点:‎ 球的体积和表面积;与二面角有关的立体几何综合题.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由题意,求出BD的长,然后判断空间四边形ABCD的四个顶点是否在同一球面上,求出球的表面积即可.‎ 解答:‎ 解:如图AC=AB=AD=BC=CD=,cos∠DEB=,‎ E为AC的中点,EB=ED=,‎ 所以BD2=2BE2﹣2××BE2BD=sqrt{2}‎ ABCD的几何体为正四面体,有外接球,球的半径为:‎ 球的表面积为:3π 故选A 点评:‎ 本题是基础题,考查二面角的求法,几何体的外接球的判断,以及外接球的表面积的求法,考查逻辑推理能力,计算能力,是好题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•吉林二模)如图,在四面体OABC中,,则=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎8‎ B.‎ ‎6‎ C.‎ ‎4‎ D.‎ ‎3‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 根据题意,求出•的表达式,再利用余弦定理求出cos∠AOC以及cos∠BOC的值,即可得出答案.‎ 解答:‎ 解:∵•=•(﹣)‎ ‎=•﹣•‎ ‎=3||cos∠AOC﹣||cos∠BOC,‎ 且cos∠AOC=‎ ‎=,‎ cos∠BOC=‎ ‎=;‎ AC=BC,‎ ‎∴3||cos∠AOC﹣||cos∠BOC ‎=3||×﹣||×‎ ‎=﹣‎ ‎=4;‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题考查了平面向量数量积的运算以及余弦定理的应用问题,是易错题.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2014•南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x,y∈R,不等式f(x2﹣6x+21)+f(y2﹣8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(3,7)‎ B.‎ ‎(9,25)‎ C.‎ ‎(13,49)‎ D.‎ ‎(9,49)‎ 考点:‎ 函数单调性的性质;奇偶函数图象的对称性.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题;压轴题;转化思想.‎ 分析:‎ 由函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,结合图象平移的知识可知函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,从而可知函数y=f(x)为奇函数,由f(x2﹣6x+21)+f(y2﹣8y)<0恒成立,可把问题转化为(x﹣3)2+(y﹣4)2<4,借助于的有关知识可求 解答:‎ 解:∵函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称 ‎ ‎∴函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数y=f(x)为奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x)‎ 又∵f(x)是定义在R上的增函数且f(x2﹣6x+21)+f(y2﹣8y)<0恒成立 ‎∴(x2﹣6x+21)<﹣f(y2﹣8y)=f(8y﹣y2 )恒成立 ‎∴x2﹣6x+21<8y﹣y2 ‎ ‎∴(x﹣3)2+(y﹣4)2<4恒成立 设M (x,y),则当x>3时,M表示以(3,4)为圆心2为半径的右半圆内的任意一点,‎ 则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方 由图可知,最短距离为OA=,最大距离OB=OC+BC=5+2=7‎ ‎∴13<x2+y2<49‎ 故选 C 点评:‎ 本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识,解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题,借助于图形的几何意义减少了运算量,体现“数形结合:及”转化”的思想在解题中的应用.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•吉林二模)若2014=‎2a1+‎2a2+…+2an,其中a1,a2,…,an为两两不等的非负整数,令x=sin,y=cos,z=tan,则x,y,z的大小关系是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ x<y<z B.‎ z<x<y C.‎ x<z<y D.‎ y<z<x 考点:‎ 象限角、轴线角.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由题意2014=‎2a1+‎2a2+…+2an,可变形为2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21,继而得到然后根据三角函数的函数值之间的关系即可得到结论.‎ 解答:‎ 解:∵2014=‎2a1+‎2a2+…+2an,且a1,a2,…,an为两两不等的非负整数,‎ ‎∴2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21,‎ ‎∴=10+9+8+7+6+4+3+2+1=50,‎ ‎∴x=sin=sin50,y=cos=cos50,z=tan=tan50,‎ ‎∵50≈15π+2.9,‎ ‎∴x=sin50=sin(15π+2.9)=﹣sin2.9,‎ y=cos50=cos(15π+2.9)=﹣cos2.9,‎ z=tan50=tan(15π+2.9)=tan2.9<0,‎ ‎∵‎ ‎∴tan2.9<﹣1,﹣1<﹣sin2.9<0,﹣cos2.9>0,‎ ‎∴tan2.9<﹣sin2.9<﹣cos2.9,‎ ‎∴tan50<sin50<cos50,‎ ‎∴z<x<y.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 本题考查了三角函数值的大小比较,关键是把2012=‎2a1+‎2a2+…+2an变形为2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21,综合性较强,难度较大.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)(2014•吉林二模)将某班的60名学生编号为:01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是 16、28、40、52 .‎ 考点:‎ 系统抽样方法.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则,构造一个等差数列,将四个学生的号码从小到大成等差数列,建立等式关系,解之即可.‎ 解答:‎ 解:用系统抽样抽出的5个学生的号码从小到大成等差数列,‎ 随机抽得的一个号码为04‎ 则剩下的四个号码依次是 ‎ ‎16、28、40、52.‎ 故答案为:16、28、40、52‎ 点评:‎ 系统抽样过程中,每个个体被抽取的可能性是相等的,系统抽样的原则是等距,抓住这一原则构造等差数列,是我们常用的方法.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•阳泉二模)设,则的展开式中含x2项的系数是 40 .‎ 考点:‎ 二项式系数的性质.菁优网版权所有 专题:‎ 二项式定理.‎ 分析:‎ 先利用定积分求得n的值,在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,求出r的值,即可求得展开式中含x2项的系数.‎ 解答:‎ 解:由于 =(x3﹣2x)=4﹣(﹣1)=5,‎ 则的展开式的通项公式为Tr+1=•x5﹣r•2r•=•,‎ 令5﹣=2,解得 r=2,∴展开式中含x2项的系数是=40,‎ 故答案为:40‎ 点评:‎ 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•吉林二模)在△ABC中,边上的高为,则AC+BC=  .‎ 考点:‎ 解三角形;正弦定理;余弦定理.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;压轴题.‎ 分析:‎ 求出三角形的面积,利用余弦定理,直接求出AC+BC的值.‎ 解答:‎ 解:由题意可知三角形的面积为:==,‎ 所以AC•BC=.‎ 由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣‎2AC•BCcos60°=(AC+BC)2﹣‎3AC•BC,‎ 所以(AC+BC)2﹣‎3AC•BC=3,‎ 所以(AC+BC)2=11.‎ 所以AC+BC=.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查解三角形,三角形的面积与余弦定理的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2014•吉林二模)若直角坐标平面内,A、B两点满足条件:①点A、B都在函数f(x)图象上;②点A、B关于原点对称,则称点对(A、B)是函数f(x)的一个“姐妹点对”(点对(A、B)与点(B、A)可看作同一个“姐妹对”).已知函数,则f(x)的“姐妹点对”有 2 个.‎ 考点:‎ 函数的图象.菁优网版权所有 专题:‎ 新定义.‎ 分析:‎ 根据题意:“姐妹点对”,可知,欲求f(x)的“姐妹点对”,只须作出函数y=2x2+4x+1(x<0)的图象关于原点对称的图象,看它与函数y=(x≥0)交点个数即可.‎ 解答:‎ 解:根据题意:“姐妹点对”,可知,‎ 只须作出函数y=2x2+4x+1(x<0)的图象关于原点对称的图象,‎ 看它与函数y=(x≥0)交点个数即可.‎ 如图,‎ 观察图象可得:它们的交点个数是:2.‎ 即f(x)的“姐妹点对”有:2个.‎ 故答案为:2.‎ 点评:‎ 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性,以及数形结合的思想,解答的关键在于对“姐妹点对”的正确理解,合理地利用图象法解决.‎ ‎ ‎ 三.解答题:(本大题共5小题,共60分)‎ ‎17.(12分)(2014•长春二模)已知α为锐角,且tanα=﹣1,函数f(x)=2xtan‎2a+sin(‎2a+),数列{an}的首项a1=1,an+1=f(an).‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn.‎ 考点:‎ 数列的求和.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题;等差数列与等比数列.‎ 分析:‎ ‎(Ⅰ)利用二倍角的正切可求得tan2α=1,α为锐角,可求得sin(2α+)=1,于是可知函数f(x)的表达式;‎ ‎(Ⅱ)依题意,可知数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,于是可求得an=2n﹣1,nan=n•2n﹣n,先用错位相减法求得{n•2n}的前n项和Tn,再利用分组求和法求得Sn.‎ 解答:‎ 解:(Ⅰ)∵tanα=﹣1,‎ ‎∴tan2α===1,又α为锐角,‎ ‎∴2α=,‎ ‎∴sin(2α+)=1,‎ ‎∴f(x)=2x+1;‎ ‎(Ⅱ)∵an+1=f(an)=2an+1,‎ ‎∴an+1+1=2(an+1),‎ ‎∵a1=1,‎ ‎∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,‎ ‎∴an+1=2•2n﹣1=2n,‎ ‎∴an=2n﹣1,‎ ‎∴nan=n•2n﹣n,‎ 下面先求{n•2n}的前n项和Tn:‎ Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n﹣1)•2n﹣1+n•2n,‎ ‎2Tn=1×22+2×23+…+(n﹣1)•2n+n•2n+1,‎ 两式相减得:﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1‎ ‎=﹣n•2n+1‎ ‎=2n+1﹣2﹣n•2n+1,‎ ‎∴Tn=2+(n﹣1)•2n+1,‎ ‎∴Sn=2+(n﹣1)•2n+1﹣.‎ 点评:‎ 本题考查数列的求和,着重考查等比关系的确定,求得an=2n﹣1是关键,也是难点,突出考查错位相减法与分组求和法,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•吉林二模)如图,四棱锥A﹣BCDE中,△ABC是正三角形,四边形BCDE是矩形,且平面ABC⊥平面BCDE,AB=2,AD=4.‎ ‎(1)若点G是AE的中点,求证:AC∥平面BDG;‎ ‎(2)试问点F在线段AB上什么位置时,二面角B﹣CE﹣F的余弦值为.‎ 考点:‎ 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.菁优网版权所有 专题:‎ 空间位置关系与距离;空间角.‎ 分析:‎ ‎(Ⅰ)利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明;‎ ‎(2)建立空间直角坐标系,求平面BCE和CEF的法向量,利用向量法求二面角的大小,解方程即可得出.‎ 解答:‎ 解:(1)证明:连接CE、BD,设CE∩BD=O,连接OG,‎ 由三角形的中位线定理可得:OG∥AC,‎ ‎∵AC⊄平面BDG,OG⊂平面BDG,‎ ‎∴AC∥平面BDG.‎ ‎(2)∵平面ABC⊥平面BCDE,DC⊥BC,‎ ‎∴DC⊥平面ABC,‎ ‎∴DC⊥AC,则△ACD为直角三角形.‎ ‎∵△ABC是正三角形,‎ ‎∴取BC的中点M,连结MO,则MO∥CD,‎ ‎∴MO⊥面ABC,‎ 以M为坐标原点,以MB,M0,MA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,‎ ‎∵AB=2,AD=4,∴AM=,‎ ‎∴B(1,0,0),C(﹣1,0,0),A(0,0,),‎ 在Rt△ACD中,CD=.‎ ‎∴BE=CD=,即E(1,2,0)‎ 则,‎ ‎∵点F在线段AB上,‎ ‎∴设BF=xBA,(0≤x≤1)‎ 则 ‎∴F(1﹣x,0,),则,,‎ 设面CEF的法向量为,‎ 则由得,,‎ 令a=,则b=﹣1,c=,即,‎ 平面BCE的法向量为,‎ 二面角B﹣CE﹣F的余弦值为,‎ 即,‎ ‎∴,‎ 平方得,解得:,‎ 解得x=﹣1(舍去)或x=.‎ 即F是线段AB的中点时,二面角B﹣CE﹣F的余弦值为.‎ 点评:‎ 本题主要考查直线和平面平行的判定定理,以及利用向量法解决二面角的大小问题,综合性较强,运算量较大.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2015•商丘一模)某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的结果如下:‎ 日销售量 ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ 频数 ‎10‎ ‎25‎ ‎15‎ 频率 ‎0.2‎ a b ‎(1)求表中a,b的值 ‎(2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立,‎ ‎ ①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率;‎ ‎ ②已知每吨该商品的销售利润为2千元,X表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元),求X的分布列和期望.‎ 考点:‎ 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式.菁优网版权所有 专题:‎ 应用题;概率与统计.‎ 分析:‎ ‎(1)利用频率等于频数除以样本容量,求出样本容量,再求出表中的a,b.‎ ‎(2)①利用二项分布的概率公式求出5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率.‎ ‎②写出X可取得值,利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率.列出分布列,求得期望.‎ 解答:‎ 解:(1)∵=50∴a==0.5,b==0.3‎ ‎(2)①依题意,随机选取一天,销售量为1.5吨的概率p=0.5‎ 设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨,则X~B(5,0.5)‎ P(X=2)=C52×0.52×(1﹣0.5)3=0.3125‎ ‎②X的可能取值为4,5,6,7,8,则 p(X=4)=0.22=0.04‎ p(X=5)═2×0.2×0.5=0.2‎ p(X=6)═0.52+2×0.2×0.3=0.37‎ p(X=7)═2×0.3×0.5=0.3‎ p(X=8)=0.32=0.09‎ 所有X的分布列为:‎ X ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0.04‎ ‎0.2‎ ‎0.37‎ ‎0.3‎ ‎0.09‎ EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2.‎ 点评:‎ 本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2014•吉林二模)已知点F(0,1),直线l:y=﹣1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A、B两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求的最大值.‎ 考点:‎ 圆与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;数形结合;转化思想.‎ 分析:‎ ‎(1)先设出点P的坐标,代入整理即可得到动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)先利用条件设出圆的方程,并求出A、B两点的坐标以及|DA|=l1,|DB|=l2的表达式,代入整理后利用基本不等式求最大值即可.‎ 解答:‎ ‎(1)解:设P(x,y),则Q(x,﹣1),‎ ‎∵,‎ ‎∴(0,y+1)•(﹣x,2)=(x,y﹣1)•(x,﹣2).‎ 即2(y+1)=x2﹣2(y﹣1),即x2=4y,‎ 所以动点P的轨迹C的方程x2=4y.‎ ‎(2)解:设圆M的圆心坐标为M(a,b),则a2=4b.①‎ 圆M的半径为.‎ 圆M的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=a2+(b﹣2)2.‎ 令y=0,则(x﹣a)2+b2=a2+(b﹣2)2,‎ 整理得,x2﹣2ax+4b﹣4=0.②‎ 由①、②解得,x=a±2.‎ 不妨设A(a﹣2,0),B(a+2,0),‎ ‎∴,.‎ ‎∴=,③‎ 当a≠0时,由③得,.‎ 当且仅当时,等号成立.‎ 当a=0时,由③得,.‎ 故当时,的最大值为.‎ 点评:‎ 本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力 ‎ ‎ ‎21.(12分)(2014•抚州模拟)已知函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取到极值2‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的解析式;‎ ‎(Ⅱ)设函数g(x)=ax﹣lnx.若对任意的,总存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),求实数a的取值范围.‎ 考点:‎ 利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法;函数在某点取得极值的条件.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题.‎ 分析:‎ ‎(I)由已知中,函数,易求出导函数的解析式,再由函数在x=1处取到极值2,其导函数在x=1处等0,易构造一个关于m的方程,解方程求出m值,即可得到f(x)的解析式;‎ ‎(Ⅱ)由(I)我们可以求出函数导函数的解析式,进而可分别出函数f(X)的单调性,由此易判断f(x)在区间[,2]上的值域,由对任意的,总存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),及函数g(x)=ax﹣lnx.我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论,即可得到满足条件的实数a的取值范围.‎ 解答:‎ 解:(Ⅰ)f′(x)==‎ f(x)在x=1处取到极值2,故f′(1)=0,f(1)=2即,‎ 解得m=4,n=1,经检验,此时f(x)在x=1处取得极值.故 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,故f(x)在上单调递增,在(1,2)上单调递减,由,故f(x)的值域为 依题意,记,∵x∈M∴‎ ‎(ⅰ)当a≤e时,g'(x)≤0,g(x),依题意由得,‎ 故此时 ‎(ⅱ)当e<a≤e2时,>>当时,g′(x)<0,当时,g′(x)>0.依题意由,得,即.与a>e矛盾 ‎(ⅲ)当a>e2时,<,此时g′(x)>0,g(x).依题意得 即此不等式组无解综上,所求a取值范围为0<a≤e 点评:‎ 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法,函数在某点取得极值的条件,其中根据已知条件构造关于m的方程,进而求出函数f(x)的解析式是解答的关键.‎ ‎ ‎ 选考题:(本小题满分10分)请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(10分)(2015•丹东一模)已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,AC∥DE,AC与BD相交于H点.‎ ‎(Ⅰ)求证:BD平分∠ABC;‎ ‎(Ⅱ)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.‎ 考点:‎ 与圆有关的比例线段.菁优网版权所有 专题:‎ 证明题;数形结合.‎ 分析:‎ ‎(Ⅰ)证明BD平分∠ABC可通过证明D是的中点,利用相等的弧所对的圆周角相等证明BD是角平分线;‎ ‎(Ⅱ)由图形知,可先证△ABH∽△DBC,得到,再由等弧所对的弦相等,得到AD=DC,从而得到,求出AH的长 解答:‎ 解:(Ⅰ)∵AC∥DE,直线DE为圆O的切线,∴D是弧的中点,即 又∠ABD,∠DBC与分别是两弧所对的圆周角,故有∠ABD=∠DBC,‎ 所以BD平分∠ABC ‎(Ⅱ)∵由图∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC ‎∴△ABH∽△DBC,∴‎ 又 ‎∴AD=DC,‎ ‎∴‎ ‎∵AB=4,AD=6,BD=8‎ ‎∴AH=3‎ 点评:‎ 本题考查与圆有关的比例线段,解题的关键是对与圆有关性质掌握得比较熟练,能根据这些性质得出角的相等,边的相等,从而使问题得到证明 ‎ ‎ ‎23.(2014•吉林二模)已知某圆的极坐标方程为:ρ2﹣4ρcos(θ﹣)+6=0.‎ ‎(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;‎ ‎(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.‎ 考点:‎ 简单曲线的极坐标方程;三角函数的最值.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)利用两角差的余弦公式展开极坐标方程,再将直角坐标与极坐标的互化公式代入,极坐标方程即 ρ2﹣4 ( +),即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0.‎ ‎(2)圆的参数方程为 ,故 x+y=4+(sinα+cosα)=4+2sin(α+),由于﹣1≤sin(α+)≤1,可得 2≤x+y≤6.‎ 解答:‎ 解:(1) 即 ρ2﹣4( + ),即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0.(2)圆的参数方程为 ,∴x+y=4+(sinα+cosα)=4+2sin(α+).‎ 由于﹣1≤sin(α+)≤1,∴2≤x+y≤6,故x+y 的最大值为6,最小值等于 2.‎ 点评:‎ 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.‎ ‎ ‎ ‎24.(2015•丹东一模)已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1(a>0).‎ ‎(1)当a=1时,求此不等式的解集;‎ ‎(2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.‎ 考点:‎ 绝对值不等式的解法.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)当a=1时,可得2|x﹣1|≥1,即,由此求得不等式的解集.‎ ‎(2)不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R,等价于|a﹣1|≥1,由此求得实数a的取值范围.‎ 解答:‎ 解:(1)当a=1时,可得2|x﹣1|≥1,即,解得,‎ ‎∴不等式的解集为. …(5分)‎ ‎(2)∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|,不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R,等价于|a﹣1|≥1.‎ 解得a≥2,或a≤0. 又∵a>0,∴a≥2.‎ ‎∴实数a的取值范围为[2,+∞). …(10分)‎ 点评:‎ 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:wdnah;maths;sxs123;minqi5;yhx01248;涨停;qiss;742048;吕静;caoqz;wfy814;庞会丽;翔宇老师;xintrl;733008(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2015年4月29日
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