2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题8 数学思想方法选讲
专题复习检测
A卷
1．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( )
A．a1a8>a4a5 B．a1a8
a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
【答案】B
【解析】取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8<4×5成立，即a1a80”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，故a＝1.
5．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪{2}
C．(－∞，1) D．(－∞，2)
【答案】B
【解析】由于|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，等价于4≥a＋，得a＜0 或解得a＜0，或a＝2.故选B．
6．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
【答案】2
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线AB的方程为y＝x－，代入y2＝2px消去y后，得x2－3px＋＝0，故x1＋x2＝3p.又|AB|＝x1＋x2＋p＝8，解得p＝2.
7．(2019年宁夏石嘴山三中二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A的大小为________．
【答案】
【解析】由sin C＝2sin B及正弦定理，得c＝2b.由a2－b2＝bc，得a2＝7b2.再由余弦定理，得cos A＝＝＝，故A＝.
8．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
【答案】
【解析】若a>1，有a2＝4，a－1＝m，故a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意；若00)．
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数；
当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0.
∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，
φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln 3－15.
∵当x充分接近0时，φ(x)<0，当x充分大时，φ(x)>0，
∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需即7a1，满足条件．
综上，a的取值范围是[－9，＋∞)．
B卷
11．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求；当直线l与实轴垂直时，有3－＝1，解得y＝2或y＝－2，所以此时直线AB的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．综上，有3条直线满足|AB|＝4.
12．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由三视图知该几何体是一个底面半径为r＝1，母线长为l＝3的圆锥，则圆锥的高为h＝＝2.由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD－A1B1C1D1的一个底面A1B1C1D1在圆锥的底面上，过平面AA1C1C的轴截面如图所示(平面转化很重要，这是由形到数的关键所在)．设正方体的棱长为x，则有＝，即＝，解得x＝.所以原工件的材料利用率为＝＝.
13．若函数f(x)＝x＋asin x在R内单调递增，则实数a的取值范围为________．
【答案】[－1,1]
【解析】∵f′(x)＝1＋acos x，∴要使函数f(x)＝x＋asin x在R内单调递增，则f′(x)＝1＋acos x≥0对任意实数x都成立．∵－1≤cos x≤1，∴－1≤a≤1.
14．已知函数f(x)＝.
(1)求证：0＜f(x)≤1；
(2)当x＞0时，不等式f(x)＞恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)证明：设g(x)＝xex＋1，则g′(x)＝(x＋1)ex.
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
所以g(x)≥g(－1)＝1－e－1＞0.
又ex＞0，故f(x)＞0.
f′(x)＝.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
所以f(x)≤f(0)＝1.
综上，有0＜f(x)≤1.
(2)①若a＝0，则当x>0时，f(x)＜1＝，不等式不成立．
②若a＜0，则当0＜x＜时，＞1，不等式不成立．
③若a＞0，则f(x)＞等价于(ax2－x＋1)ex－1＞0.(*)
设h(x)＝(ax2－x＋1)ex－1，则h′(x)＝x(ax＋2a－1)ex.
若a≥，则当x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，h(x)>h(0)＝0.
若0
查看更多
