【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(理科)5【附详细答案和解析_可编辑】

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【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(理科)5【附详细答案和解析_可编辑】

‎【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(理科)5【附详细答案和解析_可编辑】‎ 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________‎ ‎ 一、 选择题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎1. 命题p:x<-1‎,则命题p的一个充分不必要条件为(        ) ‎ A.x<-1‎ B.x<2‎ C.‎-6y是x‎2‎‎>‎y‎2‎使得成立的必要不充分条件 C.设p,q为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“‎¬(p∧q)‎”为真命题 D.命题“在三角形ABC中,若sinA>sinB为假命题,则cosA‎2‎0‎,若x+i‎2‎是纯虚数(其中i为虚数单位),则x=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎7. 直线l‎1‎‎:3x-y=1‎到与直线l‎2‎‎:3x-y=11‎的距离为________. ‎ ‎ ‎ ‎8. ‎ 表是一个容量为‎10‎的样本数据分组后的频率分布,若利用组中中近似计算本组数据的平均数x‎¯‎,则x‎¯‎的值为________. ‎ 数据 ‎[12, 5, 15.5)‎ ‎[15.5, 18.5)‎ ‎[18.5, 21.5)‎ ‎[21, 5, 24.5)‎ 频数 ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎9. 若函数f(x)=‎3‎x(x≥0)‎的反函数是f‎-1‎‎(x)‎,则不等式f‎-1‎‎(x)>f(x)‎的解集为________. ‎ ‎ ‎ ‎10. 二面角α-l-β的大小是‎60‎‎∘‎,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为‎45‎‎∘‎,则AB与平面β所成的角的余弦值是________. ‎ ‎ ‎ ‎11. 已知α∈(-π‎2‎,π‎2‎)‎,tanα=sin‎76‎‎∘‎cos‎46‎‎∘‎-cos‎76‎‎∘‎sin‎46‎‎∘‎,则sinα=________ ‎ ‎ ‎ ‎12. 设 a=‎0‎πsinxdx ax‎-‎x‎6‎ 的展开式中的常数项为________(用数字填写) ‎ ‎ ‎ ‎13. ‎△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,‎且满足‎(b+c)(b-c)=a(b-a)‎,则内角C等于________. ‎ ‎ ‎ ‎14. 已知f(x)‎是定义在‎(-π‎2‎,π‎2‎)‎上的奇函数,其导函数为f‎'‎‎(x)‎,f(π‎8‎)=‎‎2‎,且当x∈(0,π‎2‎)‎时,f‎'‎‎(x)sin2x+2f(x)cos2x>0‎.则不等式f(x)sin2x<1‎的解集为________. ‎ ‎ ‎ ‎15. 无穷数列‎{an}‎由k个不同的数组成,Sn为‎{an}‎的前n项和.若对任意n∈‎N‎*‎,Sn‎∈{2, 3}‎,则k的最大值为________. ‎ ‎ ‎ ‎16. 在‎△ABC中,AB=2‎,AC=3‎,AB‎→‎‎⋅AC‎→‎=1‎,则BC=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎17. 若cosx+siny=‎‎1‎‎4‎,则sin‎2‎x-siny的取值范围是________. ‎ ‎ ‎ ‎18. 给出下列命题:①已知a‎→‎‎⊥‎b‎→‎,则a‎→‎‎⋅(b‎→‎+c‎→‎)+c⋅‎‎→‎(b‎→‎-a‎→‎)=b‎→‎⋅‎c‎→‎;②A,B,M,N为空间四点,若BA‎→‎‎,BM‎→‎,‎BN‎→‎不构成空间的一个基底,那么A,B,M,N共面;③已知a‎→‎‎⊥‎b‎→‎,则a‎→‎‎,‎b‎→‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 与任何向量都不构成空间的一个基底;④若a‎→‎‎,‎b‎→‎共线,则a‎→‎‎,‎b‎→‎所在直线或者平行或者重合.正确的结论为________. ‎ ‎ 三、 解答题 (本题共计 5 小题 ,每题 14 分 ,共计70分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎19. 如图,长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,AD=AA‎1‎=1‎,AB=2‎,点E是棱AB上一点. ‎ ‎(1)‎若点E是棱AB的中点,求A‎1‎D与CE所成的角. ‎ ‎ ‎ ‎(2)‎当点E在棱AB上移动时,求三棱锥D-D‎1‎CE的体积是否发生变化?若变化说明理由:若不变,求这个三棱锥的体积 ‎ ‎ ‎20. 有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S‎1‎和S‎2‎,其中S‎1‎中的蔬菜运到河边较近,S‎2‎中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S‎1‎和S‎2‎的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为‎(1, 0)‎,如图 ‎ ‎(1)‎求菜地内的分界线C的方程;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎菜农从蔬菜运量估计出S‎1‎面积是S‎2‎面积的两倍,由此得到S‎1‎面积的经验值为‎8‎‎3‎.设M是C上纵坐标为‎1‎的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S‎1‎面积的“经验值”.‎ ‎ ‎ ‎21. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎的离心率为‎2‎,焦点到渐近线的距离等于‎3‎,过右焦点F‎2‎的直线交双曲线于A,B两点,F‎1‎为左焦点. ‎ ‎(1)‎求双曲线的方程; ‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若‎△F‎1‎AB的面积等于‎6‎‎2‎,求直线l的方程.‎ ‎ ‎ ‎22. 已知a∈R,函数f(x)=log‎2‎(‎1‎x+a)‎. ‎ ‎(1)‎当a=5‎时,解不等式f(x)>0‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若关于x的方程f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围;‎ ‎ ‎ ‎(3)‎设a>0‎,若对任意t∈[‎1‎‎2‎, 1]‎,函数f(x)‎在区间‎[t, t+1]‎上的最大值与最小值的差不超过‎1‎,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎23. 数列‎{an}‎的前n项和为Sn,‎2Sn=an+1‎-‎2‎n+1‎+1‎,n∈‎N‎*‎,且a‎1‎,a‎2‎‎+5‎,‎19‎成等差数列. ‎ ‎(1)‎求a‎1‎的值;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎证明‎{an‎2‎n+1}‎为等比数列,并求数列‎{an}‎的通项公式;‎ ‎ ‎ ‎(3)‎设bn‎=log‎3‎(an+‎2‎n)‎,若对任意的n∈‎N‎*‎,不等式bn‎(1+n)-λn(bn+2)-6<0‎恒成立,试求实数λ的取值范围.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(理科)5【附详细答案和解析_可编辑】‎ 一、 选择题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 ) ‎ ‎1.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解:观察选项,只有‎-5y,不能推出x‎2‎‎>‎y‎2‎,如x=1,y=-2, x‎2‎‎>‎y‎2‎,不能推出实数x>y, 则实数x>y,是x‎2‎‎>‎y‎2‎成立的既不充分也不必要条件,B选错误, C.设p,q为简单命题,若p或q为假命题,则p、q均是假命题, 所以p且q为假命题,则p且q的否定为真命题,故C正确, D.命题“在三角形ABC中,sinA>sinB,则cosA‎2‎0‎,∴ x=1‎. 故答案为:‎1‎.‎ ‎7.【答案】‎ ‎10‎ ‎【解答】‎ 解:∵ l‎1‎‎:3x-y-1=0‎,l‎2‎‎:3x-y-11=0‎ 由两直线的距离公式可得,d=‎|-1+11|‎‎10‎=‎‎10‎ 故答案为:‎‎10‎ ‎8.【答案】‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎19.7‎ ‎【解答】‎ 解:根据题意,样本容量为‎10‎, 则x‎¯‎‎=‎1‎‎10‎×(14×2+17×1+20×3+23×4)=19.7‎. 故答案为:‎19.7‎.‎ ‎9.【答案】‎ ‎{x|x>1}‎ ‎【解答】‎ 设y=f(x)=‎3‎x(x≥0)‎, 则x=y‎3‎,x,y互换,得f‎-1‎‎(x)‎=x‎3‎,x≥0‎, ∵ f‎-1‎‎(x)>f(x)‎, ∴ x‎3‎‎>‎‎3‎x,∴ x‎9‎‎>x,∴ x‎8‎‎>1‎, 解得x>1‎. ∴ 不等式f‎-1‎‎(x)>f(x)‎的解集为‎{x|x>1}‎.‎ ‎10.【答案】‎ ‎10‎‎4‎ ‎【解答】‎ 过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线,垂足为D. 连结AD,根据三垂线定理可得AD⊥l, 因此,‎∠ADC为二面角α-l-β的平面角,‎∠ADC=‎60‎‎∘‎ 又∵ AB与l所成角为‎45‎‎∘‎, ∴ ‎∠ABD=‎45‎‎∘‎ 连结BC,可得BC为AB在平面β内的射影, ∴ ‎∠ABC为AB与平面β所成的角. 设AD=‎2x,则Rt△ACD中,AC=ADsin‎60‎‎∘‎=‎3‎x, Rt△ABD中,AB=ADsin45‎=2‎2‎x,BC=‎(2‎2‎x‎)‎‎2‎-(‎3‎x‎)‎‎2‎=‎5‎x, ∴ Rt△ABC中,cos∠ABC=BCAB=‎5‎x‎2‎2‎x=‎‎10‎‎4‎.‎ ‎11.【答案】‎ ‎5‎‎5‎ ‎【解答】‎ ‎∵ tanα=sin‎76‎‎∘‎cos‎46‎‎∘‎-cos‎76‎‎∘‎sin‎46‎‎∘‎=sin(‎76‎‎∘‎-‎46‎‎∘‎)‎=sin‎30‎‎∘‎=‎‎1‎‎2‎, 即sinαcosα‎=‎‎1‎‎2‎,∴ cosα=‎2sinα, 又sin‎2‎α+cos‎2‎α=‎1‎,解得sinα=‎‎5‎‎5‎.‎ ‎12.【答案】‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 ‎13.【答案】‎ π‎3‎ ‎【解答】‎ 解:∵ 根据题意得b‎2‎‎-c‎2‎=ab-‎a‎2‎, 即b‎2‎‎+a‎2‎-c‎2‎=ab. ∵ cosC=‎a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab, ∴ cosC=ab‎2ab=‎‎1‎‎2‎, ∴ C=‎π‎3‎. 故答案为:π‎3‎. ‎ ‎14.【答案】‎ ‎(-π‎8‎, π‎8‎)‎ ‎【解答】‎ 解:已知f(x)‎是定义在‎(-π‎2‎,π‎2‎)‎上的奇函数, 其导函数为f‎'‎‎(x)‎,f(π‎8‎)=‎‎2‎, 令F(x)=f(x)sin2x(00‎. 则F‎'‎‎(x)=f‎'‎(x)sin2x+2f(x)cos2x>0(00‎得log‎2‎‎(‎1‎x+5)>0‎, 即‎1‎x‎+5>1‎,则‎1‎x‎>-4‎,则‎1‎x‎+4=‎4x+1‎x>0‎, 则x>0‎或x<-‎‎1‎‎4‎, 即不等式的解集为‎{x|x>0或x<-‎1‎‎4‎}‎.‎ ‎(2)‎由f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎, 得log‎2‎‎(‎1‎x+a)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎. 即log‎2‎‎(‎1‎x+a)=log‎2‎[(a-4)x+2a-5]‎, 即‎1‎x‎+a=(a-4)x+2a-5>0‎,① 则‎(a-4)x‎2‎+(a-5)x-1=0‎, 即‎(x+1)[(a-4)x-1]=0‎,② 当a=4‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a=3‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a≠4‎且a≠3‎时,方程②的解为x=-1‎或x=‎‎1‎a-4‎, 若x=-1‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=a-1>0‎,即a>1‎, 若x=‎‎1‎a-4‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=2a-4>0‎,即a>2‎, 则要使方程①有且仅有一个解,则‎10‎得log‎2‎‎(‎1‎x+5)>0‎, 即‎1‎x‎+5>1‎,则‎1‎x‎>-4‎,则‎1‎x‎+4=‎4x+1‎x>0‎, 则x>0‎或x<-‎‎1‎‎4‎, 即不等式的解集为‎{x|x>0或x<-‎1‎‎4‎}‎.‎ ‎(2)‎由f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎, 得log‎2‎‎(‎1‎x+a)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎. 即log‎2‎‎(‎1‎x+a)=log‎2‎[(a-4)x+2a-5]‎, 即‎1‎x‎+a=(a-4)x+2a-5>0‎,① 则‎(a-4)x‎2‎+(a-5)x-1=0‎, 即‎(x+1)[(a-4)x-1]=0‎,② 当a=4‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a=3‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a≠4‎且a≠3‎时,方程②的解为x=-1‎或x=‎‎1‎a-4‎, 若x=-1‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=a-1>0‎,即a>1‎, 若x=‎‎1‎a-4‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=2a-4>0‎,即a>2‎, 则要使方程①有且仅有一个解,则‎11‎时,由于对称轴n=-‎1-2λ‎2(1-λ)‎<0‎, 则f(n)‎在‎[1, +∞)‎上单调递减, f(n)≤f(1)=-3λ-4<0‎恒成立,则λ>1‎满足条件, 综上所述,实数λ的取值范围是‎[1, +∞)‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎解:在‎2Sn=an+1‎-‎2‎n+1‎+1‎,n∈‎N‎*‎中, 令n=1‎,得‎2S‎1‎=a‎2‎-‎2‎‎2‎+1‎, 即a‎2‎‎=2a‎1‎+3‎,① 又‎2(a‎2‎+5)=a‎1‎+19‎,② 则由①②解得a‎1‎‎=1‎.‎ ‎(2)‎证明:当n≥2‎时,有‎2Sn=an+1‎-‎2‎n+1‎+1,③‎‎2Sn-1‎=an-‎2‎n+1,④‎‎ ‎ ③-④得‎2an=an+1‎-an-‎‎2‎n, ∴ an+1‎‎2‎n+1‎‎+1=‎3‎‎2‎(an‎2‎n+1)‎. 又a‎1‎‎2‎‎1‎‎+1=‎‎3‎‎2‎, ∴ 数列‎{an‎2‎n+1}‎是以‎3‎‎2‎为首项,‎3‎‎2‎为公比的等比数列, ∴ an‎2‎n‎+1=‎3‎‎2‎×(‎‎3‎‎2‎‎)‎n-1‎, 解得an‎=‎3‎n-‎‎2‎n.‎ ‎(3)‎解:由‎(2)‎可知,bn‎=log‎3‎(an+‎2‎n)=n, 当bn‎(1+n)-λn(bn+2)-6<0‎恒成立时, 即‎(1-λ)n‎2‎+(1-2λ)n-6<0(n∈N‎*‎)‎恒成立. 设f(n)=(1-λ)n‎2‎+(1-2λ)n-6(n∈N‎*‎)‎, 当λ=1‎时,‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 f(n)=-n-6<0‎恒成立,则λ=1‎满足条件; 当λ<1‎时,由二次函数性质知不恒成立; 当λ>1‎时,由于对称轴n=-‎1-2λ‎2(1-λ)‎<0‎, 则f(n)‎在‎[1, +∞)‎上单调递减, f(n)≤f(1)=-3λ-4<0‎恒成立,则λ>1‎满足条件, 综上所述,实数λ的取值范围是‎[1, +∞)‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
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