数学文·甘肃省张掖市肃南一中2017届高三上学期10月月考数学试卷（文科） Word版含解析

数学文·甘肃省张掖市肃南一中2017届高三上学期10月月考数学试卷（文科） Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高三（上）10月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（　　）‎ A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3）‎ ‎2．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（　　）‎ A．﹣4 B． C．4 D．‎ ‎3．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．[0，π） B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[0，]∪（，π）‎ ‎4．若=2， =1，且与的夹角为60°，当取得最小值时，实数x的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎5．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足， =2，则△APQ的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎7．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎8．已知函数f（x）=，若f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1） C．[0，1） D．[0，+∞）‎ ‎9．过双曲线的左焦点F作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若∠AMB=120°，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．‎ ‎11．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则•+•=（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎12．设F为抛物线y2=16x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（　　）‎ A．36 B．24 C．16 D．12‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为　　．‎ ‎14．已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为　　．‎ ‎15．已知等比数列{an}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7=　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设函数f（x）=2cos2x+2sinx•cosx+m（m，x∈R）．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）当x∈[0，]时，求实数m的值，使函数f（x）的值域恰为，并求此时f（x）在R上的对称中心．‎ ‎18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．‎ ‎（1）求证：DE∥平面PBC；‎ ‎（2）求证：AB⊥PE；‎ ‎（3）求二面角A﹣PB﹣E的大小．‎ ‎19．为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：‎ 学校 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁 人数 ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ 该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．‎ ‎（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；‎ ‎（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且△PF1F2的面积为S=．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C相交于M、N两点，直线AN与直线x=4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．‎ ‎21．已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．‎ ‎（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，CE=BE，点E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知：动点P、Q都在曲线C：（t为参数）上，对应参数分别为t=α与t=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．‎ ‎（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求A；‎ ‎（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高三（上）10月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（　　）‎ A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3）‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，‎ ‎∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（　　）‎ A．﹣4 B． C．4 D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．‎ ‎【分析】由题意可得 z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，‎ 故z的虚部等于，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．[0，π） B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[0，]∪（，π）‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．‎ ‎【解答】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα，‎ ‎∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1‎ ‎∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）‎ 故选B ‎　‎ ‎4．若=2， =1，且与的夹角为60°，当取得最小值时，实数x的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由题意可得 =1，再根据 ==，可得当取得最小值时，实数x的值．‎ ‎【解答】解：∵=2， =1，且与的夹角为60°，∴=2×1×cos60°=1．‎ ‎∵===，‎ 故当x=1时，取得最小值为，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．‎ ‎【解答】解：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，‎ 底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；‎ 高为：1；上部是正方体，‎ 也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体，‎ 所以几何体的体积为：3×13+=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足， =2，则△APQ的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】向量在几何中的应用；三角形的面积公式．‎ ‎【分析】画出△ABC，通过足， =2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知，P为AC的中点， =2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：‎ 因为S△ABC==2．‎ 所以S△APQ===．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由程序框图依次计算第一、第二…的运行结果，直到满足条件n＞4时，输出S，即为所求．‎ ‎【解答】解：由程序框图得：‎ 第一次运行n=0，S=0；‎ 第二次运行n=1，S=1；‎ 第三次运行n=2，S=1+1=2；‎ 第四次运行n=3，S=2+1=3；‎ 第五次运行n=4，S=3+2=5；‎ 第六次运行n=5，S=5+2=7；满足n＞4结束运行，输出S=7．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）=，若f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1） C．[0，1） D．[0，+∞）‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】由题知f（x）为分段函数，当x大于0时，由f（x）=f（x﹣1）可知当x大于1时，f（x）=0，小于1大于0时函数为减函数；当x小于等于0时函数为减函数，而方程f（x）=x+a 有且只有两个不相等的实数根即f（x）与y=x+a由两个交点，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：解：函数f（x）=的图象如图所示，‎ 当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，‎ 即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根．‎ ‎∴a的范围是：（﹣∞，1），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．过双曲线的左焦点F作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若∠AMB=120°，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】依题意，作出图形，易求该双曲线的离心率e===2，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：依题意，作图如下：‎ ‎∵OA⊥FA，∠AMO=60°，OM=OA，‎ ‎∴△AMO为等边三角形，‎ ‎∴OA=OM=a，‎ 在直角三角形OAF中，OF=c，‎ ‎∴该双曲线的离心率e====2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差数列的求和公式和性质可得=，代入已知可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得=‎ ‎===1‎ 故选A ‎　‎ ‎11．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则•+•=（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】不妨作出图象，由向量加法法则得=，代入式子利用数量积运算可求．‎ ‎【解答】解：如图所示： ==，‎ ‎∴•+•=（）+（）‎ ‎===4，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．设F为抛物线y2=16x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（　　）‎ A．36 B．24 C．16 D．12‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得F（4，0），是三角形ABC的重心，故 =4，再由抛物线的定义可得=xA+4+xB+4+xC+4=24．‎ ‎【解答】解：由题意可得F（4，0），是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，故故 =4，‎ ‎∴xA+xB+xC=12． ‎ 再由抛物线的定义可得： =xA+4+xB+4+xC+4=12+12=24，‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为　﹣　．‎ ‎【考点】同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【分析】由α的范围以及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．‎ ‎【解答】解：∵α∈（，π），且sinα=，‎ ‎∴cosα=﹣=﹣，‎ 则tanα==﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ ‎14．已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】本题是基本不等式问题，可以利用a＞b＞0得到a﹣b＞0（正数），再利用条件ab为定值将a2+b2转化为（a﹣b）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题．‎ ‎【解答】解：∵a＞b＞0，ab=1∴a﹣b＞0 ‎ ‎∴=‎ 当且仅当a﹣b=时取等号 故答案为 ‎　‎ ‎15．已知等比数列{an}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7=　　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{an}的第5项，再利用等比数列的性质求得a3a7的值．‎ ‎【解答】解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为 Tr+1=••，‎ 令3﹣=0，求得r=2，故展开式的常数项为 •=．‎ 等比数列{an}的第5项a5=，可得a3a7==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围　（﹣，﹣2）∪（2，）　．‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】解法一：不等式即 ln（x2﹣4）+＜2，令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2 ①．令h（t）=lnt+2t，由函数h（t）的单调性可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．‎ 解法二：根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，f（1）=2，由不等式可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．‎ ‎【解答】解：解法 一：∵函数f（x）=lnx+2x，∴f（x2﹣4）=ln（x2﹣4）+，‎ ‎∴不等式即 ln（x2﹣4）+＜2．‎ 令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2 ①．‎ 令h（t）=lnt+2t，显然函数h（t）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=2，‎ ‎∴由不等式①可得t＜1，即 x2﹣4＜1，即x2＜5．‎ 由解得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，‎ 故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．‎ 解法二：由于函数f（x）=lnx+2x，∴f（1）=2，‎ 再根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，∴由f（x2﹣4）＜2可得x2﹣4＜1，‎ 求得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，‎ 故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设函数f（x）=2cos2x+2sinx•cosx+m（m，x∈R）．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）当x∈[0，]时，求实数m的值，使函数f（x）的值域恰为，并求此时f（x）在R上的对称中心．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．‎ ‎【分析】（1）利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可求得f（x）=2sin（2x+）+m+1，从而可求其最小正周期；‎ ‎（2）利用正弦函数的单调性可求得0≤x≤时，m≤f（x）≤m+3，利用使函数f（x）的值域为[，]可求得m的值，从而可求f（x）在R上的对称中心．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx+m ‎=1+cos2x+sin2x+m ‎=2sin（2x+）+m+1，‎ ‎∴函数f（x）的最小正周期T=π．‎ ‎（2）∵0≤x≤，‎ ‎∴≤2x+≤，‎ ‎∴﹣≤sin（2x+）≤1，‎ ‎∴m≤f（x）≤m+3，‎ 又≤f（x）≤，‎ ‎∴m=，‎ 令2x+=kπ（k∈Z），解得x=﹣（k∈Z），‎ ‎∴函数f（x）在R上的对称中心为（﹣，）（k∈Z）．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．‎ ‎（1）求证：DE∥平面PBC；‎ ‎（2）求证：AB⊥PE；‎ ‎（3）求二面角A﹣PB﹣E的大小．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC ‎（II）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；‎ ‎（Ⅲ）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A﹣PB﹣E的大小．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，‎ ‎∴DE∥BC．‎ ‎∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴DE∥平面PBC．…‎ ‎（Ⅱ）连接PD，‎ ‎∵PA=PB，D为AB中点，‎ ‎∴PD⊥AB． …．‎ ‎∵DE∥BC，BC⊥AB，‎ ‎∴DE⊥AB…‎ 又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE ‎∴AB⊥平面PDE…‎ ‎∵PE⊂平面PDE，‎ ‎∴AB⊥PE…‎ ‎（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…‎ 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，‎ 则B（1，0，0），P（0，0，），E（0，，0），‎ ‎∴=（1，0，），=（0，，）．‎ 设平面PBE的法向量，‎ ‎∴‎ 令 得…‎ ‎∵DE⊥平面PAB，‎ ‎∴平面PAB的法向量为．…‎ 设二面角的A﹣PB﹣E大小为θ，‎ 由图知，，‎ 所以θ=60°，‎ 即二面角的A﹣PB﹣E大小为60°…‎ ‎　‎ ‎19．为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：‎ 学校 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁 人数 ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ 该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．‎ ‎（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；‎ ‎（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．‎ ‎【分析】（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，根据题设条件，利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率．‎ ‎（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ ‎【解答】解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，‎ 则．…‎ ‎（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…‎ 则，‎ ‎，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎…‎ ‎∴…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且△PF1F2的面积为S=．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C相交于M、N两点，直线AN与直线x=4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过椭圆的截距以及三角形的面积求出a，b，即可得到椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求出A、B坐标通过（1）当直线l与x轴垂直时，求出AN的方程，BM的方程，然后求出直线AN与直线x=4的交点，判断交点R在直线BM上；（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）利用直线与椭圆方程联立结合韦达定理，利用分析法证明A，N，R共线，即点R总在直线BM上即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，…‎ ‎∵椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且，‎ ‎∴．‎ ‎∴，．‎ ‎∴2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2…‎ 又∵，∴…‎ ‎∴椭圆C的方程为．…‎ ‎（Ⅱ）由题意知A（﹣2，0）、B（2，0），‎ ‎（1）当直线l与x轴垂直时，、，‎ 则AN的方程是：，‎ BM的方程是：，‎ 直线AN与直线x=4的交点为，‎ ‎∴点R在直线BM上．…‎ ‎（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）‎ 由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0‎ ‎∴，…‎ ‎，，‎ A，N，R共线，‎ ‎∴…‎ 又，，‎ 需证明B，M，R共线，‎ 需证明2y1﹣y0（x1﹣2）=0，只需证明 若k=0，显然成立，若k≠0，即证明（x1﹣1）（x2+2）﹣3（x2﹣1）（x1﹣2）=0‎ ‎∵（x1﹣1）（x2+2）﹣3（x2﹣1）（x1﹣2）=﹣2x1x2+5（x1+x2）﹣8‎ ‎=成立，…‎ ‎∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上．…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．‎ ‎（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；‎ ‎（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；‎ ‎（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．‎ ‎【解答】解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0）上单调递增；‎ 当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．‎ ‎（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，‎ ‎∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），‎ ‎∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，‎ ‎∴，‎ ‎∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．‎ ‎∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，‎ ‎∴=1，当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．‎ ‎∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1．‎ ‎（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．‎ 当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为 ‎，即．‎ 当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．‎ 函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，‎ 由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0，‎ 由①②得=．‎ ‎∵函数，y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，‎ ‎∴a（x1）=在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．‎ x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2．‎ ‎∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，CE=BE，点E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】连接BP，OP，由题设条件导出∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠C=180°﹣∠BAC﹣∠C=∠ABC=90°，故PE=BE=CE，再由OB=OP，能够证明PE是⊙O的切线．‎ ‎【解答】解：连接BP，OP，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，CE=BE，点E在BC上，‎ ‎∴∠APB=90°，∠ABC=90°，∠BAC=∠PBC，‎ ‎∴∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠C=180°﹣∠BAC﹣∠C=∠ABC=90°，‎ ‎∴PE=BE=CE，‎ ‎∵OB=OP，‎ ‎∴∠OPE=90°，‎ ‎∴PE是⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知：动点P、Q都在曲线C：（t为参数）上，对应参数分别为t=α与t=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．‎ ‎（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用参数方程，可得M的坐标，消去参数，即可求出M的轨迹的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）利用距离公式，将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，当α=π时，d=0，即可判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），‎ 因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）‎ M的轨迹的参数方程为，…‎ ‎（Ⅱ）M点到坐标原点的距离 当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点 …‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求A；‎ ‎（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（I）利用绝对值的几何意义，化去绝对值，解不等式，可得结论；‎ ‎（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4，从而可求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）若a=1，则|2x﹣1|+|x+3|≥2x+4‎ 当x≤﹣3时，原不等式可化为﹣3x﹣2≥2x+4，可得x≤﹣3‎ 当﹣3＜x≤时，原不等式可化为4﹣x≥2x+4，可得3x≤0‎ 当x＞时，原不等式可化为3x+2≥2x+4，可得x≥2‎ 综上，A={x|x≤0，或x≥2}；‎ ‎（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立 当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4‎ ‎∴x≥a+1或x≤‎ ‎∴a+1≤﹣2或a+1≤‎ ‎∴a≤﹣2‎ 综上，a的取值范围为a≤﹣2．‎ ‎　‎ ‎2016年12月14日