数学文·湖南省株洲四中2017届高三上学期第二次月考数学试卷（文科） Word版含解析

数学文·湖南省株洲四中2017届高三上学期第二次月考数学试卷（文科） Word版含解析

‎2016-2017学年湖南省株洲四中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cosθ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}‎ C．{1，2，3} D．{1，2}‎ ‎3．函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　）‎ A．y=2sin（2x﹣） B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+） D．y=2sin（x+）‎ ‎4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）‎ A．12π B．π C．8π D．4π ‎5．设向量，足||=||=1，则|+2|的最大值为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎6．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　）‎ A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎8．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（　　）‎ A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=‎ ‎9．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）‎ ‎（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）‎ A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 ‎10．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎11．函数的图象的最低点坐标是（　　）‎ A．（0，2） B．不存在 C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=（　　）‎ A．0 B．m C．2m D．4m ‎　‎ 二．填空题：共4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=　　．‎ ‎14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=　　．‎ ‎15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若向量=a100+a101，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于　　．‎ ‎16．若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件且最大值为40，则+的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共70分，第17题10分，其余各题12分）‎ ‎17．设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．‎ ‎18．等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．‎ ‎19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系为y=（v＞0）．‎ ‎（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）‎ ‎（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB∥EF；‎ ‎（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．‎ ‎21．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．‎ ‎（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．‎ ‎22．设fn（x）是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数Fn（x）=fn（x）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=+x；‎ ‎（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）和gn（x）的大小，并加以证明．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省株洲四中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cosθ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】根据题意，求出点到坐标原点的距离，利用三角函数的定义求出cosθ的值．‎ ‎【解答】解：已知角θ的终边过点（4，﹣3），所以点到坐标原点的距离为：5；‎ 根据三角函数的定义可知：cosθ=；‎ 故选A ‎　‎ ‎2．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}‎ C．{1，2，3} D．{1，2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．‎ ‎【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，‎ ‎∴A∩B={1，2}．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　）‎ A．y=2sin（2x﹣） B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+） D．y=2sin（x+）‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．‎ ‎【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，‎ ‎=，故T=π，ω=2，‎ 故y=2sin（2x+φ），‎ 将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，‎ 则φ=﹣满足要求，‎ 故y=2sin（2x﹣），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）‎ A．12π B．π C．8π D．4π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，‎ 正方体的体对角线为=2，‎ 即为球的直径，所以半径为，‎ 所以球的表面积为=12π．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．设向量，足||=||=1，则|+2|的最大值为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．‎ ‎【分析】利用向量的模以及向量的数量积求解即可．‎ ‎【解答】解：向量，足||=||=1，则|+2|==≤=3，当且仅当cos=1时，取等号．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　）‎ A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎【考点】充要条件．‎ ‎【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．‎ ‎【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；‎ 反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，‎ 故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解．‎ ‎【解答】解：根据题意：‎ Sk+2=（k+2）2，Sk=k2‎ ‎∴Sk+2﹣Sk=24转化为：‎ ‎（k+2）2﹣k2=24‎ ‎∴k=5‎ 故选D ‎　‎ ‎8．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（　　）‎ A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=‎ ‎【考点】对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．‎ ‎【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．‎ ‎【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），‎ 函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；‎ 函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；‎ 函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；‎ 函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；‎ 故选：D ‎　‎ ‎9．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）‎ ‎（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）‎ A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．‎ ‎【解答】解：设第n年开始超过200万元，‎ 则130×（1+12%）n﹣2015＞200，‎ 化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，‎ n﹣2015＞=3.8．‎ 取n=2019．‎ 因此开始超过200万元的年份是2019年．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．‎ ‎【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3‎ ‎∵f（x）在x=﹣3时取得极值 ‎ ‎∴f′（﹣3）=0⇒a=5，验证知，符合题意 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．函数的图象的最低点坐标是（　　）‎ A．（0，2） B．不存在 C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎【考点】函数的图象；函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是函数的最值及基本不等式，我们易将函数的解析式化为y=，又由（x＞﹣1）由基本不等式，我们易得x=0，y取最小值2，即得函数的图象的最低点坐标．‎ ‎【解答】解：∵==≥2（x＞﹣1）‎ 当且仅当x+1=1，即x=0时，y取最小值2‎ 故函数的图象的最低点坐标是（0，2）‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=（　　）‎ A．0 B．m C．2m D．4m ‎【考点】二次函数的性质；带绝对值的函数；函数迭代．‎ ‎【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），‎ 故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，‎ 函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，‎ 故函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1对称，‎ 故xi=×2=m，‎ 故选：B ‎　‎ 二．填空题：共4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=　﹣6　．‎ ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，‎ 可得12=﹣2m，解得m=﹣6．‎ 故答案为：﹣6．‎ ‎　‎ ‎14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=　　．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由cosA=，cosC=，可得 sinA===，‎ sinC===，‎ sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，‎ 由正弦定理可得b=‎ ‎==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若向量=a100+a101，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于　100　．‎ ‎【考点】数列与向量的综合；向量的共线定理．‎ ‎【分析】先根据向量的共线定理求出a100与a101的关系，再根据等差数列前n项和公式便可求出S200的值．‎ ‎【解答】解：由题意可知：向量=a100+a101，‎ 又∵A、B、C三点共线，‎ 则a100+a101=1，‎ 等差数列前n项的和为Sn=，‎ ‎∴S200===100，‎ 故答案为100．‎ ‎　‎ ‎16．若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件且最大值为40，则+的最小值为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则+的最小值．‎ ‎【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得，‎ ‎∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率，‎ 作出不等式对应的平面区域如图：‎ 平移直线得，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．‎ 由，解得，即A（8，10），‎ 此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，‎ 即8a+10b=40，∴a+b=1，‎ ‎+=（+）×1=（+）×（a+b）‎ ‎=1+++≥+2=+2×=+1=，‎ 当且仅当=，即2a=5b时取等号．‎ 故+的最小值为 故答案为：‎ ‎　‎ 三．解答题（共70分，第17题10分，其余各题12分）‎ ‎17．设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．‎ ‎（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x ‎=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，‎ 令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，‎ 可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ ‎（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；‎ 再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，‎ ‎∴g（）=2sin+﹣1=．‎ ‎　‎ ‎18．等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；‎ ‎（Ⅱ）根据bn=[an]，列出数列{bn}的前10项，相加可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a3+a4=4，a5+a7=6．‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴an=；‎ ‎（Ⅱ）∵bn=[an]，‎ ‎∴b1=b2=b3=1，‎ b4=b5=2，‎ b6=b7=b8=3，‎ b9=b10=4．‎ 故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．‎ ‎　‎ ‎19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系为y=（v＞0）．‎ ‎（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）‎ ‎（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）根据基本不等式性质可知≤进而求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．‎ ‎（2）依题意可知＞10，整理求得v的范围．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，y=≤=，‎ 当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，所以ymax=≈11.1（千辆/时）．‎ ‎（2）由条件得＞10，‎ 整理得v2﹣89v+1600＜0，‎ 即（v﹣25）（v﹣64）＜0．解得25＜v＜64．‎ ‎∴当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB∥EF；‎ ‎（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明：AB∥平面PCD，即可证明AB∥EF；‎ ‎（Ⅱ）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，‎ 所以AB∥CD．‎ 又因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，‎ 所以AB∥平面PCD．‎ 又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，‎ 所以AB∥EF．…‎ ‎（Ⅱ）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD，‎ 且平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ 所以CD⊥平面PAD．‎ 又AF⊂平面PAD 所以CD⊥AF．‎ 由（Ⅰ）可知AB∥EF，‎ 又因为AB∥CD，所以CD∥EF．由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．‎ 在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD．‎ 又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．‎ ‎（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．‎ ‎【考点】简单复合函数的导数．‎ ‎【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；‎ ‎（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．‎ f（1）=0，即点为（1，0），‎ 函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，‎ 则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，‎ 即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，‎ 则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；‎ ‎（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），‎ ‎∴f′（x）=1++lnx﹣a，‎ ‎∴f″（x）=，‎ ‎∵x＞1，∴f″（x）＞0，‎ ‎∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．‎ ‎①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，‎ ‎∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；‎ ‎②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，‎ 由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．‎ 综上所述，a≤2．‎ ‎　‎ ‎22．设fn（x）是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数Fn（x）=fn（x）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=+x；‎ ‎（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）和gn（x）的大小，并加以证明．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由Fn（x）=fn（x）﹣2=1+x+x2+…++xn﹣2，求得Fn（1）＞0，Fn（）＜0．再由导数判断出函数Fn（x）在（，1）内单调递增，得到Fn（x）在（，1）内有且仅有一个零点xn，由Fn（xn）=0，得到；‎ ‎（Ⅱ）先求出，构造函数h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+…++xn﹣，当x=1时，fn（x）=gn（x）．‎ 当x≠1时，利用导数求得h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到fn（x）＜gn（x）．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）由Fn（x）=fn（x）﹣2=1+x+x2+…++xn﹣2，‎ 则Fn（1）=n﹣1＞0，‎ Fn（）=1+．‎ ‎∴Fn（x）在（，1）内至少存在一个零点，‎ 又，∴Fn（x）在（，1）内单调递增，‎ ‎∴Fn（x）在（，1）内有且仅有一个零点xn，‎ ‎∵xn是Fn（x）的一个零点，∴Fn（xn）=0，‎ 即，故；‎ ‎（Ⅱ）由题设，，‎ 设h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+…++xn﹣，x＞0．‎ 当x=1时，fn（x）=gn（x）．‎ 当x≠1时，．‎ 若0＜x＜1，h′（x）＞=．‎ 若x＞1，h′（x）＜=．‎ ‎∴h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，‎ ‎∴h（x）＜h（1）=0，即fn（x）＜gn（x）．‎ 综上，当x=1时，fn（x）=gn（x）；‎ 当x≠1时，fn（x）＜gn（x）．‎ ‎　‎ ‎2016年12月16日