数学文（A）卷·2018届北京四中高三第一次模拟考试（一模）仿真卷（2018

数学文（A）卷·2018届北京四中高三第一次模拟考试（一模）仿真卷（2018

‎2018届高三第一次模拟考试仿真卷 文科数学（A）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·马鞍山一模]已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．[2018·承德期末]设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．[2018·亳州期末]下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．[2018·泰安期末]函数，的图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．[2018·汕头期末]如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．[2018·遵义一模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2018·乌鲁木齐一模]执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A．4097 B．9217‎ C．9729 D．20481‎ ‎8．[2018·承德期末]已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．[2018·中山期末]已知实数，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2018·佛山一模]如图所示，在正方体中，分别为的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．[2018·亳州一模]经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若交双曲线的左支于，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．[2018·乌鲁木齐一模]设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为（ ）‎ A．3 B．2 C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·赣州期末]已知向量，，若，则实数__________．‎ ‎14．[2018·福州质检]的内角的对边分别为，已知，，则的大小为__________．‎ ‎15．[2018·黄山一模]已知直线过点，若可行域 的外接圆直径为20，则_____．‎ ‎16．[2018·沙市中学] “求方程 的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集是__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2018·梅河口五中]已知数列的前项和，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．[2018·育才中学]某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的．‎ ‎（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎ ‎ ‎（2）试估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ ‎ ‎ 由表中的数据显示，与之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出关于的回归直线方程．（参考公式：）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．[2018·淮南一模]如图所示，正四棱椎中，底面的边长为2，侧棱长为，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若为上的一点，且，‎ 求三棱椎的体积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．[2018·乌鲁木齐一模]椭圆的右焦点是，，，点是平行四边形的一个顶点，轴．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）过作直线交椭圆于两点，，求直线的斜率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．[2018·石家庄一检]已知函数．‎ ‎（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2018·皖西质检]在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为；‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交点分别为，点，求的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．[2018·湖北联考]已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）若正实数满足，求证：．‎ ‎2018届高三第一次模拟考试仿真卷 文科数学（A）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】，，，，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】，故．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】令圆的半径为1，则，故选C．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】由可得函数为奇函数，图像关于原点对称，可排除A，B，∵时，，故选C．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，‎ ‎ ‎ 故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4‎ 为高的直三棱柱的外接球相同．‎ 由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，‎ 可得底面三角形外接圆的半径为，‎ 由棱柱高为4，可得，‎ 故外接球半径为，‎ 故外接球的体积为．选D．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，‎ ‎∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．‎ ‎∵AC=BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，‎ 因此△ABC的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：D．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：‎ ‎，‎ 则，‎ 以上两式作差可得：，‎ 则：．本题选择B选项．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】由最小正周期公式可得：，，函数的解析式为：，将函数图像向右平移个单位后得到的函数图像为：，‎ 据此可得：，，‎ 令可得．本题选择B选项．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】∵，∴；‎ 又，∴，‎ ‎∴，即．选B．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】由题意可得，点位于过点且与平面平行的平面上，‎ 如图所示，取的中点，连结，‎ 由正方形的性质可知：，由为平行四边形可知，‎ 由面面平行的判定定理可得：平面平面，‎ 据此可得，点位于直线上，‎ 如图所示，由平面可得，‎ 则，当有最大值时，取得最小值，‎ 即点是的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时的值是．本题选择D选项．‎ ‎ ‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】由题意，，得，所以，即离心率的范围是，故选B．‎ ‎12．【答案】D ‎【解析】原问题等价于，令，‎ 则，而，‎ 由可得：，‎ 由可得：，‎ 据此可知，函数在区间上的最小值为，‎ 综上可得：实数的最小值为e．本题选择D选项．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】由题意，，则．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由，根据正弦定理得，即，，‎ ‎，又，，，故答案为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由题意知可行域为图中△OAB及其内部，解得，又，则∠AOB=30°，由正弦定理得，解得．故答案为：．‎ ‎ ‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2变形为，‎ x6+x2＞（x+2）3+（x+2）；‎ 令u=x2，v=x+2，‎ 则x6+x2＞（x+2）3+（x+2）⇔u3+u＞v3+v；‎ 考查函数f（x）=x3+x，知f（x）在R上为增函数，‎ ‎∴f（u）＞f（v），∴u＞v；‎ 不等式x6+x2＞（x+2）3+（x+2）可化为x2＞x+2，解得x＜﹣1或x＞2；‎ ‎∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 当时，，也满足，故，‎ ‎∵成等比数列，∴，‎ ‎∴．∴．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎∴．‎ ‎18．【答案】（1）2；（2）5；（3）答案见解析．‎ ‎【解析】（1）设各小长方形的宽度为．‎ 由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为，可知 ‎，解得．‎ 故图中各小长方形的宽度为．‎ ‎（2）由（1）知各小组依次是，，，，，，其中点分别为，，，，，对应的频率分别为，，，，，‎ 故可估计平均值为．‎ ‎（3）由（2）可知空白栏中填．‎ 由题意可知，，‎ ‎，，‎ 根据公式，可求得，．‎ 所以所求的回归直线方程为．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）设交于，连接，则在中，分别为的中点，‎ ‎ ‎ ‎∴，又平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）易知，且平面，‎ ‎∴．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴且，‎ 又∵ 轴，∴，∴，则．‎ ‎（2）由（1）得，∴，∴椭圆方程为，‎ 设直线，代入椭圆方程，得：，‎ 设，，则，，‎ 由于，，∴，，‎ 根据题意得，且，代入点坐标得：‎ ‎，‎ 即，‎ 化简得，解得或．‎ ‎21．【答案】（1） （2）见解析 ‎【解析】（1）由已知条件，，当时，，‎ ‎，当时，，所以所求切线方程为 ‎ ‎（2）由已知条件可得有两个相异实根，，‎ 令，则，‎ ‎1）若，则，单调递增，不可能有两根；‎ ‎2）若，‎ 令得，可知在上单调递增，在上单调递减，‎ 令解得，‎ 由有，‎ 由有，‎ 从而时函数有两个极值点，‎ 当变化时，，的变化情况如下表 单调递减 单调递增 单调递减 因为，所以，在区间上单调递增，‎ ‎．‎ 另解：由已知可得，则，令，‎ 则，可知函数在单调递增，在单调递减，‎ 若有两个根，则可得，‎ 当时， ，‎ 所以在区间上单调递增，‎ 所以．‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1），曲线；（2）．‎ ‎【解析】（1），曲线；‎ ‎（2）将（为参数）代入曲线C的方程，得，‎ ‎，．‎ ‎23．【答案】（1）2；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）当且仅当时，等式成立．‎ ‎（2）则，当且仅当时取，等号成立．‎