北京市石景山区2020届高三上学期期末考试 数学试题

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北京市石景山区2020届高三上学期期末考试 数学试题

石景山区2020届高三第一学期期末 数 学 第一部分(选择题共40分)‎ 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集运算,得到答案.‎ ‎【详解】因为集合,,‎ 所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,属于简单题.‎ ‎2.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对复数进行化简,然后得到其共轭复数,再找到其再复平面对应的点,得到答案.‎ ‎【详解】,‎ 所以 在复平面对应的点为,在第一象限.‎ ‎·21·‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算,共轭复数,复数在复平面对应的点,属于简单题.‎ ‎3.下列函数中既是奇函数,又在区间(0,1)上单调递减的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断四个选项中的函数的奇偶性和在上的单调性,得到答案.‎ ‎【详解】选项A中,,是奇函数,但在上单调递增,不满足要求;‎ 选项B中,,是偶函数,不满足要求,‎ 选项C中,,是奇函数,在上单调递减,满足要求;‎ 选项D中,,是偶函数,不满足要求.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性,属于简单题.‎ ‎4.已知向量,,若,则实数 ( )‎ A. -1 B. ‎1 ‎C. 2 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量坐标的线性运算得到,再根据向量垂直的坐标表示,得到关于的方程,解出的值,得到答案.‎ ‎【详解】因为向量,‎ 所以,‎ 因为,‎ ‎·21·‎ 所以 所以 解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示,根据向量垂直关系求参数的值,属于简单题.‎ ‎5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )‎ A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】设夹谷石,则,‎ 所以,‎ 所以这批米内夹谷约为石,故选B.‎ 考点:用样本的数据特征估计总体.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎6.已知,,,则,,的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对,,与特殊值或进行比较,从而判断出出它们的大小关系,得到答案.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 因为,所以,‎ 因为,所以,‎ ‎·21·‎ 所以.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查判断对数的大小关系,属于简单题.‎ ‎7.艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时, 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比,不变的数字特征是( )‎ A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解,得到答案.‎ ‎【详解】从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分,得到5个有效评分,‎ 其平均数、极差、方差都可能会发生改变,‎ 不变的数字特征数中位数.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、极差的概念,属于简单题.‎ ‎8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与原正方体体积的比值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎·21·‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原出几何体,得到是在正方体中,截去四面体,利用体积公式,求出其体积,然后得到答案.‎ ‎【详解】根据三视图还原出几何体,如图所述,‎ 得到是在正方体中,截去四面体 设正方体的棱长为,‎ 则,‎ 故剩余几何体的体积为,‎ 所以截去部分的体积与剩余部分的体积的比值为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积;关键是正确还有几何体,利用体积公式解答,属于简单题.‎ ‎9.在等差数列中,设,则是的( )‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分非必要条件 ‎【答案】D ‎·21·‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举出特殊数列的例子,即可排除选项.‎ ‎【详解】若等差数列为 ‎ 则当时,成立,但不成立,所以非充分条件 当时,成立,但不成立,所以非必要条件 综上可知,是的既非充分非必要条件 所以选D.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的定义,充分必要条件的判定,注意特殊值法在选择题中的应用,属于基础题.‎ ‎10.关于曲线.给出下列三个结论:‎ ‎① 曲线恰好经过个整点(即横、纵坐标均为整数点)‎ ‎② 曲线上任意一点到原点的距离都不大于 ‎③ 曲线上任意一点到原点的距离都不小于2‎ 其中,正确结论的个数是( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线,看成关于的方程,利用方程有解,得到的范围,再分别研究对应的整数和的情况;根据基本不等式,得到的范围,从而判断出曲线上一点到原点的距离范围.‎ ‎【详解】曲线,看成关于的二次方程 则,得 ‎·21·‎ 所以整数的取值为,‎ 当时,或,满足题意 当时,不是整数,不满足题意 当时,或,满足题意 当时,不是整数,不满足题意 当时,或,满足题意 故曲线过的整点为,,,,,,共6个,‎ 故命题①正确.‎ ‎,‎ 当时,,即,‎ 得,即 当且仅当或时,等号成立 所以得曲线上任意一点到原点的距离都不大于,命题②正确.‎ 当时,,即,‎ 得,即,‎ 当且仅当或时,等号成立 所以得曲线上任意一点到原点的距离都不小于,故命题③错误;‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查判断二次方程根的情况,基本不等式求最值,属于中档题.‎ 第二部分(非选择题共110分)‎ ‎·21·‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎11.在的二项展开式中,常数项等于 .(用数值表示)‎ ‎【答案】-160‎ ‎【解析】‎ 试题分析:,由得:r=3,所.‎ 考点:二项式定理.‎ 点评:熟记二项展开式的通项公式:.此通项公式集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化.‎ ‎12.双曲线的焦点到它的渐近线的距离为_________________;‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由双曲线方程可知,则,即,所以焦点为,渐近线为.所以焦点到渐近线的距离为.‎ 考点:1双曲线的基本性质;2点到线的距离.‎ ‎13.已知数列为等比数列,,,则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,得到,从而得到关于的方程,解出的值,得到答案.‎ ‎【详解】因为数列为等比数列,‎ 所以,‎ ‎·21·‎ 即,‎ 解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查根据等比中项求值,属于简单题.‎ ‎14.已知平面.给出下列三个论断:①;②;③∥.以其中两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:___‎ ‎【答案】①③②或②③①‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面平行和面面垂直的性质,得到线面垂直,从而得到答案.‎ ‎【详解】由,∥,可得 故①③②,‎ 由,∥,可得 故②③①,‎ 由,,‎ 则平面与平面可以平行和可以相交,‎ 故①②③.‎ 故答案为:①③②或②③①‎ ‎【点睛】本题考查面面平行和面面垂直的性质及判定,面面关系有关的命题,属于简单题.‎ ‎15.在的内角,,的对边分别为,,,已知,则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵代入得,由余弦定理得 ‎·21·‎ ‎.‎ 考点:1.正弦定理;2.余弦定理的推论.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎16.已知向量,是平面内的一组基向量,为内的定点,对于内任意一点,当时,则称有序实数对为点的广义坐标,若点、的广义坐标分别为、,对于下列命题:‎ ‎① 线段的中点的广义坐标为 ‎② 向量平行于向量的充要条件是 ‎③ 向量垂直于向量的充要条件是 其中,真命题是________.(请写出所有真命题的序号)‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据定义,分别写出中点的广义坐标,根据向量平行的坐标表示和向量垂直的坐标表示进行判断,得到答案.‎ ‎【详解】点、的广义坐标分别为、‎ 可得,‎ 设为中点,则 所以线段的中点的广义坐标为,故命题①正确 向量平行于向量,则 即,‎ 所以,故命题②正确,‎ ‎·21·‎ 向量垂直于向量,则 即 ‎,故命题③不一定正确.‎ 故答案为:①②.‎ ‎【点睛】本题考查向量的新定义运算,向量平行和垂直的表示,向量的数量积的运算,考查理解推理能力,属于中档题.‎ 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若,且,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的最小正周期,及函数的单调递减区间.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)最小正周期. .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据以及的范围,得到,代入到中,得到答案;(Ⅱ)对进行整理化简,得到,根据正弦型函数的图像和性质,求出其周期和单调减区间.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)因为,且,‎ 所以 .‎ 所以 . ‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎·21·‎ ‎ ‎ 所以函数的最小正周期. ‎ 由, ‎ 解得. ‎ 所以函数的单调递减区间.‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数关系,利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简,求正弦型函数的周期和单调区间,属于简单题.‎ ‎18.一款小游戏的规则如下:每盘游戏都需抛掷骰子三次,出现一次或两次“6点”获得15分,出现三次“6点”获得120分,没有出现“6点”则扣除12分(即获得-12分).‎ ‎(Ⅰ)设每盘游戏中出现“6点”的次数为X,求X的分布列;‎ ‎(Ⅱ)玩两盘游戏,求两盘中至少有一盘获得15分的概率;‎ ‎(Ⅲ)玩过这款游戏的许多人发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.‎ ‎【答案】(Ⅰ)分布列见解析 (Ⅱ)(Ⅲ)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)先得到可能的取值为,,,,根据每次抛掷骰子,出现“6点”的概率为,得到每种取值的概率,得到分布列;(Ⅱ)计算出每盘游戏没有获得15分的概率,从而得到两盘中至少有一盘获得15分的概率;(Ⅲ)设每盘游戏得分为,得到的分布列和数学期望,从而得到结论.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)可能的取值为,,,. ‎ ‎·21·‎ 每次抛掷骰子,出现“6点”的概率为.‎ ‎, ,‎ ‎,, ‎ 所以X的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(Ⅱ)设每盘游戏没有得到15分为事件,‎ 则.‎ 设“两盘游戏中至少有一次获得15分”为事件,‎ 则 因此,玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为.‎ ‎(Ⅲ)设每盘游戏得分为.‎ 由(Ⅰ)知,的分布列为:‎ Y ‎-12‎ ‎15‎ ‎120‎ P 的数学期望为. ‎ 这表明,获得分数的期望为负.‎ 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.‎ ‎【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望,求互斥事件的概率,属于中档题.‎ ‎19.已知在四棱锥中,底面是边长为的正方形,是正三角形,CD^平面 ‎·21·‎ PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:PO^平面;‎ ‎(Ⅱ)求平面EFG与平面所成锐二面角的大小;‎ ‎(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,若存在,求线段的长度;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ)(Ⅲ)不存在,见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)正三角形中,由平面得到,所以得到面;(Ⅱ)以点为原点建立空间直角坐标系,根据平面的法向量,和平面的法向量,从而得到平面与平面所成锐二面角的余弦值,再得到所求的角;(Ⅲ)线段上存在满足题意的点,直线与平面法向量的夹角为,设,,利用向量的夹角公式,得到关于的方程,证明方程无解,从而得到不存在满足要求的点.‎ ‎【详解】(Ⅰ)证明:因为△是正三角形,‎ 是的中点,‎ 所以 .‎ 又因为平面,平面,‎ 所以.‎ ‎,平面,‎ 所以面.‎ ‎(Ⅱ)如图,以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标 ‎·21·‎ 系.‎ 则,‎ ‎,,‎ 设平面的法向量为 所以,即 令,则 , ‎ 又平面的法向量,‎ 设平面与平面所成锐二面角为,‎ 所以.‎ 所以平面与平面所成锐二面角为. ‎ ‎(Ⅲ)假设线段上存在点,‎ 使得直线与平面所成角为,‎ 即直线与平面法向量所成的角为,‎ 设,,‎ ‎,‎ 所以 ‎·21·‎ 所以,‎ 整理得,‎ ‎,方程无解,‎ 所以,不存在这样的点.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定,利用空间向量求二面角,利用空间向量证明存在性问题.‎ ‎20.已知函数.( )‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若,的图象与轴交于点,求在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明:当时,恒成立.‎ ‎【答案】(Ⅰ)时,单调增区间为,无单调减区间,‎ 时,单调增区间为,单调减区间为.‎ ‎ (Ⅱ)(Ⅲ)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)对求导,得到,对按照和进行分类讨论,研究的正负,从而得到的单调区间;(Ⅱ)将代入,得到切线斜率,点斜式写出切线方程;(Ⅲ)令,得到,令,得到,从而得到,得到在上单调递增,即,从而使得原命题得证.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ),‎ 当时,恒成立,所以在上单调递增, ‎ 当时,令,解得.‎ 当变化时,,变化情况如下表:‎ ‎·21·‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 所以时,在上单调递减,在上单调递增.‎ 综上所述,时,单调增区间为,无单调减区间,‎ 时,单调增区间为,单调减区间为.‎ ‎(Ⅱ)时,‎ 令,得,则,‎ 因为,所以, ‎ 所以在点处的切线方程为,即.‎ ‎(Ⅲ)证明:令,‎ 则. ‎ 令,则,‎ 当时,,单调递减,‎ 当时,,单调递增; ‎ 所以,‎ 即恒成立. ‎ 所以在上单调递增,‎ 所以, ‎ 所以,‎ ‎·21·‎ 即当时,恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间,根据导数的几何意义求函数图像在一点的切线,利用导数研究不等式恒成立问题,属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆过点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程,并求其离心率;‎ ‎(Ⅱ)过点作轴的垂线,设点为第四象限内一点且在椭圆上(点不在直线上),直线关于的对称直线与椭圆交于另一点.设为坐标原点,判断直线与直线的位置关系,并说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ),离心率.(Ⅱ)直线与直线平行.见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)将点代入到椭圆方程,解得的值,根据,得到的值,从而求出离心率;(Ⅱ)直线,,点,,将直线与椭圆联立,得到和,从而得到的斜率,得到,得到直线与直线平行.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)由椭圆过点,‎ 可得,解得. ‎ 所以, ‎ 所以椭圆的方程为,离心率. ‎ ‎(Ⅱ)直线与直线平行. ‎ 证明如下:由题意,设直线,,‎ 设点,,‎ ‎·21·‎ 由得 ‎, ‎ 所以,所以,‎ 同理,‎ 所以, ‎ 由,,‎ 有,‎ 因为在第四象限,所以,且不在直线上,所以,‎ 又,故,所以直线与直线平行.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆方程,直线与椭圆相交求交点,判断两直线的位置关系,属于中档题.‎ ‎22.已知由个正整数构成的集合,记,对于任意不大于的正整数,均存在集合的一个子集,使得该子集的所有元素之和等于m. ‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求证:“成等差数列”的充要条件是“”;‎ ‎(Ⅲ)若,求的最小值,并指出取最小值时的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ), (Ⅱ)证明见解析 (Ⅲ)的最小值为11,此时的最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎·21·‎ ‎(Ⅰ)和时,根据的定义,以及集合的性质,得到答案;(Ⅱ)必要性:,可得,充分性:由条件可得,从而有,当且仅当时,等号成立,从而得证;(Ⅲ)含有个元素的非空子集个数有,当时,不满足题意,当时,集合,可以表示共个正整数,满足题意,由并且得到,结合,得到的最大值 ‎【详解】解:(Ⅰ)时,由条件知,必有,又均为整数,. ‎ 时,由条件知,由的定义及均为整数,必有,.‎ ‎(Ⅱ)必要性:由“成等差数列”及,‎ 得此时满足题目要求 从而. ‎ 充分性:由条件知且均为正整数,可得 故,当且仅当时,上式等号成立.‎ 于是当时,,从而成等差数列.‎ 所以“成等差数列”的充要条件是“”. ‎ ‎(Ⅲ)由于含有个元素的非空子集个数有,‎ 故当时,,‎ 此时的非空子集的元素之和最多表示个不同的整数,不符合要求.‎ 而用个元素的集合的非空子集的元素之和可以表示共个正整数.‎ 因此当时,的最小值为11. ‎ 记 ‎·21·‎ 则并且.‎ 事实上若,,则,,‎ 所以时无法用集合的非空子集的元素之和表示,与题意不符.‎ 于是,得,,所以.‎ 当时满足题意 所以当时,的最小值为11,此时的最大值.‎ ‎【点睛】本题考查集合与数列的新定义,求数列中的项,等差数列的条件证明,考查求数列的项数的最小值和项的最大值,属于难题.‎ ‎·21·‎
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