山西省平遥中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷(理)

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山西省平遥中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷(理)

山西省平遥中学2018-2019学年高二下学期期中考试(理)‎ 一. 选择题:(本大题共12小题,每小题5分)‎ ‎1.设复数,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若是函数在区间上的导函数,且,,则 的值为( )‎ A. 2 B. 8 C. D. 12‎ ‎3.已知:,观察下列式子:类比有,则的值为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.设函数.若为偶函数,则在处的切线方程为 ‎( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎5.用数学归纳法证明 时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.从0,2,4中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )‎ A.24 B.27 C.30 D.36‎ ‎7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丁看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给甲看丁的成绩.看后丁对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( )‎ A.甲、乙可以知道对方的成绩 B.甲、乙可以知道自己的成绩 C.乙可以知道四人的成绩 D.甲可以知道四人的成绩 ‎8.设函数在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是(  )‎ A. [-∞,2) B. (1,2] C. (0,3] D. (4,+∞]‎ ‎9.已知函数f(x)的导函数为f ′(x),且满足f(x)=2 f ′(e)x+ln x(e为自然对数的底数),则f ′(e)=( )‎ A. B.e C. - D.- e ‎10.函数有( ) ‎ A.极大值5,极小值-27; B.极大值5,极小值-11; ‎ C .极小值-27,无极大值; D.极大值5,无极小值;‎ ‎11.若点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 设,若对于任意,总存在 ‎,使得成立,则的取值范围是( )‎ A.   B.   C.   D. ‎ 一. 填空题 :本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13. ______‎ ‎14.设为虚数单位,则=_________.‎ ‎15.对于三次函数(),定义:设是函数y=f(x)的导数y=的导数,若方程=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0‎ ‎))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件,函数,则它的对称中心为_________.‎ ‎16.已知函数有极大值和极小值,则的取值范围是 ‎ 三. 解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.(本小题满分10分)‎ 设z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1.‎ ‎(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.‎ ‎(2)若ω=,求证:ω为纯虚数.‎ ‎18.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N*).‎ ‎19.设f(x)=,其中a为正实数.‎ ‎(1)当a=时,求f(x)的极值点;‎ ‎(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,‎ ‎(1)当时,在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知函数 ‎(1)若的图象在点处的切线方程为,求在区间上的最大值;‎ ‎(2)当时,若在区间上不单调,求的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分12分).已知 ‎(1)设,讨论的单调性;‎ ‎(2)若对任意的,恒有,求的范围 参考答案 一、选择题:(本大题包括12小题,每小题5分)‎ ‎1-12、CBACB CBBCD AC 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分)‎ ‎13. 14.1 15 16. ‎ 三、解答题:(本大题共6小题,17题10分,其它题都是12分)‎ ‎17.解:(1)设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=z1+=a+bi+=+i.‎ 因为z2是实数,b≠0,于是有a2+b2=1,即|z1|=1,................4分 还可得z2=2a.由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-≤a≤,即z1的实部的取值范围是. ...................7分 ‎(2)ω=== ‎=-i.‎ 因为a∈,b≠0,所以ω为纯虚数. ...........10分 ‎18.证明 (1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立;‎ ‎(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,‎ 即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1),‎ 那么当n=k+1时,‎ 左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)‎ ‎=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)‎ ‎=2k·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1)·2‎ ‎=2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1),‎ 所以当n=k+1时等式也成立.‎ 由(1)(2)可知,对所有n∈N*等式成立 ‎19、解:对f(x)求导得f′(x)=ex.‎ ‎(1)当a=时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,‎ 解得x1=,x2=.‎ 当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下表:‎ x f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴x=是极小值点,x=是极大值点.‎ ‎(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合f′(x)与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,由此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,又a>0,故0<a≤1.‎ ‎20.【解】 (1)由f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,‎ 得m≤在(1,+∞)上恒成立,‎ 令g(x)=,则g′(x)=,故g′(e)=0,‎ 当x∈(1,e)时,g′(x)<0;‎ x∈(e,+∞)时,g′(x)>0.‎ 故g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,‎ 故当x=e时,g(x)的最小值为g(e)=e.‎ 所以m≤e. .......6分 ‎(2)由已知可知k(x)=x-2ln x-a,函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,相当于函数φ(x)=x-2ln x与直线y=a有两个不同的交点,‎ φ′(x)=1-=,故φ′(2)=0,‎ 所以当x∈[1,2)时,φ′(x)<0,所以φ(x)单调递减,‎ 当x∈(2,3]时,φ′(x)>0,所以φ(x)单调递增.‎ 所以φ(1)=1,φ(3)=3-2ln 3,φ(2)=2-2ln 2,‎ 且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0,‎ 所以2-2ln 2
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