极坐标与参数方程高考题的几种常见题型

极坐标与参数方程高考题的几种常见题型

极坐标与参数方程高考题的几种常见题型 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．‎ ‎(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．‎ 解： (I)，，由得．所以．‎ 即为⊙O1的直角坐标方程．同理为⊙O2的直角坐标方程 ‎(II)解:由,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．‎ 二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型 例2(2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 23)以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.‎ ‎（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎[解析]（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），‎ 这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为. （5分）‎ ‎（Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，‎ 表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线 的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为. ‎ 三、求曲线的交点坐标 例3（2010东北三校第一次联合考试）在极坐标系下，已知圆和直线。(1)求圆和直线的直角坐标方程；当时，求直线于圆公共点的极坐标。‎ 解：（1）圆，即 圆的直角坐标方程为：，即 直线，即则直线的直角坐标方程为：，即。‎ （2） 由得 故直线与圆公共点的一个极坐标为。‎ 四、 根据条件求直线和圆的极坐标方程 例4(2009辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。‎ ‎（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； ‎ ‎（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。‎ 解：（Ⅰ）由 C直角方程为（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为 P点的直角坐标为直线OP极坐标方程为 五、 参数方程的问题 例5(2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，23)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.‎ ‎[解析]（1）由曲线：  得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为：      由曲线：得：所以 即曲线的直角坐标方程为: ‎ ‎(2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为       ‎ 所以当时，的最小值为，此时点的坐标为 ‎1. (2014山西太原高三模拟考试（一），23)  在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，且曲线C1上的点M（2，）对应的参数 . 且以O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点.   （I）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；[ （Ⅱ）若 是曲线C1上的两点，求的值.‎ ‎2.(2014福州高中毕业班质量检测, 21(2))在平面直角坐标系中, 以为极点, ‎ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为, 直线l的参数方程为: (为参数) ，两曲线相交于, 两点.‎ ‎（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅱ）若, 求的值．‎ ‎[解析] (Ⅰ) (曲线的直角坐标方程为, 直线的普通方程. （4分）‎ ‎(Ⅱ) 直线的参数方程为(为参数),代入, 得到, , 对应的参数分别为, ，则 ‎ ‎3. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），23)已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.‎ ‎[解析] （Ⅰ）由，可得 所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，‎ 曲线的极坐标方程化为参数方程为（5分）‎ ‎（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，‎ 由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；, .‎ ‎4. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，23)   已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为  （Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.‎ ‎[解析]（Ⅰ）直线的普通方程为，C直角坐标方程为.（Ⅱ）设点，则，‎ 所以的取值范围是. (10分）‎ ‎5.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，23）选修4—4: 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．‎ ‎6.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 23)   已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是(t是参数) ．‎ ‎ (I) 将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；‎ ‎(Ⅱ) 若直线与曲线C相交于A，B两点，且，试求实数m的值．‎ ‎7.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，23)已知直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．‎ ‎[解析]（1）圆的极坐标方程为所以又所以所以圆的普通方程（2）设由:‎ 所以圆的圆心是，半径是 将代入得 又直线过，圆的半径是，所以即的取值范围是 ‎8.(2014周宁、政和一中第四次联考，21)在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标方程是， 求曲线与交点的极坐标.‎ ‎[解析]（Ⅰ）依题意，的普通方程为，（Ⅱ）由题意，的普通方程为，代入圆的普通方程后得，解得，，点、的直角坐标为，，从而，.    （7分）‎ ‎9.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 的极坐标方程为. 由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.‎ ‎[解析]因为圆的极坐标方程为，所以，‎ 所以圆的直角坐标方程为，圆心为, 半径为1, （4分）‎ 因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是，‎ 所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是. （10分）‎ ‎10. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 23)已知曲线 (t为参数) ， (为参数)（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;‎ ‎（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.‎ ‎[解析] 解（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆.‎ 曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆. （4分）‎ ‎      （Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）‎ 将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，‎ 则所以.          （10分）‎ ‎11. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 23)‎ ‎ 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；‎ ‎(Ⅱ) 设直线与直线的两个交点为、，求的值.‎ ‎[解析]（Ⅰ）直线即， :，点在上. (Ⅱ) 直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为，‎ 将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有，设两根为，. （10分）‎ ‎12. (2014兰州高三第一次诊断考试, 23)在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.‎ ‎    （Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎    （Ⅱ）求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.‎ ‎[解析]（Ⅰ）由得，则直线的普通方程为. 由得曲线的普通方程为.    （5分）‎ ‎（Ⅱ）在  上任取一点，则点到直线的距离为 ‎  ， 当，即时， ，此时点.   （10分)‎ ‎14. （河南省商丘市2014届高三第三次模拟考试数学（理）试题）在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=． （ I）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）直角坐标，所以圆的直角坐标方程为，……2分 由得，圆C的直角坐标方程为．……5分 ‎（Ⅱ）将，代入的直角坐标方程，‎ 得 ，则 ，设Ａ，Ｂ对应参数分别为，，则 ‎，， ‎ 因为，所以所以，所以的取值范围为 ‎ ‎15.（南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学试题）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆＋＝1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，2)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．‎ 解：设M(2cosθ，2sinθ)，θ(0，)．由题知OA＝2，OB＝2， ……………2分 ‎∴四边形OAMB面积S＝×OA×2sinθ＋×OB×2cosθ＝2sinθ＋2cosθ＝2sin(θ＋) 所以当θ＝时，四边形OAMB的面积的最大值为2． ……………………10分 ‎16.（甘肃省张掖市2014届高三第三次诊断考试数学（理）试题）‎ 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.‎ ‎【解析】: （Ⅰ） ,曲线C: ……………4分 ‎ ‎（Ⅱ）因为圆极坐标方程，所以，‎ 所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,‎ 因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是 所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是． …………………10分 ‎17.（黑龙江省大庆市2014年高三第次模拟考试数学（理）试卷）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)，为直线与曲线的公共点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求点的极坐标；‎ ‎（II）将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线，过点作直线，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程.‎ 解：（I）的普通方程为。将代入上式整理得，解得 故点的坐标为，其极坐标为. ………………………5分 ‎（II）坐标变换式为故的方程为，即…7分 当直线的斜率存在时,设其方程为，即，‎ 由圆心到直线距离得，，∴直线为，‎ 当直线的斜率不存在时，其方程为，显然成立.‎ 故直线的极坐标方程为或. …………………10分 ‎18.（2014年长春市高中毕业班第二次调研测试）已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．‎ ‎【解析】：（1）圆的极坐标方程为∴ ‎ 又，所以 所以圆的普通方程 ‎（2）『解法1』：设由圆的方程 所以圆的圆心是，半径是将代入得 又直线过，圆的半径是，所以，所以 即的取值范围是 ‎19. （昆明第一中学2014届高三第五次月考）以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为 (t为参数)，圆C的极坐标方程为。（I）求直线l和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求的取值范围．‎ ‎21. （2011年高考（新课标理））直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),是上的动点,点满足=,点的轨迹为. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设(,),则由条件知(,),由于在上, ‎ ‎∴,即,∴的参数方程为(为参数); ‎ ‎(Ⅱ)曲线的极坐标方程为=,曲线的极坐标方程为=, ‎ ‎∴射线与的交点的极径为=,射线与的交点的极径为=, ∴==. ‎ ‎22.（河南省郑州市第四中学2013届高三第十四次调考数学（理）试题）在直角坐标系中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线的参数方程为,(为参数,).‎ ‎(Ⅰ)求C1的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)当C1与C2有两个公共点时,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)曲线的极坐标方程为, ‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为. ‎ ‎(Ⅱ)曲线的直角坐标方程为,为半圆弧, ‎ 如下图所示,曲线为一族平行于直线的直线, ‎ 当直线过点时,利用得, ‎ 舍去,则,当直线过点、两点时,, ‎ ‎∴由图可知,当时,曲线与曲线有两个公共点. ‎ ‎23. （2010年高考（全国新课标理））直线: (t为参数),圆: (为参数), (Ⅰ)当=时,求与的交点坐标; (Ⅱ)过坐标原点O作的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线;‎ ‎【答案】解: (I)当时,C1的普通方程为的普通方程为联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0), ‎ ‎(II)C1的普通方程为. A点坐标为 ‎ 故当变化时,P点轨迹的参数方程为为参数). ‎ P点轨迹的普通方程为故P点轨迹是圆心为半径为的圆. ‎