高考数学一轮复习讲义—17

高考数学一轮复习讲义—17

‎ ‎ 第17讲 算法案例 一．【课标要求】‎ 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。‎ 二．【命题走向】‎ 算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。‎ 预测2010年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目 三．【要点精讲】‎ ‎1．求最大公约数 ‎（1）短除法 求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来 ‎（2）穷举法（也叫枚举法）‎ 穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 ‎ ‎（3）辗转相除法 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：‎ ‎① 输入两个正整数m和n；‎ ‎② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；‎ ‎③更新被除数和余数：m=n，n=r；‎ ‎④判断余数r是否为0。若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行 如此循环，直到得到结果为止。‎ ‎（4）更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之 步骤：‎ Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。‎ Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。‎ ‎2．秦九韶算法 秦九韶算法的一般规则：‎ 秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求 v0=an v1=anx+an－1‎ v2=v1x+an－2‎ v3=v2x+an－3‎ ‎……..‎ vn=vn－1x+a0‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ 观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk－1的值，若令v0=an。‎ 我们可以得到下面的递推公式：‎ v0=an vk=vk－1+an－k(k=1,2,…n)‎ 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现 ‎3.排序 排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序 ‎（1）直接插入排序 在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。‎ 例如：一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。‎ 完成这个工作要考虑两个问题：‎ ‎（1）确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。‎ ‎（2）将这个位置空出来，将数据“8”插进去。‎ 对于一列无序的数据列，例如：{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进行排序呢？基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了 首先，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列：‎ ‎{38，49}，‎ 然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：‎ ‎{38，49，65}‎ ‎…………‎ 按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到 ‎{13，27，38，49，49，65，76，97}‎ 这样，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台 ‎（2）冒泡法排序 所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的基本思路。‎ 我们先对一组数据进行分析。‎ 设待排序的数据为：{49，38，65，97，76，13，27，49}‎ 排序的具体操作步骤如下：‎ ‎1．将第1个数与右边相邻的数38进行比较，因为38<49，49应下沉，即向右移动，所以交换他们的位置，得到新的数据列：‎ ‎{38，49，65，97，76，13，27，49}‎ ‎2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较，因为65>49，所以顺序不变，得到新的数据列：‎ ‎{38，49，65，97，76，13，27，49}‎ ‎3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较，因为97>65，所以顺序不变，得到新的数据列：‎ ‎{38，49，65，97，76，13，27，49}‎ ‎4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较，因为76<97，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎{38，49，65， 76，97，13，27，49}‎ ‎5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较，因为13<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：‎ ‎{38，49，65， 76， 13，97，27，49}‎ ‎6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较，因为27<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：‎ ‎{38，49，65， 76， 13，97，27，49}‎ ‎7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较，因为49<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：‎ ‎{38，49，65， 76， 13，97， 49，27}‎ 我们把上述过程称为一趟排序。其基本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过7趟。这种排序的方法称为冒泡排序。‎ 上面的分析具有一般性，如果数据列有n个数据组成，至多经过n－1趟排序，就能完成整个排序过程 ‎4．进位制 ‎（1）概念 进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数。‎ 对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。‎ 一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：‎ ‎，‎ 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数。‎ ‎（2）进位制间的转换 关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。‎ 非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：‎ 第一步：从左到右依次取出k进制数各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即；‎ 第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。‎ 十进制数转换成非十进制数 把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”。‎ 非十进制之间的转换 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ 一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数。‎ 四．【典例解析】‎ 题型1：求最大公约数 例1．（1）用辗转相除法求123和48的最大公约数？‎ ‎（2）用更相减损来求80和36的最大公约数？‎ 解析：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：（建立带余除式）‎ ‎　　123＝2×48＋27 ‎ ‎　　48＝1×27＋21 ‎ ‎　　27＝1×21＋6 ‎ ‎　　21＝3×6＋3 ‎ ‎　　6＝2×3+0‎ 最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3。‎ ‎（2）分析：我们将80作为大数，36作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行结束的准则是减数和差相等 更相减损术：‎ 因为80和36都是偶数，要去公因数2。‎ ‎80÷2=40，36÷2=18；‎ ‎40和18都是偶数，要去公因数2。‎ ‎40÷2=20，18÷2=9‎ 下面来求20与9的最大公约数，‎ ‎20－9=11‎ ‎11－9=2‎ ‎9－2=7‎ ‎7－2=5‎ ‎5－2=3‎ ‎3－2=1‎ ‎2－1=1‎ 可得80和36的最大公约数为22×1=4。‎ 点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等。‎ 例2．设计一个算法，求出840与1764的最大公因数。‎ 解析：我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的。‎ 解题思路如下：‎ 首先对两个数进行素因数分解：‎ ‎840=23×3×5×7，1764=22×32×72，‎ 其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。‎ 接着确定公共素因数的指数：对于公共素因数2，840中为23，1764中为22，应取较少的一个22，同理可得下面的因数为3和7。‎ 算法步骤：‎ 第一步：将840进行素数分解23×3×5×7；‎ 第二步：将1764进行素数分解22×32×72；‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ 第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7；‎ 第四步：确定公共素因数2，3，7的指数分别是：2，1，1；‎ 第五步：最大公因数为22×31×71=84。‎ 点评：质数是除１以外只能被１和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数 题型2：秦九韶算法 例3．（2009福州模拟）如果执行右面的程序框图，那么输出的 （　　 ）‎ 否 是 ‎ ‎ A．22 B．46 C． D．190 ‎ 答案 C ‎2、（2009浙江卷理）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的 ‎ 值是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析】对于，而对于，则 ‎ ‎，后面是，不 ‎ 符合条件时输出的．‎ 答案 A ‎ ‎3、（2009天津卷理）阅读上（右）图的程序框图，则输出的S= ( ) ‎ A 26 B 35 C 40 D 57‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎【解析】当时，；当时，；当 ‎ 时，；当时，；当时，‎ ‎；当时，，故选择C。‎ 答案　　Ｃ ‎4（2009安徽卷文）程序框图上（右）（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_______。 ‎ ‎【解析】根据流程图可得的取值依次为1、3、7、15、31、63……‎ 答案 127‎ 点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。‎ 例4．已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值。‎ 解析：把多项式变形为：f(x)= 2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7‎ ‎=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7‎ 计算的过程可以列表表示为：‎ 多项式x系数 ‎2‎ ‎－5‎ ‎－4‎ ‎3‎ ‎－6‎ ‎7‎ 运算 运算所得的值 ‎10‎ ‎25‎ ‎105‎ ‎540‎ ‎2670‎ ‎+‎ 变形后x的"系数"‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎21‎ ‎108‎ ‎534‎ ‎2677‎ ‎*5‎ 最后的系数2677即为所求的值 算法过程：‎ v0=2‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ v1=2×5－5=5‎ v2=5×5－4=21‎ v3=21×5+3=108‎ v4=108×5－6=534‎ v5=534×5+7=2677‎ 点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算。‎ 题型三：排序 例4．试用两种排序方法将以下8个数：7,1,3,12,8,4,9,10。按照从大到小的顺序进行排序。‎ 解析：可以按照直接插入排序和冒泡排序这两种方法的要求，结合图形，分析写出。‎ 直接插入法排序：‎ ‎[7] 1 3 12 8 4 9 10‎ ‎[7 1] 3 12 8 4 9 10‎ ‎[7 3 1] 12 8 4 9 10‎ ‎[12 7 3 1] 8 4 9 10‎ ‎[12 8 7 3 1] 4 9 10‎ ‎[12 8 7 4 3 1] 9 10‎ ‎[12 9 8 7 4 3 1] 10‎ ‎[12 10 9 8 7 4 3 1] ‎ 冒泡排序 ‎7‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎10‎ 第一趟 ‎7‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎3‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 第2趟 第3趟 第4趟 第5趟 第6趟 点评：直接插入法和冒泡法排序是常见的排序方法，通过该例，我们对比可以发现，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，执行的操作步骤更少一些 例6．给出以下四个数：6，－3，0，15，用直接插入法排序将它们按从小到大的顺序排列，用冒泡法将它们按从大到小的顺序排列 分析：不论从大到小的顺序还是按从大到小的顺序，都可按两种方法的步骤进行排序。‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ 解析：‎ 直接插入排序法：‎ ‎[6] －3 0 15‎ ‎[－3 6] 0 15‎ ‎[－3 0 6] 15‎ ‎[－3 0 6 15]‎ 用冒泡排序法排序：‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎－3‎ ‎－3‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎－3‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎－3‎ ‎－3‎ ‎－3‎ ‎－3‎ ‎－3‎ ‎－3‎ ‎－3‎ 题型4：进位值 例7．把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.‎ 解析：具体的计算方法如下：‎ ‎89=3×29+2‎ ‎29=3×9+2‎ ‎9=3×3+0‎ ‎3=3×1+0‎ ‎1=3×0+1‎ 所以:89（10）=1011001(3)。‎ 点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所的得的商，然后按倒序的先后顺序取出余数组成数据即可。‎ 例8．将8进制数314706（8）化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序。‎ 开始 输入：m,n r=m MOD n m=n n=r r=0?‎ 输出： ‎ 开始 Y N 解析：314706（8）=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104902。‎ 所以，化为十进制数是104902。‎ 点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314706（8）化为十进制数，然后根据该算法，利用GET函数，应用循环结构可以设计程序。‎ 五．【思维总结】‎ ‎1．求最大公约数 ‎（1）辗转相除法 程序框图与程序语句 程序：‎ INPUT “m，n=”;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0‎ PRINT ‎ END 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎（2）更相减损术 更相减损术程序：‎ INPUT “请输入两个不相等的正整数”；a，b i=0‎ WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0‎ a=a/2‎ b=b/2‎ i=i+1‎ WEND DO IF b

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