高中数学讲义微专题43 线性规划

高中数学讲义微专题43 线性规划

- 1 - 微专题 43 线性规划——作图与求解 一、基础知识 1、相关术语： （1）线性约束条件：关于变量 的一次不等式（或方程）组 （2）可行解：满足线性约束条件的解 （3）可行域：所有可行解组成的集合 （4）目标函数：关于 的函数解析式 （5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、如何在直角坐标系中作出可行域： （1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点 （比如坐标轴上的点），以便快速做出直线 （2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区 域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点 判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下 三种情况： ① 竖直线 或水平线 ：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 ② 一般直线 ：可代入 点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域 即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式 ，代入 符合 不等式，则 所表示区域为直线 的右下方 ③ 过原点的直线 ：无法代入 ，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者 利用象限进行判断。例如： ：直线 穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。 考虑第四象限的点 ，所以必有 ，所以第四象限所在区域含在 表示的区 域之中。 （3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件 （或 ） 边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件 （或 ） ,x y  ,x y ,x y x a y b  0y kx b kb    0,0 2 3 0x y    0,0 2 3 0x y   2 3 0x y    0y kx k   0,0 y x y x 0, 0x y  y x y x  , 0F x y   , 0F x y   , 0F x y   , 0F x y  - 2 - 边界能取值时，在图像中边界用实线表示 3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤 （1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域 （2）确定目标函数 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设 为常数） ① 线性表达式——与纵截距相关：例如 ，则有 ，从而 的取值与 动直线的纵截距相关，要注意 的符号，若 ，则 的最大值与纵截距最大值相关；若 ， 则 的最大值与纵截距最小值相关。 ② 分式——与斜率相关（分式）：例如 ：可理解为 是可行域中的点 与定点 连线的斜率。 ③ 含平方和——与距离相关：例如 ：可理解为 是可行域中的点 与定点 距离的平方。 （3）根据 的意义寻找最优解，以及 的范围（或最值） 4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同 时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。 例如：若变量 满足约束条件 ，则 的最大值等于_____ 作出可行域如图所示，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， 目标函数的斜率 ，所以 ，所以在平移直线时，目标函数直线的倾斜程 度要介于两直线之间，从而可得到在 取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的 联系，平移的直线比 还要平，则会发现最优解在 处取得，以及若平移的直线比 还要陡， 则会发现最优解在 处取得，都会造成错误。所以在处 理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并 确定直线间“陡峭”程度的不同。 z ,a b z ax by  a zy xb b   z b 0b  z 0b  z y bz x a   z  ,x y  ,a b    2 2z x a y b    z  ,x y  ,a b z z ,x y 0 0 3 2 12 2 8 x y x y x y         3 4z x y  3 2 12x y  1 3 2k   2 8x y  2 1 2k   3 4k   2 1k k k   2,3A 2 8x y   0,4B 3 2 12x y   4,0C - 3 - （1）在斜率符号相同的情况下： 越大，则直线越“陡” （2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程 度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确 （3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无 数多个（位于可行域的边界上） （4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符 号的斜率作为分界点。 二、典型例题： 例 1：若变量 满足约束条件 ，则 的最小值等于（ ） A. B. C. D. 思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为一个封 闭的三角形区域，目标函数化为： ，则 的 最小值即为动直线纵截距的最大值。目标函数的斜率大 于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。通过平 移 可 发 现 在 点 处 ， 纵 截 距 最 大 。 且 解 得 ， 所 以 的最小值 答案：A 例 2：设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，目标函 数 ， 通 过 平 移 可 得 最 优 解 为 k ,x y 2 0 0 2 2 0 x y x y x y          2z x y  5 2 2 3 2 2 2y x z  z A 2 0: 2 2 0 x yA x y       11, 2A    2z x y   min 1 52 1 2 2z       ,x y 2 0 2 0 1 x y x y y          2z x y  2 3 4 5 1 2 2 zy x   - 4 - ，所以 答案：B 例 3：若变量 满足 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 思路：目标函数 可视为点到原点距离的平方，所 以 只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，观 察 可得最远的点为 ，所以 答案：D 例 4：设变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：所求 可视为点 与定点 连线 的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可 得在 处的斜率最小，即 ，在 处的斜率最大，为 ，结合图像可得 的范围为 答案：D 例 5：若实数 满足条件 ，则 的最大值为 （ ） A. B. C. D.  2 0: 1,11 x yA Ay      min 3z  ,x y 1 2 0 x x y x y        2 2z x y  10 7 9 10 2 2z x y   1, 3A  2 max 10z OA  ,x y 2 2 0 2 2 0 1 0 x y x y x y            1 1 ys x   31, 2      1 ,12       1,2 1 ,22      1 1 ys x    ,x y  1, 1   1,0    min 0 1 1 1 1 2k      0,1    max 1 1 20 1k     1 1 ys x   1 ,22      ,x y 0 1 0 0 1 x y x y x          3x y 6 5 4 3 - 5 - 思路：设 ，则可先计算出 的范围，即可求出 的最大值： ，则最 优解为 ，所以 ，则 答案：B 例 6 ： 设 为 坐 标 原 点 ， 点 的 坐 标 为 ， 若 点 满 足 不 等 式 组 ，则使 取得最大值的点 的个数有（ ） A. 1 B. C. D. 无数个 思路：设 ，作出可行域，通过平移可发 现达到最大值时，目标函数与直线 重合，所以 有无数多个点均能使 取得最大值 答案：D 例 7：（2015，福建）变量 满足约束条件 ， 若 的最大值为 ，则实数 等于（ ） A. B. C. D. 思路：本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等式， 作出图像，直线 为绕原点旋转的直线，从图像 可 观 察 出 可 行 域 为 一 个 封 闭 三 角 形 ， 目 标 函 数 ， 若 最 大 则 动 直 线 的 纵 截 距 最 小 ，可 观 察 到 为 最 优 解 。 ，则有 ，解得： 答案：C 小炼有话说：当线性约束条件含参数时，一方面可先处理常系数不等式，作出可行域的大致 范围，寻找参数变化时，可行域的共同特征；另一方面对含参数的直线确定是否过定点，在 变化中寻找区域的规律。找到共同的最优解所满足的方程，便可根据最值求出参数 3z x y  z z 1 1 3 3y x z     1, 1 , 1,2A B  5,4z   max 5z  O M  2,1  ,N x y 4 3 0 2 12 0 1 x y x y x          OM ON  N 2 3 2z OM ON x y     2 12 0x y   OM ON  ,x y 0 2 2 0 0 x y x y mx y          2z x y  2 m 2 1 1 2 y mx 2y x z  z A 2 2 0 2 2: ,2 1 2 1 x y mA Ay mx m m           2 22 22 1 2 1 mz m m     1m  - 6 - 例 8：在约束条件 下，若目标函数 的最大值不超过 4，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：先做出常系数直线，动直线 时注意到 ，斜率为常数 1，且发现围成的区域恒为一个三角形。 目 标 函 数 ， 通 过 图 像可 得 最 优 解 为 ， 所 以 ，则 解得： 答案：D 例 9：若变量 满足约束条件 ，若 的最大值为 4，则 （ ） A. B. C. D. 思路：如图作出可行域，目标函数为 ，由于 决定直线的方向，且约束条件中的 直线斜率有正有负。所以先考虑 的符号： 当 时，此时与 的斜率进行比较： 若 ，则 的最大值为 0，不符题意； 若 ，则最优解为 ，代入解得 与初始范围矛盾，故舍去；当 时，直线与 斜率进行比较： 若 ，则最优解为 ，代入解得 ，符合题意 若 ，可得 的最大值为 2，不符题意，舍去 若 ，则最优解为 ，代入解得 与初始范围矛盾，舍去 2 1 0 1 0 x x y m x y          2z x y   m  3, 3 0, 3   3,0   3, 3   2 0x y m   2 0m  2y x z  2 2 2 1 0 1 1: ,2 20 x y m mA A x y m             2 2 2 max 1 1 3 12 2 2 2 2 m mz m       23 1 42 2m   3, 3m     ,x y 0 2 0 x y x y y        z ax y  a  3 2 2 3 y ax z   a a 0 0a a    y x 1 1a a     z 0 1 1 0a a        1,1A 3a  0 0a a    2x y  1 1a a      2,0B 2a  1a  z 0 1 0 1a a        1,1A 3a  - 7 - 综上所述： 答案：B 小炼有话说：（1）目标函数的直线陡峭程度不同，会导致最优解不同，所以当斜率含参时， 可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线，则这些直线的斜率通常是分类讨论的 分界点。 （2）本题也可分别假设可行域 3 个顶点为最优解，求出 的值，再带入验证。 例 10：设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值 为 ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 先 做 出 可 行 域 ， 目 标 函 数 ， 由 可 得 直 线 的 斜 率 为 负 ， 所 以 由 图 像 可 得 最 大 值 在 处 取 得 ， 即 ， 所 以 答案：C 小炼有话说：本题判断出斜率为负是解题的关键，从而能迅速通过平移直线得到最优解，而 后与均值不等式结合求出最值 三、历年好题精选 1、（2016，衡阳联考）如果实数 满足条件 ，则 的最小值为 ， 则正数 的值为__________ 2、(2014，温州中学三月考)已知实数 满足 ，则 的最小值是_________ 3、若点 在不等式组 所表示的平面区域内，则 的取值范围是 2a  a ,x y 3 2 0 0 0, 0 x y x y x y           0, 0z ax by a b    2 1 1 a b 25 6 8 3 2 4 a zz ax by y xb b      0, 0a b   1,1 max 2z a b    1 1 1 1 1 1 2 22 2 b aa ba b a b a b                  ,x y 2 0 1 0 2 0 x y x y          yz x a  1 2 a ,x y 1 3 5 4 y x x x y        2x y  1,1 0 2 4 0 3 3 m nx y mx ny nx y m           2 2m n - 8 - _________ 4、（2016，南昌二中四月考）已知实数 满足 ，则 的取值范 围是________ 5、设实数 满足 ,则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6、设实数 满足 ，则 为（ ） A. 有最小值 2，最大值 3 B. 有最小值 2，无最大值 C. 有最大值 3，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值 7、设 满足约束条件： ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 8、（2016，湖南师大附中月考）若实数 满足 ，设 ， 则 的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 9、（2015，北京）若 满足 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. ,x y 2 0 5 0 1 1 4 4 x y x y y x              2 2 2 22 x y y x y    yx, 2 0 2 5 0 2 0 x y x y y           y x x yu      2,3 1     2,3 8     2 3,3 8     2 3,0 ,x y 2 4 1 2 2 x y x y x y          z x y  ,x y 0 4 3 12 x y x x y       2 3 1 x y x    2 3 4 5 ,x y 2 0 1 0 1 x y y x x          2 , 2u x y v x y    u v 5 4 7 5 ,x y 0 1 0 x y x y x        2z x y  0 1 3 2 2 - 9 - 10、（2015，广东）若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ） A． B. C. D. 11、（2015，新课标 I）若 满足约束条件 ，则 的最大值为________ 答案：3 12、（2015，新课标 II）若 满足约束条件 ，则 的最大值为____ 13、（2015，山东）已知 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则 （ ） A. B. C. D. 14、（2014，北京）若 满足约束条件 ，且 的最小值为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. ,x y 4 5 8 1 3 0 2 x y x y         3 2z x y  31 5 6 23 5 4 ,x y 1 0 0 4 0 x x y x y          y x ,x y 1 0 2 0 2 2 0 x y x y x y           z x y  ,x y 0 2 0 x y x y y        z ax y  4 a  3 2 2 3 ,x y 2 0 2 0 0 x y kx y y          z y x  4 k 2 2 1 2 1 2 - 10 - 习题答案： 1、答案：1 解析：根据约束条件画出可行域，可知 时， 即 2、答案： 解析：设 ，则有 ，则可知抛物线与不等式可行域有公共点，作出可行域，如图 可知当 与抛物线相切时，此时 取得最小值，联立方程 ， 所以判别式 3、答案： 解析：将 代入 可得： ，作出可行域， 可视为 点 到原点距离的平方。结合图像可知： 到原点距离最大，即 原 点到直线 的距离为 ，所以 4、答案： 解析： ，其中 可视为 与 连线的斜率，作出可行域，数形结合可得：直线 与 在 第 一 象 限 相 切 时 ， 取 得 最 大 值 ， 解 得 ： ， ，而 时， ， 1 1 x y    min 1 2z  1 1 11 2 aa    4 2xz y 2x zy 1y x  z 2 2 0 1 x zy x zx z y x         2 4 0 4z z z      9 ,6110       1,1 0 2 4 0 3 3 m nx y mx ny nx y m           1 0 2 4 0 3 3 0 m n m n m n            2 2m n  ,m n  5,6  2 2 max 61m n  3 3 0m n   3 10 10  2 2 min 9 10m n  13 5,9 3       2 2 22 2 2 2 221 12 2 1 2 y x y y xy xz x y x y y x             yk x  ,x y  0,0 y kx 21 1 4 4y x  k  1,2k  2 2 21 1 11 2 2 kz k k k       1,2k  1 92 3, 2k k       - 11 - 所以 5、答案：C 解析：令 ，作出可行域，可知 可视为 连线的斜率， 且 为 关于 的增函数，所以 6、答案：B 解析：作出可行域（为开放区域），再平移直线 即可得到 在 处达到最小值， 即 ，但没有最大值 7、答案：B 解析： ，则 可视为可行域中的点 与 连 线的斜率，作出可行域可得： ，所以 的最小值为 3 8、答案：C 解析：方法一： ，其中 为可行域中的点 与原点 连线斜率 的倒数，作出可行域可知： ，所以 ，从而可计算 出 方 法 二 ： 由 可 得 ： ， 代 入 到 不 等 式 组 可 得 ： 13 5,9 3z      yt x t    , , 0,0x y 1,23t      1u t t  1,23t      t 8 3,3 2u      y x z   z  2,0 min 2z  2 3 11 21 1 x y yu x x        1 1 yk x    ,x y  1, 1   1,5k  u 1 3 2 1 3 12 2 2 2 2 2 2 1 x y yu x y xv x y x y y          x y  ,x y  0,0 k  1,3k  1,13 x y      71, 5 u v      2 2 u x y v x y      2 3 2 3 v ux u vy     - 12 - ，作出可行域，所求 为 与 连线的 斜率，数形结合即可得到最大值为 9、答案：D 解析： ，作出可行域，可得最 优解为 时， 取得最大值 10、答案：C 解析：由 可得： ，数形结合可知 经过 时， 取得最小值 11、答案：3 解析：作出可行域（如图所示），所求分式 ，即可行域 中点与原点连线的斜率最大值，由图可知点 与原点连线斜 率最大，所以 的最大值为 12、答案： 解析：目标函数变为 ，即求动直线纵截距的最 大值，作出可行域，数形结合可得直线过 ，则 2 2 2 03 3 6 2 2 1 0 13 3 2 32 13 v u u v u v u v v u u v v uv u                      uk v  ,v u  0,0 7 5 1 12 2 2z x y y x z       0,1 z 2 3 2z x y  3 2 2 zy x   3 2 2 zy x   41, 5A     z min 4 233 1 2 5 5z      0 0 y y x x    1,3A y x 3 3 2 y x z   11, 2D     x y –1–2–3–4 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 D C B O - 13 - 13、答案：B 解析：由 得 ，借助图形可知：当 ，即 时在 时 有 最 大 值 0 ， 不 符 合 题 意 ； 当 ， 即 时 在 时 有 最 大 值 ，不满足 ；当 ，即 时在 时有最大值 ， 不 满 足 ； 当 ， 即 时 在 时 有 最 大 值 ，满足 ，所以 14、答案：D 解析：目标函数变形为 ，由直线 可得该直线过定点 ，分 讨论，若 ，则由图可知 纵 截距的最小值在直线过 处取得，即 ，不 符题意；当 时，可知直线 纵截距的最小 值过 与 轴的交点 ，所以 ，解得 max 3 2z  z ax y  y ax z   1a  1a   0x y  0 1a   1 0a   1x y  1 4, 3a a   1 0a   1 0a    0 1a  1x y  1 4, 3a a   0 1a  1a   1a  2, 0x y  2 4, 2a a  1a  2a  y x z  2 0kx y    0,2 0, 0k k  0k  y x z   2,0 min 2z   0k  y x z  2 0kx y   x 2 ,0k     min 20 4z k        1 2k  