2017-2018学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学（文）试题 解析版

2017-2018学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意，求得，利用集合的交集运算，即可得到结果．‎ 详解：由题意，‎ 所以，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了集合的运算，正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎2．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意，再由代入即可求解．‎ 详解：由题意，‎ 则，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中熟记三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎3．“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意，则或，根据充要条件的判定方法，即可得到判定．‎ 详解：由题意，则或，‎ 所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了必要不充分条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎4．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出阴影部分的面积，根据几何概型，即可求解满足条件的概率．‎ 详解：如图所示，设，‎ 所以，‎ 所以点取自阴影部分的概率为，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解，其中解答中正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了数形结合思想和考生的推理与运算能力．‎ ‎5．已知命题且，命题 ‎．下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题：，且，例如当a大于0，b 小于0时，表达式就成立；命题：， ，故表达式成立。故两个命题均为正。故A，错误；B正确的；CD均错误。‎ 故答案为：B。‎ ‎6．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：‎ 若线性相关，线性回归方程为，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ）‎ A. 万盒 B. 万盒 C. 万盒 D. 万盒 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意，根据表格中的数据求得样本中心为，代入回归直线，解得，得到回归直线的方程，即可作出预测．‎ 详解：由题意，根据表格中的数据可知：，‎ 即样本中心为，代入回归直线，解得，即 令，解得万盒，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了回归直线分析问题，其中牢记回归直线的特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎7．将函数的图象向右移个单位后，所得图象关于轴对称，则的最小值为 A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】将函数的图象向右移个单位后，得 关于轴对称，‎ 所以，选B 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.‎ ‎8．如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：借助正方体，由三视图换元后的几何体为四棱锥，且四棱锥的侧面底面，点到直线的距离为棱锥的高，再利用锥体的体积公式，即可求解．‎ 详解：如图所示，在棱长为2的正方体中，点为正方体的顶点，‎ 点为所在棱的中点，‎ 由三视图换元后的几何体为四棱锥，且四棱锥的侧面底面，‎ 点到直线的距离为棱锥的高，解得高为，‎ 所以四棱锥的体积为，故选B．‎ 点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．‎ ‎9．函数的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可作出选择．‎ 详解：由题意可知，函数的定义域为，‎ 且满足，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C；‎ 又时，，时，，排除B，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了函数的基本性质和函数图象的识别问题，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．‎ ‎10．设函数，，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意，分别以和 讨论，分类参数求最值，即可求解实数的取值范围．‎ 详解：由题意，当时，，则，‎ 所以，所以，‎ 当时，，则，所以，所以，‎ 综上可得实数的取值范围是，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了分段函数的应用，同时涉及到函数的单调性和不等式的恒成立问题的求解和运用，着重考查了不等式恒成立的分离参数思想和最值的转化思想的应用，试题属于中档试题．‎ ‎11．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据两个函数的图象关于对称可知这两个函数互为反函数，只要利用求反函数的方法求出原函数的反函数，然后再求出的解析式即可．‎ 详解：因为两个函数和的图象关于对称，‎ 所以函数与函数互为反函数，‎ 又因为函数的反函数为，即，‎ 函数的图象向左平移两个单位可得，即函数的解析式为，‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查了函数的反函数的概念以及对数式的运算等知识的运用，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想，属于基础题．‎ ‎12．已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，故不是函数的零点，‎ 当时，等价于 令，则 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎(1)当时，在有两个零点，故在没有零点，从而 ‎，‎ ‎(2)当或时，在有一个零点，故在有一个零点，不合题意；‎ ‎(3)当时，在没有零点，故在有两个零点，从而 综上所述，或，即实数的取值范围是 故选 点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，分段函数的图象，复合函数的图象以及零点问题等知识点；主要考查了学生的抽象概括能力，运算求解的能力以及应用意识；考查数行结合思想，分类与整合，函数与方程思想；考查数学抽象，数学运算和数据分析等。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．已知平面向量，，且，则实数______________．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】分析：利用向量的坐标运算和，列出方程即可求解实数的值．‎ 详解：由题意可得，‎ 又因为，所以，解得．‎ 点睛：本题主要考查了向量的坐标运算以及向量共线的应用，其中熟记向量的坐标运算和向量的共线条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎14．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的_______________．‎ ‎【答案】6.‎ ‎【解析】分析：由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序运行过程，分析循环变量值的变化规律，即可求解答案．‎ 详解：执行如图所示的程序框图：‎ 第一次循环：，满足条件；‎ 第二次循环：，满足条件；‎ 第三次循环：，满足条件；‎ 第四次循环：，满足条件；‎ 第五次循环：，满足条件；‎ 第六次循环：，不满足条件，推出循环，此时输出；‎ 点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的运行与结果出的输出问题，解题是应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的计算结果，同时注意判断框的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎15．已知点的坐标为，点满足，则的最小值为________________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：作出约束条件所表示的平面区域，点是区域内的动点，当与直线垂直时，此时距离最小．‎ 详解：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，点是区域内的动点，‎ 当与直线垂直时，‎ 由点到直线的距离公式得，距离最小值为．‎ 点睛：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划的应用，其中正确作出不等式组表示的平面区域是解答的关键，着重考查了数形结合思想、以及推理与运算能力．‎ ‎16．如果一个正四面体与正方体的体积比是，则其表面积（各面面积之和）之比___________________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：根据正四面体与正方体的体积比，求测棱长与边长的比为，再由正四面体与正方体的表面积公式，即可求解结果．‎ 详解：设正四面体的棱长为，正方体的边长为，‎ 则正四面体的体积为，‎ 正方体的体积为，所以，解得，‎ 所以正四面体与正方体的表面积的比为：．‎ 点睛：本题主要考查了空间几何体的体积与表面积公式的应用，其中熟练掌握空间几何体的结构特征和相应的表面积与体积公式是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力．‎ 三、解答题 ‎17．已知为数列的前项和，且满足．‎ ‎（1）证明为等比数列；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求．‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）运用等比数列的定义进行推证；（2）先列成两个特殊数列（等比数列、等差数列），再运用特殊数列的求和公式求解：‎ 试题解析：‎ 解：（I）原式转化为：，‎ 即，‎ 所以 注意到，所以为首项为4，公比为2等比数列.‎ ‎（II）由（1）知：，‎ 所以，‎ 于是 ‎.‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求函数的最大值和最小值；‎ ‎（2）为的内角平分线，已知，求角的大小．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，单调函数在在上单增，上单减，即可求解函数的最值；‎ ‎（2）在和，由正弦定理得，再分别在和中，利用余弦定理，即可求解角的大小．‎ 详解：(1)‎ 在上单增，上单减，；‎ ‎（2）中，中，，‎ ‎∵，，，‎ ‎，‎ 中，，‎ 中，，‎ ‎，∴．‎ 点睛：本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． ‎ ‎19．南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．‎ ‎（1）试求受奖励的分数线；‎ ‎（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在在和分的人数，设受奖励分数线为，列出方程即可求解；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分层抽样，可知分数在的抽取2人，分数在的抽取3人，设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．‎ 详解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为，‎ 竞赛成绩在的人数为，‎ 故受奖励分数线在之间，‎ 设受奖励分数线为，则，‎ 解得，故受奖励分数线为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在的人数为8，分数在的人数为12，‎ 利用分层抽样，可知分数在的抽取2人，分数在的抽取3人，‎ 设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，‎ 所有的可能情况有，，，，，，，，，，满足条件的情况有，，，所求的概率为．‎ 点睛：本题主要考查了用样本估计总体，古典概型及其概率的计算问题，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，，．‎ ‎（Ⅰ）求的长度；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）取中点，连，得, 再由平面，得,进而得，即可求解的长； ‎ ‎（Ⅱ）由题意，得出直线与平面所成的角，在直角中，即可求解．‎ 详解：（Ⅰ）取中点，连，‎ 是等边三角形，, ‎ 又 平面，平面，,‎ ‎ ∴‎ ‎（Ⅱ）平面 ，平面 ‎∴平面⊥平面．‎ 作交于，‎ 则平面，交于，直线与平面所成的角．‎ 由题意得, 又 ‎，‎ ‎ ，‎ ‎．‎ 点睛：本题考查了立体几何中的线面位置关系的判定与证明，以及线面角的求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时利用线面角的定义确定角为直线与平面所成的角是解答的难点．‎ ‎21．已知椭圆与直线都经过点.直线与平行，且与椭圆交于两点，直线与轴分别交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）证明： 为等腰三角形.‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将点M分别代入直线方程及椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程； （2）设直线m的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得kMA+kMB=0，即可求得△MEF为等腰三角形．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由直线都经过点，则a=2b，将 代入椭圆方程： ，解得：b2=4，a2=16，椭圆的方程为。‎ ‎（2）设直线为： ， ‎ 联立: ，得 ‎ 于是 ‎ 设直线的斜率为，要证为等腰三角形，只需 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以为等腰三角形.‎ 点睛: 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之和为0是关键. ‎ ‎22．已知.‎ ‎（1）若有两个零点，求的范围；‎ ‎（2）若有两个极值点，求的范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若的两个极值点为， ，求证： .‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）有两个零点即两图像有两交点；（2）由题意得，等价于对应的两函数的图像有两交点；（3）限制定义域为，利用极值点满足的关系， ，进而求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1），两图像有两交点 令， ‎ 当， ， ‎ 当， ， ， ‎ 结合图像， .‎ ‎（2）有两个改变符号的零点 等价于对应的两函数的图像有两交点 令， ‎ 当， ， ‎ 当， ， ， ‎ 结合图像， ‎ ‎（3）由（2），结合，知， ‎ ‎，‎ 设， ∴在上，∴‎ ‎∴‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎