2013版《6年高考4年模拟》：第二章 函数与基本初等函数 第三节 函数、方程及其应用
【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》
第三节 函数、方程及其应用
第一部分 六年高考荟萃
2012年高考题
1.[2012·北京卷] 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为( )
图1－6
A．5 B．7 C．9 D．11
答案：C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．
法一：因为随着n的增大，Sn在增大，要使取得最大值，只要让随着n的增大Sn＋1－Sn的值超过(平均变化)的加入即可，Sn＋1－Sn的值不超过(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.
法二：假设是取的最大值，所以只要>即可，也就是>，即可以看作点Qm(m，Sm)与O(0,0)连线的斜率大于点Qm＋1(m＋1，Sm＋1)与O(0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q9(9，S9)与O(0,0)连线的斜率开始大于点Q10(10，S10)与O(0,0)连线的斜率．答案为C.
2.[2012·上海卷] 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图1－4.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y＝x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.
(1)当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
解：(1)t＝0.5时，P的横坐标xP＝7t＝，代入抛物线方程y＝x2，得P的纵坐标yP＝3.
由|AP|＝，得救援船速度的大小为海里/时．
由tan∠OAP＝，得∠OAP＝arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度．
(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2)．
由vt＝，
整理得v2＝144＋337.
因为t2＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立．
所以v2≥144×2＋337＝252，即v≥25.
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．
3.[2012·北京卷] 已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．
解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以
f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．
即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a2时，h(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋a2.
令h′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－.
a>0时，h(x)与h′(x)的情况如下：
x
－
－
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
所以函数h(x)的单调递增区间为和；单调递减区间为.
当－≥－1，即0
6时，函数h(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增，
又因h－h(－1)＝1－a＋a2＝(a－2)2>0，
所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.
4.[2012·浙江卷] 已知a>0，b∈R，函数f(x)＝4ax3－2bx－a＋b.(1)证明：当0≤x≤1时，
(i)函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a；(ii)f(x)＋|2a－b|＋a≥0；(2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立，求a＋b的取值范围．
解：(1)(i)f′(x)＝12ax2－2b＝12a.
当b≤0时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
当b＞0时，f′(x)＝12a.
此时f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以当0≤x≤1时，f(x)max＝max{f(0)，f(1)}＝max{－a＋b,3a－b}＝＝|2a－b|＋a.
(ii)由于0≤x≤1，故当b≤2a时，
f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)＋3a－b＝4ax3－2bx＋2a≥4ax3－4ax＋2a＝2a(2x3－2x＋1)．
当b＞2a时，
f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)－a＋b＝4ax3＋2b(1－x)－2a＞4ax3＋4a(1－x)－2a＝2a(2x3－2x＋1)．
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6，
于是
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
1
减
极小值
增
1
所以，g(x)min＝g＝1－＞0.所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.
故f(x)＋|2a－b|＋a≥2a(2x3－2x＋1)≥0.
(2)由(i)知，当0≤x≤1时，f(x)max＝|2a－b|＋a，所以|2a－b|＋a≤1.
若|2a－b|＋a≤1，则由②知f(x)≥－(|2a－b|＋a)≥－1.
所以－1≤f(x)≤1对任意0≤x≤1恒成立的充要条件是
即或③
在直角坐标系aOb中，③所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.
做一组平行线a＋b＝t(t∈R)，得－1＜a＋b≤3.
所以a＋b的取值范围是(－1,3]．
5.[2012·课标全国卷] 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N)．
(2)①X可能的取值为60,70,80，并且
P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
X的数学期望为EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为
EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差为DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54
＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，DX0,所以零点在区间（0，1）上，选C
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
11.（2010天津理）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
12.（2010天津理）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
13.（2010福建文）7．函数的零点个数为 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
14.（2010湖北文）3.已知函数，则
A.4 B. C.-4 D-
【答案】B
【解析】根据分段函数可得，则，
所以B正确.
二、填空题
1.（2010上海文）14.将直线、、（，）围成的三角形面积记为，则 。
【答案】
【解析】B 所以BO⊥AC，
=
所以
2.（2010湖南文）10.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g
【答案】171.8或148.2
【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为
110＋（210－110）0.618＝171.8
或 210－（210－110）0.618＝148.2
【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。
3.（2010陕西文）13.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a＝ .
答案 2
【解析】f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2
4.（2010重庆理）（15）已知函数满足：，，则=_____________.
解析：取x=1 y=0得
法一：通过计算，寻得周期为6
法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故=f(0)=
5.（2010天津文）（16）设函数f(x)=x-,对任意x
恒成立，则实数m的取值范围是________
【答案】m<-1
【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
已知f（x）为增函数且m≠0
若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。
M<0，时有因为在上的最小值为2，所以1+即>1,解得m<-1.
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。
6.（2010浙江文）（16） 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 。
答案 20
7.（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。
当时函数取得最小值，所以，即，解得或
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
8.（2010广东文数）
9.（2010江苏卷）11、已知函数,则满足不等式的x的范围是_____。
【解析】 考查分段函数的单调性。
三、解答题
1.（2010福建文）21．(本小题满分12分)
某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。
2.（2010湖北文）19.（本小题满分12分）
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房。
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）
2009年高考题
1.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
答案 A
解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
2.(2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
答案
解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答
3.(2009山东卷理)（本小题满分12分）
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
A
B
C
x
解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2）,,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时,
,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.
解法二: （1）同上.
（2）设,
则,,所以
当且仅当即时取”=”.
下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
设04×240×240
9 m1m2<9×160×160所以,
所以即函数在(0,160)上为减函数.
同理,函数在(160,400)上为增函数,设1609×160×160
所以,
所以即函数在(160,400)上为增函数.
所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,
所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.
【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.
5. (2009湖南卷理)（本小题满分13分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？
解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩，
所以
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
令，得，所以=64
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；
当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，
所以在=64处取得最小值，此时，
故需新建9个桥墩才能使最小。
6.（2009年上海卷理）有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1）证明 当时，掌握程度的增加量总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为
,,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
证明 （1）当
而当，函数单调递增，且>0……..3分
故单调递减
当，掌握程度的增长量总是下降……………..6分
（2）由题意可知0.1+15ln=0.85……………….9分
整理得
解得…….13分
由此可知，该学科是乙学科……………..14分
7.（2009上海卷文）
（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,
(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.
证明 （1）当时，
而当时，函数单调递增，且
故函数单调递减
当时，掌握程度的增长量总是下降
(2)有题意可知
整理得
解得…….13分
由此可知，该学科是乙学科……………..14分
2007—2008年高考题
一、选择题
1.（2008年全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一
过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是 （ ）
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．
答案 A
2.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)
的图象可能是 （ ）
答案 D
3.（07广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是 （ ）
A B C D
答案 C
4.某地一年内的气温（单位：℃）与时刻（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃ .令C（t）表示的时间段[0，t]的平均气温，
C（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是 （ ）
答案 A
解析 由图可以发现当t=6时，C(t)=0，排除C；t=12时，C(t)=10，排除D；t在大于6 的某一段气温超于10，所以排除B，故选A。
二、填空题
6.（2007年上海4）方程 的解是 ．
答案
三、解答题
8.（2008年江苏卷17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD
的顶点A,B 及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km ，
为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上
（含边界），且A,B与等距离的一点O 处建造一个
污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长
为km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
解 本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①设AB中点为Q，由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则
, 故，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA=OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令得sin，因为，所以=.当时，，是
的减函数；当时，，y是的增函数.所以当=时，(km)。这时点0位于线段AB 的中垂线上，且距离AB边km处。
9.（2008年湖北卷20）.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化.现用表示时间，以月为单位，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第i月份（）,问一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.
解 （1）①当0＜t10时，V(t)=(-t2+14t-40)
化简得t2-14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.
②当10＜t12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,
化简得（t-10）（3t-41）＜0,
解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.
综上得00时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，
求证：f(0)=1；
求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；
（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0
∴又x=0时，f(0)=1>0
∴对任意x∈R，f(x)>0
(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
∴
∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数
（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，
f(x)在R上递增
∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0
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