中考数学二模试卷含解析35

中考数学二模试卷含解析35

‎2016年湖南省永州市祁阳县中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确的答案，请把答案填在答题卡中对应题号的表格内）‎ ‎1．|﹣2|的值等于（　　）‎ A．2 B．﹣ C． D．﹣2‎ ‎2．如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，则∠B等于（　　）‎ A．18° B．36° C．45° D．54°‎ ‎3．不等式2x﹣3＜1的解集在数轴上表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1x2的值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3‎ ‎6．在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．下列计算正确的是（　　）‎ A．a3÷a2=a3•a﹣2 B． C．2a2+a2=3a4 D．（a﹣b）2=a2﹣b2‎ ‎8．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：‎ ‎16　9　14　11　12　10　16　8　17　19‎ 则这组数据的中位数和极差分别是（　　）‎ A．13，16 B．14，11 C．12，11 D．13，11‎ ‎9．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）‎ A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4‎ ‎10．若点A（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上，则m的值是（　　）‎ A． B．﹣ C．1 D．﹣1‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）‎ ‎11．我国南海面积约为350万平方千米，这个数用科学记数法表示为______平方千米．‎ ‎12．计算： +（﹣1）﹣1+（﹣2）0=______．‎ ‎13．某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的平均数为______．‎ 分数 ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 人数 ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎14．如图是某个几何体的三视图，该几何体是______．‎ ‎15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是______．‎ ‎16．若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为______．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有9小题，共86分，请把解答过程或证明步骤写在答题卡中对应题号内）‎ ‎17．解方程： =．‎ ‎18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．‎ ‎19．垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：‎ 根据图表解答下列问题：‎ ‎（1）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（2）在抽样数据中，产生的有害垃圾共______吨；‎ ‎（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为5 000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．‎ ‎21．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（取1.732）‎ ‎22．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．‎ ‎（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；‎ ‎（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．‎ ‎23．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：‎ 类型 价格 进价（元/盏）‎ 售价（元/盏）‎ A型 ‎30‎ ‎45‎ B型 ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？‎ ‎（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？‎ ‎24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：AC2=CO•CP；‎ ‎（3）若PD=，求⊙O的直径．‎ ‎25．已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；‎ ‎（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年湖南省永州市祁阳县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确的答案，请把答案填在答题卡中对应题号的表格内）‎ ‎1．|﹣2|的值等于（　　）‎ A．2 B．﹣ C． D．﹣2‎ ‎【考点】绝对值．‎ ‎【分析】直接根据绝对值的意义求解．‎ ‎【解答】解：|﹣2|=2．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，则∠B等于（　　）‎ A．18° B．36° C．45° D．54°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】根据角平分线的定义求出∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠BCD．‎ ‎【解答】解：∵CE平分∠BCD，∠DCE=18°，‎ ‎∴∠BCD=2∠DCE=2×18°=36°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠B=∠BCD=36°．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．不等式2x﹣3＜1的解集在数轴上表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．‎ ‎【分析】先解不等式得到x＜2，用数轴表示时，不等式的解集在2的左边且不含2，于是可判断D选项正确．‎ ‎【解答】解：2x＜4，‎ 解得x＜2，‎ 用数轴表示为：‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】中心对称图形．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；‎ B、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1x2的值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【分析】由“x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=”可得x1x2=，套入数据即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，‎ ‎∴x1x2===﹣3．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质可得：函数的图象在第一三象限，由一次函数与系数的关系可得函数y=x﹣1的图象在第一三四象限，进而选出答案．‎ ‎【解答】解：函数中，k=1＞0，故图象在第一三象限；函数y=x﹣1的图象在第一三四象限，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．下列计算正确的是（　　）‎ A．a3÷a2=a3•a﹣2 B． C．2a2+a2=3a4 D．（a﹣b）2=a2﹣b2‎ ‎【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．‎ ‎【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则，结合各选项进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A、a3÷a2=a3•a﹣2，计算正确，故本选项正确；‎ B、=|a|，计算错误，故本选项错误；‎ C、2a2+a2=3a2，计算错误，故本选项错误；‎ D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，计算错误，故本选项错误；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：‎ ‎16　9　14　11　12　10　16　8　17　19‎ 则这组数据的中位数和极差分别是（　　）‎ A．13，16 B．14，11 C．12，11 D．13，11‎ ‎【考点】极差；中位数．‎ ‎【分析】根据中位数及极差的定义，结合所给数据即可作出判断．‎ ‎【解答】解：将数据从小到大排列为：8，9，10，11，12，14，16，16，17，19，‎ 中位数为：13；‎ 极差=19﹣8=11．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）‎ A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4‎ ‎【考点】三角形三边关系．‎ ‎【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．‎ ‎【解答】解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；‎ B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；‎ C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；‎ D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．若点A（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上，则m的值是（　　）‎ A． B．﹣ C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】利用待定系数法代入正比例函数y=﹣x可得m的值．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上，‎ ‎∴m=﹣×（﹣2）=1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）‎ ‎11．我国南海面积约为350万平方千米，这个数用科学记数法表示为　3.5×106　平方千米．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将350万用科学记数法表示为：3.5×106．‎ 故答案为3.5×106‎ ‎　‎ ‎12．计算： +（﹣1）﹣1+（﹣2）0=　2　．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．‎ ‎【分析】分别进行二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂的运算，然后合并即可得出答案．‎ ‎【解答】解：原式=2﹣1+1‎ ‎=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎13．某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的平均数为　3.1　．‎ 分数 ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 人数 ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎【考点】加权平均数．‎ ‎【分析】利用加权平均数的计算方法列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：×（5×3+4×1+3×2+2×2+1×2）‎ ‎=×（15+4+6+4+2）‎ ‎=×31‎ ‎=3.1．‎ 所以，这10人成绩的平均数为3.1．‎ 故答案为：3.1．‎ ‎　‎ ‎14．如图是某个几何体的三视图，该几何体是　三棱柱　．‎ ‎【考点】由三视图判断几何体．‎ ‎【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．‎ ‎【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．‎ 故答案为：三棱柱．‎ ‎　‎ ‎15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是　18°　．‎ ‎【考点】等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．‎ ‎【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=72°‎ ‎∵BD是AC边上的高，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ ‎∴∠DBC=90°﹣72°=18°．‎ 故答案为：18°．‎ ‎　‎ ‎16．若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为　0或﹣1　．‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】令y=0，则关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根，所以k=0或根的判别式△=0，借助于方程可以求得实数k的值．‎ ‎【解答】解：令y=0，则kx2+2x﹣1=0．‎ ‎∵关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，‎ ‎∴关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根．‎ ‎①当k=0时，2x﹣1=0，即x=，∴原方程只有一个根，∴k=0符合题意；‎ ‎②当k≠0时，△=4+4k=0，‎ 解得，k=﹣1．‎ 综上所述，k=0或﹣1．‎ 故答案为：0或﹣1．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有9小题，共86分，请把解答过程或证明步骤写在答题卡中对应题号内）‎ ‎17．解方程： =．‎ ‎【考点】解分式方程．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：2x﹣6+6=x+3，‎ 解得：x=3，‎ 经检验x=3是增根，原方程无解．‎ ‎　‎ ‎18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．‎ ‎【解答】证明：∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ 在△ABD与△ACE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SAS），‎ ‎∴AD=AE．‎ ‎　‎ ‎19．垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：‎ 根据图表解答下列问题：‎ ‎（1）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（2）在抽样数据中，产生的有害垃圾共　3　吨；‎ ‎（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为5 000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？‎ ‎【考点】条形统计图；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）根据D类垃圾量和所占的百分比即可求得垃圾总数，然后乘以其所占的百分比即可求得每个小组的频数从而补全统计图；‎ ‎（2）求得C组所占的百分比，即可求得C组的垃圾总量；‎ ‎（3）首先求得可回收垃圾量，然后求得塑料颗粒料即可；‎ ‎【解答】解：（1）观察统计图知：D类垃圾有5吨，占10%，‎ ‎∴垃圾总量为5÷10%=50吨，‎ 故B类垃圾共有50×30%=15吨，‎ 故统计表为：‎ ‎（2）∵C组所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣54%=6%，‎ ‎∴有害垃圾为：50×6%=3吨；‎ ‎（3）（吨），‎ 答：每月回收的塑料类垃圾可以获得378吨二级原料．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．‎ ‎【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．‎ ‎【分析】（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；‎ ‎（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，‎ 线段BC旋转过程中所扫过得面积S==．‎ ‎　‎ ‎21．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（取1.732）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．‎ ‎【分析】首先过点A作AH⊥CF于点H，易得∠ACH=60°，然后利用三角函数的知识，求得AH的长，继而可得消防车是否需要改进行驶．‎ ‎【解答】解：如图：过点A作AH⊥CF于点H，‎ 由题意得：∠MCF=75°，∠CAN=15°，AC=125米，‎ ‎∵CM∥AN，‎ ‎∴∠ACM=∠CAN=15°，‎ ‎∴∠ACH=∠MCF﹣∠ACM=75°﹣15°=60°，‎ ‎∴在Rt△ACH中，AH=AC•sin∠ACH=125×≈108.25（米）＞100米．‎ 答：消防车不需要改道行驶．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．‎ ‎（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；‎ ‎（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．‎ ‎【考点】平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．‎ ‎【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；‎ ‎（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．‎ ‎【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．‎ ‎∵F是AD的中点，‎ ‎∴DF=．‎ 又∵CE=BC，‎ ‎∴DF=CE，且DF∥CE，‎ ‎∴四边形CEDF是平行四边形；‎ ‎（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．‎ 在▱ABCD中，∵∠B=60°，‎ ‎∴∠DCE=60°．‎ ‎∵AB=4，‎ ‎∴CD=AB=4，‎ ‎∴CH=CD=2，DH=2．‎ 在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．‎ ‎∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE==．‎ ‎　‎ ‎23．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：‎ 类型 价格 进价（元/盏）‎ 售价（元/盏）‎ A型 ‎30‎ ‎45‎ B型 ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？‎ ‎（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？‎ ‎【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为盏，然后根据进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；‎ ‎（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为盏，‎ 根据题意得，30x+50=3500，‎ 解得x=75，‎ 所以，100﹣75=25，‎ 答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；‎ ‎（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，‎ 则y=（45﹣30）x+（70﹣50），‎ ‎=15x+2000﹣20x，‎ ‎=﹣5x+2000，‎ 即y=﹣5x+2000，‎ ‎∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，‎ ‎∴100﹣x≤3x，‎ ‎∴x≥25，‎ ‎∵k=﹣5＜0，y随x的增大而减小，‎ ‎∴x=25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元）‎ 答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．‎ ‎　‎ ‎24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：AC2=CO•CP；‎ ‎（3）若PD=，求⊙O的直径．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；切线的判定．‎ ‎【分析】（1）连结OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，则∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°，于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切；‎ ‎（2）通过△ACO∽△PCA，得到=，由于AC=AP于是得到结论；‎ ‎（3）连接AD，证得△AOD是等边三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=，得到OD=，即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连结OA、AD，如图，‎ ‎∵CD为直径，‎ ‎∴∠CAD=90°，‎ ‎∵∠ADC=∠B=60°，‎ ‎∴∠ACD=30°，‎ ‎∵AP=AC，‎ ‎∴∠P=∠ACD=30°，‎ ‎∵∠AOD=2∠ACD=60°，‎ ‎∴∠OAP=180°﹣60°﹣30°=90°，‎ ‎∴OA⊥PA，‎ ‎∴AP与⊙O相切；‎ ‎（2）证明：∵∠P=∠ACP=∠CAO=30°，‎ ‎∴△ACO∽△PCA，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AC=AP ‎∴AC2=CO．CP；‎ ‎（3）解：连接AD，‎ ‎∵AO=DO，∠ADC=60°，‎ ‎∴△AOD是等边三角形，‎ ‎∴∠OAD=60°，‎ ‎∴∠PAD=30°，‎ ‎∴∠P=∠PAD，‎ ‎∴AD=PD=，‎ ‎∴OD=，‎ ‎∴⊙O的直径CD=2．‎ ‎　‎ ‎25．已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；‎ ‎（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数综合题；解一元一次方程；根的判别式；一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质．‎ ‎【分析】（1）把x=0和x=2代入得出关于t的方程，求出t即可；‎ ‎（2）把A的坐标代入抛物线，即可求出m，把A的坐标代入直线，即可求出k；‎ ‎（3）求出点B、C间的部分图象的解析式是y=﹣（x﹣3）（x+1），得出抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=﹣（x﹣3+n）（x+1+n），﹣n﹣1≤x≤3﹣n，直线平移后的解析式是y=4x+6+n，若两图象有一个交点时，得出方程4x+6+n=﹣（x﹣3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，求出判别式△=6n=0，求出的n的值与已知n＞0相矛盾，得出平移后的直线与抛物线有两个公共点，‎ 设两个临界的交点为（﹣n﹣1，0），（3﹣n，0），代入直线的解析式，求出n的值，即可得出答案．‎ ‎【解答】（1）解：∵二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等，‎ ‎∴代入得：0+0+=4（t+1）+4（t+2）+，‎ 解得：t=﹣，‎ ‎∴y=（﹣+1）x2+2（﹣+2）x+=﹣x2+x+，‎ ‎∴二次函数的解析式是y=﹣x2+x+．‎ ‎（2）解：把A（﹣3，m）代入y=﹣x2+x+得：m=﹣×（﹣3）2﹣3+=﹣6，‎ 即A（﹣3，﹣6），‎ 代入y=kx+6得：﹣6=﹣3k+6，‎ 解得：k=4，‎ 即m=﹣6，k=4．‎ ‎（3）解：由题意可知，点B、C间的部分图象的解析式是y=﹣x2+x+=﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣（x﹣3）（x+1），﹣1≤x≤3， ‎ 则抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=﹣（x﹣3+n）（x+1+n），﹣n﹣1≤x≤3﹣n，‎ 此时直线平移后的解析式是y=4x+6+n，‎ 如果平移后的直线与平移后的二次函数相切，‎ 则方程4x+6+n=﹣（x﹣3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，‎ 即﹣x2﹣（n+3）x﹣n2﹣=0有两个相等的实数解，‎ 判别式△=[﹣（n+3）]2﹣4×（﹣）×（﹣n2﹣）=6n=0，‎ 即n=0，‎ ‎∵与已知n＞0相矛盾，‎ ‎∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，‎ ‎∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，‎ 则两个临界的交点为（﹣n﹣1，0），（3﹣n，0），‎ 则0=4（﹣n﹣1）+6+n，‎ n=，‎ ‎0=4（3﹣n）+6+n，‎ n=6，‎ 即n的取值范围是：≤n≤6．‎