2020高中数学 课时分层作业28 简单的三角恒等变换 新人教A版必修4

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2020高中数学 课时分层作业28 简单的三角恒等变换 新人教A版必修4

课时分层作业(二十八) 简单的三角恒等变换 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1.函数f(x)=cos2,x∈R,则f(x)(  )‎ A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数,也是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 D [原式= ‎=(1-sin 2x)‎ ‎=-sin 2x,‎ 此函数既不是奇函数也不是偶函数.]‎ ‎2.已知=,则的值为(  )‎ A.     B.-    ‎ C.     D.- B [∵·===-1‎ 且=,∴=-.]‎ ‎3.在△ABC中,若cos A=,则sin2+cos ‎2A=(  ) ‎ ‎【导学号:84352345】‎ A.-         B. C.- D. A [sin2+cos ‎‎2A ‎=+2cos‎2A-1‎ ‎=+2cos‎2A-1‎ 7‎ ‎=-.]‎ ‎4.将函数y=f(x)sin x的图象向右平移个单位后再作关于x轴对称的曲线,得到函数y=1-2sin2x的图象,则f(x)的表达式是(  )‎ A.f(x)=cos x B.f(x)=2cos x C.f(x)=sin x D.f(x)=2sin x B [y=1-2sin2x=cos 2x的图象关于x轴对称的曲线是y=-cos 2x,向左平移得y=-cos=sin 2x=2sin xcos x,∴f(x)=2cos x.]‎ ‎5.已知f(x)=2sin2x+2sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为(  )‎ ‎ 【导学号:84352346】‎ A.2π, B.π, C.2π, D.π, B [∵f(x)=1-cos 2x+sin 2x ‎=1+sin,‎ ‎∴f(x)的最小正周期T==π,‎ 由+2kπ≤2x-≤+2kπ,‎ 得f(x)的单调减区间为 +kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ 当k=0时,得f(x)的一个单调减区间,故选B.]‎ 二、填空题 ‎6.设5π<θ<6π,cos=a,则sin的值等于________.‎ ‎- [由sin2=,‎ ‎∵θ∈(5π,6π),∴∈,‎ 7‎ ‎∴sin=-=-.]‎ ‎7.化简下列各式:‎ ‎(1)<α<,则=________.‎ ‎(2)α为第三象限角,则-=________. ‎ ‎【导学号:84352347】‎ ‎(1)sin α-cos α (2)0 [(1)∵α∈,∴sin α>cos α,‎ ‎∴= ‎= ‎==sin α-cos α.‎ ‎(2)∵α为第三象限角,∴cos α<0,sin α<0,‎ ‎∴-=- ‎=-=0.]‎ ‎8.函数f(x)=cos 2x+4sin x的值域是________.‎ ‎[-5,3] [f(x)=cos 2x+4sin x=1-2sin2x+4sin x=-2(sin x-1)2+3.‎ 当sin x=1时,f(x)取得最大值3,‎ 当sin x=-1时,f(x)取得最小值-5,‎ 所以函数f(x)的值域为[-5,3].]‎ 三、解答题 ‎9.求证:tan-tan=. ‎ ‎【导学号:84352348】‎ ‎[证明] 法一:(由左推右)tan-tan ‎=- ‎= 7‎ ‎= ‎= ‎= ‎=.‎ 法二:(由右推左) ‎= ‎= ‎=-=tan-tan.‎ ‎10.已知向量a=(cos θ-2sin θ,2),b=(sin θ,1).‎ ‎(1)若a∥b,求tan 2θ的值;‎ ‎(2)f(θ)=(a+b)·b,θ∈,求f(θ)的值域. ‎ ‎【导学号:84352349】‎ ‎[解] (1)∵a∥b,‎ ‎∴cos θ-2sin θ-2sin θ=0,‎ ‎∴cos θ=4sin θ,‎ ‎∴tan θ=,‎ ‎∴tan 2θ===.‎ 7‎ ‎(2)a+b=(cos θ-sin θ,3),‎ ‎∴f(θ)=(a+b)·b=sin θcos θ-sin2θ+3=sin 2θ-+3=sin+,‎ ‎∵θ∈,‎ ‎∴∈,‎ ‎∴sin∈,‎ ‎∴2≤f(θ)≤,‎ ‎∴f(θ)的值域为.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1.设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有(  )‎ A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b D.c>b>a A [∵a=sin 37°,b=tan 38°,‎ c=sin 36°,‎ ‎∴b>a>c.]‎ ‎2.设α∈,β∈,且=,则(  )‎ A.2α+β= B.2α-β= C.α+2β= D.α-2β= B [由题意得sin α-sin αsin β=cos αcos β,‎ sin α=cos(α-β),‎ ‎∴cos=cos(α-β).‎ ‎∵-α∈,α-β∈,‎ 7‎ ‎∴-α=α-β或-α+α-β=0(舍去),‎ ‎∴2α-β=.]‎ ‎3.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则f(x)的最大值是(  )‎ A.1 B.2‎ C.+1 D.+2‎ B [f(x)=(1+tan x)cos x ‎=cos x=sin x+cos x ‎=2sin.‎ ‎∵0≤x<,‎ ‎∴≤x+<,‎ ‎∴当x+=时,‎ f(x)取到最大值2.]‎ ‎4.若θ是第二象限角,且25sin2 θ+sin θ-24=0,则cos =________.‎ ‎ 【导学号:84352350】‎ ‎± [由25sin2 θ+sin θ-24=0,‎ 又θ是第二象限角,‎ 得sin θ=或sin θ=-1(舍去).‎ 故cos θ=-=-,‎ 由cos2 =得cos2 =.‎ 又是第一、三象限角,‎ 所以cos =±.]‎ ‎5.如图324,在直角坐标系xOy中,点P是单位圆上的动点,过点P作x轴的垂线与射线y=x(x≥0)交于点Q,与x轴交于点M.记∠MOP=α,且α∈.‎ 7‎ 图324‎ ‎(1)若sin α=,求cos∠POQ;‎ ‎(2)求△OPQ面积的最大值. ‎ ‎【导学号:84352351】‎ ‎[解] (1)由题意知∠QOM=,因为sin α=,‎ 且α∈,所以cos α=,‎ 所以cos∠POQ=cos ‎=coscos α+sinsin α=.‎ ‎(2)由三角函数定义,得P(cos α,sin α),‎ 从而Q(cos α,cos α),‎ 所以S△POQ=|cos α||cos α-sin α|‎ ‎=|cos2α-sin αcos α|‎ ‎= ‎= ‎≤=+.‎ 因为α∈,所以当α=-时,等号成立,‎ 所以△OPQ面积的最大值为+.‎ 7‎
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