湖南省天壹名校联盟2020届高三12月大联考 理科数学(PDF版)

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湖南省天壹名校联盟2020届高三12月大联考 理科数学(PDF版)

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(!)5»$,*(#)$%# OŸ}0 (%)×*(#)03##*!#aŠ O#%% ¡:$53O·Ñ–—! 第 1页(共 5页) 理科数学参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D C B B A B A C B C 1.D 解析:A=[-1,2],B=[1,2],A∩B=[1,2]. 2.A 解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2×1 2 =0,故选 A. 3.D 解析:A 不单调,B 单调递减,C 是偶函数,D 满足条件. 4.C 解析:z=1+3i 1-i =(1+3i)(1+i) 2 =-1+2i,故选 C. 5.B 解析:由题意可知 m 天后剩下的线段的长度为(1 2)m,则(1 2)m< 1 100 ,解得 m≥7,故选 B. 6.B 解析:由线面间的位置关系易知选 B. 7.A 解析:由已知 綈 p:∃x0∈(-1,1),f(x0)=0 为真命题.∵f(x)为增函数,∴f(-1)f(1)<0,1 e - 1<a<1+e,a=0,1,2,3,故选 A. 8.B 解析:x=2020,x=2018,x=2016,…,x=0,x=-2,y=m2+m=12,m=3,故选 B. 9.A 解析:设一条渐近线方程为 y=kx,则 |3k| k2+1 =2,解得 k2=4 5 ,∴b2 a2 =4 5 ,c2 a2 =9 5 ,e=3 5 5 . 10.C 解析:由已知得ω=2,x=φ是 f (x)的一条对称轴,且使 f (x)取得最值,则 3φ=kπ,φ=π 3 ,f (x) =cos(2x+π 3 )=cos[2(x+5π 12 )-π 2 ],g(x)=sin2x=cos(2x-π 2 ),故选 C. 11.B 解 析 : 由 已 知得 直 线 l 的 方 程为 : y -ex1 - a = ex1 - a(x - x1), y - x2 = 1 2 x2 (x - x2) , ∴ ex1-a= 1 2 x2 ex1-a(1-x1)= x2 2 ,消去 ex1 -a 整理得 x1+x2=1. 12.C 解析:如图,EC=PE=PC=3 3 2 ,∴PA=PB=3,设△PAB 与△ABC 的 中心分别为 G,H,过 G,H 分别作面 PAB 与面 ABC 的垂线交于点 O,则 O 是外 接球的球心,连接 OE,则∠OEH=30°.∵EH= 3 2 ,∴OE=1,R=OB= OE2+BE2 = 13 2 ,S=4πR2=13π. 第 2页(共 5页) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.3 14.4 15.-30 16.7 13.3 解析:作出可行域知 z=2x-y 在点(3,3)处取得最大值 3. 14.4 解析:设等差数列{an}的公差为 d,则由已知可得 a1=9d,∴an=a1+(n﹣1)d=(n+8)d. ∵ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,∴ak2=a1a2k,即(k+8)2d2=9d•(2k+8)d,化简得 k2﹣2k﹣8=0,解 得 k=4(﹣2 舍去). 15-30 解析:(1+2 x -x)5 表示 5 个因式(1+2 x -x)的乘积,有 2 个因式都选-x,其余的 3 个因式都选 1,相乘可得含 x2 的项,或者有 3 个因式选-x,有 1 个因式选1 x ,1 个因式选 1,相乘可得含 x2 的项, 故 x2 项的系数为 C25+(-C35·C12·2)=-30.(或将括号里面 2 项组合起来展开考虑) 16.7 解析:注意到 l1 的倾斜角为 30°,如图,设 A 在 l2 上的射影为 M,A 在 l1 上的射影为 N.∵AM=AF,∴当 A,F,N 三点共线时,d1+d2 取得最小值,此时 AN 与 AM 夹角为 60°,d1=2d2,∴N 在 l2 上,FA:y=- 3(x-1),N(-1,2 3), 代入 l1 解得 b=7. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.解析:(1)由余弦定理得 a2+c2-b2=2accosB,∴sinA sinB =2accosB c2 =2sinAcosB sinC , ∴sin2B=sinC,2B=C 或 2B=π-C, 由 2B=π-C 得 A=B,不符合条件,∴C=2B.(5 分) (2)由(1)及正弦定理得 3 2 3 =sinB sinC = sinB 2sinBcosB ,∴cosB= 3 3 =a2+12-9 2a·2 3 ,解得 a=1 或 3(舍), ∴S△ABC=1 2 ×1×2 3× 6 3 = 2.(12 分) 18.解析:(1)连接 A1C 交 AC1 于点 O,连接 OD, 则平面 A1BC∩平面 ADC1=OD, ∵A1B∥平面 ADC1,∴A1B∥OD, ∵O 为 A1C 的中点,∴D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC, ∵B1D⊥平面 ABC,∴AD⊥B1D, ∵BC∩B1D=D,∴AD⊥平面 BCC1B1, ∵AD⊂平面 ADC1,∴平面 ADC1⊥平面 BCC1B1.(6 分) (2)建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz,设 AB=2, 则 B(-1,0,0),A(0, 3,0),B1(0,0, 3),C1(2,0, 3), 第 3页(共 5页) ∴BA→=(1, 3,0),DA→ =(0, 3,0),DC1 → =(2,0, 3), 设平面 ADC1 的法向量为 n=(x,y,z),则 3y=0 2x+ 3z=0 ,取 x=- 3得 n=(- 3,0,2), ∴|cos|=| - 3 2× 7 |= 21 14 ,即直线 AB 与平面 ADC1 所成角的正弦值为 21 14 .(12 分) 19.解析:(1)由 y-=1 6 6 1 i i y   =60 得1 6 ×(70+65+62+59+56+t)=60,解得 t=48, ∴ 6 2 1 i i x   =32+42+52+62+72+82=199,n x-2=6×5.52=181.5, 代入可得b^=1910-1980 199-181.5 =-70 17.5 =-4, a^= y--b^ x-=60-(-4)×5.5=82, ∴所求的线性回归方程为y^=-4x+82.(5 分) (2)利用(1)中所求的线性回归方程y^=-4x+82 可得, 当 x1=3 时,y^ 1=70;当 x2=4 时,y^ 2=66;当 x3=5 时,y^ 3=62; 当 x4=6 时,y^ 4=58;当 x5=7 时,y^ 5=54;当 x6=8 时,y^ 6=50; 与销售数据对比可知满足|y^ i-yi|≤1 的共有 4 个“好数据”:(3,70)、(4,65)、(5,62)、(6,59), 由题意知 X 的可能取值为 1,2,3, P(X=1)=C22·C14 C36 =1 5 ,P(X=2)=C12·C24 C36 =3 5 ,P(X=3)=C02·C34 C36 =1 5. ∴X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 数学期望 EX=1×1 5 +2×3 5 +3×1 5 =2.(12 分) 20.解析:(1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),由已知得c a = 2 2 ,∴a2=2b2, 椭圆 C:x2+2y2=2b2,代入直线 l 方程整理得(m2+2)y2+2my+1-2b2=0, ∴y1+y2=- 2m m2+2 =-2 5 2,y1y2=1-2b2 m2+2 =2 5(1-2b2), x1x2=(my1+1)(my2+1)=2 5(2-b2), 第 4页(共 5页) ∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0,解得 b2=1, ∴椭圆 C 的方程为x2 2 +y2=1.(6 分) (2)由(1)知 Q(x2,-y2),kPM= y1 x1-2 ,kPQ= -y2 x2-2 , ∴kPM-kPQ= y1 x1-2 - -y2 x2-2 =y1(x2-2)+y2(x1-2) (x1-2)(x2-2) , ∵y1(x2-2)+y2(x1-2)=y1(my2-1)+y2(my1-1)=2my1y2-(y1+y2)=0,∴kPM=kPQ, ∴P、M、Q 三点共线.(12 分) 21.解析:(1)f′(x)=2lnx+2-a,由 f′(x)=0 得 x=e a-2 2 ,当 x>e a-2 2 时,f′(x)>0,当 0<x<e a-2 2 时, f′(x)<0,∴f(x)在 x=e a-2 2 处取得最小值 f(e a-2 2 )=1-2e a-2 2 <0,解得 a>2-2ln2. ∵e a 2>e a-2 2 ,f(e a 2)=1>0,∴f(x)在(e a-2 2 ,+∞)上有 1 个零点; ∵a>2-2ln2,∴ 1 4a<1 20, ∴f( 1 4a)>0,∴f(x)在( 1 4a ,e a-2 2 )上有 1 个零点, 综上,a 的取值范围是(2-2ln2,+∞).(6 分)(分参数形结合可酌情给分) (2)由 f(x)=0 得 2lnx+1 x =a,令 g(x)=2lnx+1 x ,则 x1,x2 是 y=g(x)与 y=a 交点横坐标. g′(x)=2 x -1 x2 =2x-1 x2 ,当 0<x<1 2 时,g′(x)<0,g(x)在(0,1 2)上是减函数,在(1 2 ,+∞)上是增函数, ∴g(x)在 x=1 2 处取得最小值,∴0<x1<1 2 <x2, 设 h(x)=g(x)-g( 1 4x)(x>1 2),∴h′(x)=-(2x-1)2 x2 <0,h(x)是减函数, ∴h(x)<h(1 2)=0,∴g(x)<g( 1 4x), ∵x2>1 2 ,∴g(x1)=g(x2)<g( 1 4x2 ), ∵x1、 1 4x2 ∈(0,1 2),g(x)在(0,1 2)上递减,∴x1> 1 4x2 ,即 4x1x2>1.(12 分) 22.解析:(1)由ρ2+4 2ρcos(θ-π 4 )-8=0 得ρ2+4ρcosθ+4ρsinθ-8=0, ∴x2+y2+4x+4y-8=0,∴曲线 C 的直角坐标方程为(x+2)2+(y+2)2=16.(4 分) (2)将直线 l 的参数方程代入 C 方程整理得 t2+2t(sinα+cosα)-14=0, t1+t2=-2(sinα+cosα),t1t2=-14<0, 第 5页(共 5页) ∴||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=2 2|sin(α+π 4 )|, ∵0≤α<π,∴π 4 ≤α+π 4 <5π 4 ,- 2 2
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