数学理卷·2018届河北省武邑中学高三下学期开学考试（2018

数学理卷·2018届河北省武邑中学高三下学期开学考试（2018

河北武邑中学2017-2018学年下学期开学考试 数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则( ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.设常数，集合，，若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.我国古代数学算经史书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）‎ A．104人 B．108人 C．112人 D．120人 ‎ ‎4.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎ ‎5.若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.四面体的各条棱长都相等，为棱的中点，过点作平面平行的平面，该平面与平面、平面的交线分别为、，则，所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知函数与，设，，若存在，，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知抛物线：上一点，直线：，：，则到这两条直线的距离之和的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：（）作切线，切点分别为，，若的最小值为58，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数在上的最大值为5，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，，则 ；满足的实数的取值范围是 ．‎ ‎14.三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，侧面 为等腰三角形，且腰长为，若，则三棱锥外接球表面积是 ．‎ ‎15.已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为 ．‎ ‎16.已知函数，，，若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知函数，．‎ ‎（1）求函数的对称中心；‎ ‎（2）已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，的外接圆半径为，求周长的最大值．‎ ‎18.设，，若，求的取值范围．‎ ‎19.如图四棱锥中，平面，底面是梯形，，，，，，为的中点，为上一点，且（）．‎ ‎（1）若时，求证：平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求异面直线与直线所成角的余弦值．‎ ‎20.如图，已知椭圆：，其左右焦点为、，过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于、两点，且、、构成等差数列．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）记的面积为，（为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）若函数在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数（且），若函数的图象与轴交于点，两点，且是函数的极值点，试比较，，的大小．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线与的直角坐标方程；‎ ‎（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，恒成立，求实数的取值范围．‎ 河北武邑中学2017-2018学年下学期开学考试数学（理科）试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.； 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：由 ‎．‎ ‎（1）令（），则（），‎ 所以函数的对称中心为（）．‎ ‎（2）由，得，整理得，即，‎ 由正弦定理得：，整理得，‎ 又因为，所以，整理得，‎ 由，得，所以，即，‎ 又的外接圆的半径为，所以，‎ 由余弦定理得：，即，当且仅当时取等号，‎ 所以周长的最大值为9．‎ ‎18.解：，‎ 由，得，‎ 当，即时，，符合题意；‎ 当，即时，‎ 若，则，符合题意；‎ 当时，由，且，‎ 可知，，‎ ‎∴满足的实数的取值范围为或．　‎ ‎19.（1）证明：若时，，在上取，‎ 连接，，∵，，，‎ ‎∴，且，‎ ‎∵为的中点，，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴，‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）如图所示，过点作于，则，则以为坐标原点建立空间直角坐标系，‎ ‎∴点，，，，，，，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，则即令，则，，‎ ‎∴，‎ 设直线与平面所成的角为，则 ‎，‎ 解得，则，，，‎ 设直线与直线所成角为，‎ 则，‎ 所以直线与直线所成角的余弦值为．‎ ‎20.解：（1）因为、、构成等差数列，‎ 所以，所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与，轴垂直．‎ 设方程为（），‎ 将其代入，整理得，‎ 设，，所以，‎ 故点的横坐标为，所以，‎ 设，因为，所以，‎ 解得，即．‎ ‎∵和相似，且，则，，‎ ‎∴，‎ 整理得，因此，，‎ 所以存在直线，方程为．　‎ ‎21.解：（1），令，则，‎ ‎∴当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，①‎ ‎∴在单调递减，‎ ‎∴．‎ ‎（2），则或，不妨取，，‎ 又，令，则，‎ ‎∴在上单调递增．‎ 又，‎ 由①式可知（，且），‎ 所以，即，‎ 又，‎ 由①式知，取，则且，得，‎ ‎∴，∴，‎ 又是的极值点，∴，即，‎ ‎∴，‎ 又在上单调递增，‎ ‎∴．‎ ‎22.解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数，），‎ ‎∴曲线的普通方程为：（，），‎ ‎∵曲线的极坐标方程为，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）∵曲线的普通方程为：（，）为半圆弧，由曲线于有两个公共点，则当与相切时，得，整理得，‎ ‎∴或（舍去），‎ 当过点时，，‎ ‎∴当与有两个公共点时，．‎ ‎23.解：（1）‎ 当时，，，∴；‎ 当时，，，∴；‎ 当时，，，∴．‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（2）易得，若，恒成立，‎ 则只需，即，整理得，‎ 综上所述．‎