2020高中数学第二章函数2

2020高中数学第二章函数2

‎2.4.2　‎二次函数的性质 ‎|基础巩固|(25分钟，60分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．函数y＝x2－2x＋3在(－1,5)上的最小值为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　B．6‎ C．18 D．22‎ ‎【解析】　判断对称轴x＝1在区间(－1,5)内部，在x＝1取得最小值2.‎ ‎【答案】　A ‎2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则(　　)‎ A．m＝－2 B．m＝2‎ C．m＝－1 D．m＝1‎ ‎【解析】　函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－，且只有一条对称轴，‎ 所以－＝1，即m＝－2.‎ ‎【答案】　A ‎3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc等于(　　)‎ A．－6 B．11‎ C．－ D. ‎【解析】　因为f(x)图像过点(0,2)，所以c＝2.‎ 又顶点为(4,0)，‎ 所以－＝4，＝0.‎ 解得b＝－1，a＝，‎ 所以abc＝－.‎ ‎【答案】　C ‎4．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3(m≠1)的图像关于y轴对称，则f(x)在(－3,1)上(　　)‎ A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 ‎【解析】　由f(x)的图像关于y轴对称，得m＝0，所以函数f(x)＝－x2＋3，‎ 由f(x)的图像(图略)知其在(－3,1)上先增后减．故选C.‎ ‎【答案】　C ‎5．函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间(－2，＋∞)上是单调递减，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－3,0] B．(－∞，－3]‎ C．[－3,0) D．[－2,0]‎ ‎【解析】　若a＝0，则f(x)＝－6x＋1(符合题意)，a>0不合题意，若a<0，‎ 则－≤－2，解得－3≤a<0，‎ ‎ 综上得－3≤a≤0.故选A.‎ 4‎ ‎【答案】　A 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎6．抛物线y＝x2＋(a＋2)x＋1的顶点在y轴上，则a＝________.‎ ‎【解析】　∵抛物线的顶点在y轴上，∴ －＝0，即a＝－2.‎ ‎【答案】　－2‎ ‎7．已知函数f(x)＝x2－ x－8在[1,5]上具有单调性，则实数 的取值范围是________．‎ ‎【解析】　函数f(x)的对称轴为x＝，‎ 所以≤1或≥5，‎ 所以 ≤2或 ≥10.‎ ‎【答案】　(－∞，2]∪[10，＋∞)‎ ‎8．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．‎ ‎【解析】　f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.‎ 所以函数f(x)图像的对称轴为直线x＝2.‎ 所以f(x)在[0,1]上单调递增．‎ 又因为f(x)min＝f(0)＝a＝－2，‎ 所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.‎ ‎【答案】　1‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎9．(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，求实数a的值．‎ ‎【解析】　∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图像开口向下，对称轴为x＝a.‎ ‎(1)∵f(x)的增区间为(－∞，a]，‎ 由题意知(－∞，a]⊇(－∞，2)，‎ ‎∴a≥2.故实数a的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎(2)由题意，f(x)的对称轴为x＝a＝2，‎ 即a＝2.‎ ‎10．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．‎ ‎(1)当每辆车的月租金为3 600元时，能租出多少辆车？‎ ‎(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？‎ ‎【解析】　(1)当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车．‎ ‎(2)设每轴车的月租金为x(x≥3 000)元，则租赁公司的月收益为f(x)＝(x－150)－×50，‎ 整理得f(x)＝－＋162x－21 000‎ ‎＝－(x－4 050)2＋307 050.‎ 4‎ 所以，当x＝4 050 时，f(x)最大，最大值为f(4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．‎ ‎|能力提升|(20分钟，40分)‎ ‎11．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B．[0,2]‎ C．[1,2] D．(－∞，2]‎ ‎【解析】　如图所示．‎ f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，f(0)＝3，f(1)＝2，且f(2)＝3.由图可知只有当m∈[1,2]时，才能满足题目的要求．故选C.‎ ‎【答案】　C ‎12．已知函数f(x)＝为R上的减函数，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【解析】　因为函数f(x)＝ 为R上的减函数，‎ 所以 解得a≤－4.‎ 所以a的取值范围为{a|a≤－4}．‎ ‎【答案】　{a|a≤－4}‎ ‎13．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．‎ ‎(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；‎ ‎(2)当a∈R时，求函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．‎ ‎【解析】　(1)因为a＝－1，‎ 所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，‎ 所以f(x)在[－5,1]上是减少的，‎ f(x)在[1,5]上是增加的．‎ 所以f(x)min＝f(1)＝1，‎ f(x)max＝f(－5)＝37.‎ ‎(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图像开口向上，对称轴为x＝－a.‎ ‎①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f(x)max＝f(5)＝27＋‎10a，‎ f(x)min＝f(－5)＝27－‎10a.‎ ‎②当－5<－a≤0，即0≤a<5时，函数图像如图所示．‎ 由图像可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，‎ 4‎ f(x)max＝f(5)＝27＋‎10a.‎ ‎③当0<－a<5，即－52x＋‎2m＋1，‎ 化简得x2－3x＋1－m>0.‎ 设g(x)＝x2－3x＋1－m，‎ 则只要g(x)min>0，‎ 因为x∈[－1,1]时，g(x)是减少的，‎ 所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，‎ 因此有－1－m>0，得m<－1，‎ 即a的取值范围为(－∞，－1)．‎ 4‎