浙江专版2019-2020学年高中数学课时跟踪检测八生活中的优化问题举例新人教A版选修2-2
课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例
1．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
解析：选C 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )
A．6时 B．7时
C．8时 D．9时
解析：选C y′＝－t2－t＋36
＝－(t＋12)(t－8)．
令y′＝0，
得t＝8或t＝－12(舍去)，
则当6≤t<8时，y′>0，当8
400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．
5．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为( )
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
解析：选D 设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底的面积为＝16(m2)，
则长为x m的一边的邻边长度为m，
l＝16×15＋×12＝240＋72，
所以l′＝72.
令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)，当04时，l′>0.故当x＝4时，l有极小值，也是最小值，且最小值为816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．
总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.
∴当x＝10时，L有最大值45.6.
答案：45.6
7．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为________．
7
解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 当00；当0)，
y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，
y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
答案：25
9.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2 m．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．
解：设休闲广场的长为x m，则宽为 m，绿化区域的总面积为S(x) m2.
则S(x)＝(x－6)＝2 424－
＝2 424－4，x∈(6,600)．
∴S′(x)＝－4＝，
令S′(x)<0，得600，得60，
故当x∈(0,80)时，函数h(x)为减函数，
当x∈(80,120)时，函数h(x)为增函数，
∴当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为
∴a＝＝200.
故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．
B级——高考能力达标
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
7
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：选C y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0. 所以当x＝9时，y取得最大值．
2．某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )
A．32 m,16 m B．30 m,15 m
C．40 m,20 m D．36 m,18 m
解析：选A 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x m，则长为 m，因此新墙总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－，令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64，∴堆料场的长为＝32 (m)．
3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为( )
A．110元 B．115元
C．120元 D．125元
解析：选B 依题意可得，
利润为L＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000(0＜x＜200)．
L′＝－2x＋230，令－2x＋230＝0，
解得x＝115.
因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大．
4．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D.πr2
解析：选A 设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，
则S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.
∴S＝4π. 令(r2r－r)′＝0得r1＝r.
此时S＝4π·r·＝4π·r·r＝2πr2.
5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x
7
吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)，
x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．
答案：20
6.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________ m时，帐篷的体积最大．
解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为＝(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋·(8＋2x－x2)＝(8＋2x－x2)＝(16＋12x－x3)，V′＝(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大．
答案：2
7．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数y＝f(x)．
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解：(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件．由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.
则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)
＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432.
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
7
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
9 072
8 664
11 664
0
所以当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，f(21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．
8．两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和．记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
(1)将y表示成x的函数f(x)；
(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．
解：(1)根据题意∠ACB＝90°，|AC|＝x km，|BC|＝ km，且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为，对城B的影响度为，因此，总影响度y＝＋(00，f(x)为增函数．
故在x＝4处，函数f(x)取得极小值，也是最小值．即垃圾场离城A的距离为4 m时，对城A和城B的总影响最小．
7
7
