数学卷·2018届广东省佛山市一中高二第一次段考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届广东省佛山市一中高二第一次段考数学试卷 （解析版）

广东省佛山市一中高二第一次段考数学 一、选择题：共12题 ‎1．(2013·扬州中学月考)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个,调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②.则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)‎ A.分层抽样法、系统抽样法 B.分层抽样法、简单随机抽样法 C.系统抽样法、分层抽样法 D.简单随机抽样法、分层抽样法 ‎【答案】B ‎【解析】本题考查三种抽样方法.调查①中,甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异,故用分层抽样;调查②中,样本数较少,故用简单随机抽样,故选B.‎ ‎ ‎ ‎2．下列命题正确的个数是 ‎①有两个平面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱 ‎②棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面   ③圆台中平行于底面的截面是圆 ‎④以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查几何体的特征的判定，明确几何体的定义是解决问题的关键.①有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫棱柱，故①错误；‎ ‎②棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，故②错误；‎ ‎③正确；‎ ‎④以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥，故④错误.‎ ‎ ‎ ‎3．从分别写有的五张卡片中任取两张，这两张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】考查了古典概型，要注意古典概型和几何概型的区别，同时要正确计算中基本事件空间和随机事件A包含的基本事件. 从5张卡片中任取2张，试验包含的基本事件有种，符合题意的有AB,BC,CD,DE，四种结果，所以由古典概型公式得到.‎ ‎ ‎ ‎4．如图，在圆中，是弦的三等分点，弦分别经过点，若，则线段的长为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力. 由相交弦定理可得：,即,所以同时，即，所以.‎ ‎ ‎ ‎5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积等于 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】考查学生灵活运用斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积与它的直观图的面积之间的关系是 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积与它的直观图的面积之间的关系是先求出直观图即正方形的面积为，所以原平面四边形的面积等于.‎ ‎ ‎ ‎6．执行如下图所示的程序框图(算法流程图)，输出的结果是 QUOTE ‎ A.9 B.121 C.130 QUOTE  D.17021 QUOTE ‎ ‎【答案】B ‎【解析】考查程序框图，要求学生能正确的按照流程图运算，按步循环.‎ 第一次运行结果是；‎ 第二次运行结果是；‎ 第三次运行结果是；‎ 然后,退出循环，输出.‎ ‎ ‎ ‎7．若圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 A.3:2 B.2:1 C.4:3 D.5:3‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查圆锥的侧面展开图、表面积、扇形的弧长公式，考查了空间想象能力.设圆锥的底面半径r，由题意可知，l=3r，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 ‎ ‎ ‎8．在长为的线段上任取一点 QUOTE .现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面积小于的概率为 QUOTE ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键. 考查几何概型，因为,所以点应在距点4cm以内，或距点4cm以内的范围内选取，因此点的区间长度是8cm，总体的区间长度是12cm,概率为.‎ ‎ ‎ ‎9．已知表示两条不同直线,表示两个不重合的平面,则给出下列四个命题:‎ ‎①若则;    ②若则;‎ ‎③若,则;        ④若,则.‎ 其中正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎①若则或故①不正确;‎ ‎②若则或相交,故②不正确;‎ ‎③若,则,故③正确;‎ ‎④若,则或相交,故④不正确;所以正确的个数为1.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎10．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 根据上表可得回归方程中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查了线性回归方程的求解方法.由题意可得样本均值点为，代入方程可得，所以当广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，故选B.‎ ‎ ‎ ‎11．如图，分别与圆切于点，延长与圆交于另一点.给出下列三个结论：①；②；③.其中正确结论的序号是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线长定理，考查圆的切割线定理，考查切割线构成的两个相似的三角形，本题是一个综合题目. 根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，有正确，同理，根据切割线定理，正确，根据切割线定理知，所以③不正确，故选A.‎ ‎ ‎ ‎12．如图，在棱长为1的正方体 QUOTE  中，点分别是棱 的中点，是侧面 QUOTE  内一点，若 QUOTE ，则线段 QUOTE  长度的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属难题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．‎ 如下图所示：‎ 分别取棱的中点，连接，连接，‎ 为所在棱的中点，，‎ ‎，又平面平面，‎ 平面；‎ ‎，∴四边形为平行四边形，‎ ‎，又平面，平面，‎ 平面，‎ 又，∴平面平面，‎ 是侧面内一点，且平面，‎ 则必在线段上，‎ 在中，，‎ 同理，在中，求得 ，‎ 为等腰三角形，‎ 当在中点时，此时最短，位于处时最长，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以线段A1P长度的取值范围是．‎ 二、填空题：共4题 ‎13．将一钢球放入底面半径为cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是 cm.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】考查圆柱和球的体积公式. 由题意得，设球的半径为，解得.‎ ‎ ‎ ‎14．已知轴截面为正方形 QUOTE  的圆柱的体积为 QUOTE ，则从点 QUOTE 沿圆柱的侧面到相对顶点 QUOTE  的最短距离是               .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考查了圆柱的体积公式和侧面积公式，注意圆柱的一半侧面展开的仍是一个矩形. 设圆柱的底面半径为,因为圆柱的轴截面为正方形，则圆柱的体积为，所以.则点 QUOTE 沿圆柱的侧面到相对顶点 QUOTE  的最短距离是一个长为，高为的矩形的面对角线，所以为.‎ ‎ ‎ ‎15．如图，在正方形中，是的中点，与交于点，则与四边形的面积之比是     .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查平面几何证明、三角形相似，考查了逻辑推理能力.易知三角形AFG与三角形BCG相似，且AF：BC=1:2，由三角形BCG的BC边上的高等于,所以与四边形的面积之比是 ‎ ‎ ‎16．图是某几何体的三视图(单位：  QUOTE )，则该几何体的体积为       QUOTE ，表面积为       QUOTE .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是：底面是直角边长分别为3、4的直角三角形、高是2的三棱锥，所以该几何体的体积V=cm3；表面积S=2‎ 三、解答题：共6题 ‎17．某高校在 2014 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100QUOTE  名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.‎ ‎       ‎ ‎(1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据，再完成频率分布直方图.‎ ‎(2) 为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?‎ ‎【答案】(1) 由题意可知，第2组的频数为 QUOTE ，第3组 的频率为 频率分布直方图如下：‎ ‎(2)因为3，4，5 组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为第3组：  QUOTE (人)，第4组：  QUOTE (人)，第5组：  QUOTE 人，所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1 人.‎ ‎【解析】本题主要考查频率分布表与频率分布直方图、分层抽样，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)由样本容量易求①的值，由频率的求法可得②的值；(2)求出第3，4，5组的学生总数，可得抽样比，则结果易得.‎ ‎ ‎ ‎18．已知关于 QUOTE 的二次函数 QUOTE .‎ ‎(1) 设集合 QUOTE  和 QUOTE ，分别从集合中随机取一个数作为 QUOTE  和 QUOTE ，求函数在区间上是增函数的概率.‎ ‎(2) 设点是区域 QUOTE  内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率.‎ ‎【答案】(1) 要使函数 QUOTE 在区间 QUOTE 上是增函数，需 QUOTE  且 QUOTE ，即  QUOTE  且 QUOTE .‎ 所有 QUOTE  的取法总数为 QUOTE  个.‎ 满足条件的 QUOTE 有 共16 个，‎ 所以所求概率 QUOTE .‎ ‎(2) 如图，求得区域 QUOTE  的面积为 QUOTE .‎ 由 QUOTE  求得 QUOTE .‎ 所以区域内满足 且 的 面积为 QUOTE .所以所求概率 QUOTE .‎ ‎【解析】本题主要考查函数的性质、古典概型与几何概型、线性规划的应用，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)由二次函数的性质，结合题意可得 QUOTE  且 QUOTE ，求出所有 QUOTE  的取法总数，再从中找出所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式求解即可；(2)根据题意，求出表示图形的面积，再求出表示图形的面积，利用几何概型的概率公式求解即可.‎ ‎ ‎ ‎19．如图，在三棱锥A-BCD中，都是正三角形，且 分别是棱的中点 ‎⑴求异面直线AD和EC所成的角的大小 ‎⑵求证：直线HG平面EFC ‎【答案】(1) E,F分别为AB,BD的中点， EFAD,且EF=,‎ AD与EC所成的角为或其补角,与为正三角形 ‎,‎ 在中，‎ ‎⑵连接交CE于O点,连接FO, E,H为AB,AC的中点，‎ O为的重心，,‎ E,H分别为BD,FD的中点，,‎ FO平面EFC,HG平面EFC  直线HG平面EFC.‎ ‎【解析】本题主要考查异面直线所成的角、线面平行的判定与性质、余弦定理，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.(1)由题意，易知AD与EC所成的角为或其补角, 在中，用求解即可；(2) 连接交CE于O点,连接FO,证明，再利用线面平行的判定定理即可证明结论.‎ ‎ ‎ ‎20．如图，已知正方体的棱长为分别是棱上的点，且.‎ ‎(1) 平面AMN平面 ‎(2) 平面 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.‎ ‎【答案】(1)在正方体中， ANDC 又DC平面,AN平面， AN平面 同理，AM平面,又,平面AMN平面 ‎(2)记平面 将正方体分成两部分的下部分体积为，上部分体积为，‎ 如图，连接，‎ 则几何体 均为三棱锥，所以====‎ 从而===，‎ 所以.所以平面分此正方体的两部分体积的比为.‎ ‎【解析】本题主要考查线面、面面平行的判定与性质、空间几何体的体积，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.(1)易得ANDC，利用线面平行的判定定理可得AN平面，同理证明，则易得结论；(2) 连接，则几何体均为三棱锥，易得，结论易得.‎ ‎ ‎ ‎21．如图，在正四棱锥P-AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA=，B，C分别 为AM，MD的中点.F为棱PE的中点，平面ABF 与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K K H G F E B C M D A P ‎.‎ ‎⑴求证：AB∥FG；‎ ‎⑵求正四棱锥P-AMDE的外接球的表面积 ‎【答案】(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.‎ 又因为AB平面PDE，DE平面PDE 所以AB∥平面PDE.‎ 因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，‎ 所以AB∥FG.‎ 连接AD,EM，相交于，易得=,.‎ ‎,由正四棱锥P-AMDE的对称性，得正四棱锥P-AMDE得外接球球心在线段上，不妨设为O点。设OA=OP=R,则,‎ 正四棱锥P-AMDE的外接球的表面积为 ‎【解析】本题主要考查线面平行的判定与性质、球的性质，考查了空间想象能力、逻辑推理能力与计算能力.(1)证明AB∥平面PDE，再利用线面平行的性质定理则可得结论；(2) 连接AD,EM，相交于，易得正四棱锥得外接球球心在线段上，根据球的性质求出球的半径即可.‎ ‎ ‎ ‎22．如图所示， 为的直径， ，‎ 以点 为切点的切线与 的延长线交于点.‎ ‎(1)是否等于? 为什么?‎ ‎(2) 若，求的半径；‎ ‎(3) 在(2)的条件下，求的正弦值.‎ ‎【答案】(1).理由如下：‎ 连接 ，由为直径，得.‎ 又切于 ，，‎ ‎.又四边形内接于，‎ ‎，， .‎ ‎(2) .‎ 又由题意知，‎ ‎， 的半径为5.‎ ‎(3) 过作 于.根据(2)可求，‎ 在 中，可求得.由题意知，‎ ‎，.‎ ‎【解析】本题主要考查圆的性质、三角形相似、弦切角定理，考查了逻辑推理能力.(1)由与A为切点，可得，则结论易得；(2)由与易求结果；(3) 过作 于，由，求出DF，则结果可得.‎ ‎ ‎