高中数学人教a版选修4-1知能达标演练:2-4弦切角的性质 含解析

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高中数学人教a版选修4-1知能达标演练:2-4弦切角的性质 含解析

一、选择题 ‎1.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F.已知∠B=50°,∠C=60°,连接OE、OF、DE、DF,那么∠EDF等于 ‎(  ).                  ‎ A.40°          B.55°‎ C.65°          D.70°‎ 解析 ∵∠B=50°,∠C=60°,‎ ‎∴∠A=70°,∴∠EOF=110°,‎ ‎∴∠EDF=55°.‎ 答案 B ‎2.如图所示,AB是⊙O的直径,EF切⊙O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC的长为 ‎(  ).‎ A.2 B.3‎ C.2 D.4‎ 解析 连接BC,则∠ACB=90°,‎ 又AD⊥EF,‎ ‎∴∠ADC=90°,‎ 即∠ADC=∠ACB,‎ 又∵∠ACD=∠ABC,‎ ‎∴△ABC∽△ACD,‎ ‎∴AC2=AD·AB=12,‎ 即AC=2.‎ 答案 C ‎3.如图所示,经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P,若∠CAP=40°,∠ACP=100°,则∠BAC 所对的弧的度数为 ‎(  ).‎ A.40°  B.100°  C.120°  D.30°‎ 解析 ∵AP是⊙O 的切线,∴∠ABC=∠CAP=40°,‎ 又∠ACP=100°,∴∠BAC=∠ACP-∠ABC=60°,‎ 即∠BAC所对的弧的度数为120°.‎ 答案 C ‎4.如图所示,AB是⊙O直径,直线EF切⊙O于B,C、D为⊙O上的点,∠CBE=40°,=,则∠BCD的度数是 ‎(  ).‎ A.110° B.115° C.120° D.135°‎ 解析 由AB⊥EF得∠ABC=90°-∠CBE=50°,‎ ‎∴2∠ABC=100°,又=,∴50°,‎ ‎∴∠BCD=(180°+50°)=115°.‎ 答案 B 二、填空题 ‎5.如图所示,AD切⊙O于点F,FB,FC为⊙O的两弦,请列出图中所有的弦切角________________________.‎ 解析 弦切角的三要素:(1)顶点在圆上,(2)一边与圆相交,(3)一边与圆相切.三要素缺一不可.‎ 答案 ∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB ‎6.如图所示,已知AB与⊙O相切于点M,且=,且、的长为圆周长的四分之一,则∠AMC=________,∠BMC=________,∠MDC=________,∠MOC=______.‎ 解析 弦切角等于所夹弧所对的圆周角,等于所夹弦所对圆心角度数的一半.‎ 答案 45° 135° 45° 90°‎ ‎7.如图所示,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧上的点,若∠BAC=80°,那么∠BDC=________.‎ 解析 连接OB、OC,‎ 则OB⊥AB,OC⊥AC,‎ ‎∴∠BOC=180°-∠BAC=100°,‎ ‎∴∠BDC=∠BOC=50°.‎ 答案 50°‎ ‎8.如图所示,AC切⊙O于点A,∠BAC=25°,则∠B的度数为________.‎ 解析 ∵∠BAC=∠AOB,‎ ‎∴∠AOB=2×25°=50°,‎ ‎∴∠B=×(180°-50°)=65°.‎ 答案 65°‎ 三、解答题 ‎9.如图所示,已知BC是⊙O的弦,P是BC延长线上一点,PA与⊙O相切于点A,∠ABC=25°,∠ACB=80°,求∠P的度数.‎ 解 因为PA与⊙O相切于点A,‎ 所以∠PAC=∠ABP=25°.‎ 又因为∠ACB=80°,所以∠ACP=100°.‎ 又因为∠PAC+∠PCA+∠P=180°,‎ 所以∠P=180°-100°-25°=55°.‎ ‎10.如图所示,已知四边形ABCD内接于⊙O,∠C=130°,AD是⊙O的直径,过B作⊙O的切线FE,求∠ABE的度数.‎ 解 因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠C=130°,所以∠A=50°.‎ 连接OB,则∠ABO=50°,所以∠AOB=80°.‎ 又因为∠ABF=∠AOB=40°,‎ 所以∠ABE=180°-∠ABF=180°-40°=140°,‎ 即∠ABE=140°.‎ ‎11.(拓展深化)如图所示,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,BD∥XY,AC、BD相交于E.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△ACD;‎ ‎(2)若AB=‎6 cm,BC=‎4 cm,求AE的长.‎ ‎(1)证明 因为XY是⊙O的切线,所以∠1=∠2.‎ 因为BD∥XY,所以∠1=∠3,∴∠2=∠3.‎ 因为∠3=∠4,所以∠2=∠4.‎ 因为∠ABD=∠ACD,又因为AB=AC,‎ 所以△ABE≌△ACD.‎ ‎(2)解 因为∠3=∠2,∠ABC=∠ACB,‎ 所以△BCE∽△ACB,=,AC·CE=BC2.‎ 因为AB=AC=‎6 cm,BC=‎4 cm,‎ 所以6·(6-AE)=16.所以AE= cm.‎
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