湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(3)

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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(3)

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(三)‎ 姓名: 班级 : 分数 : ‎ 一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.定义集合运算: .设,,则集合的所有元素之和为( )‎ A.16 B‎.18 C. 20 D.22‎ ‎2.已知是等比数列,,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概率为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知、为非零的不共线的向量,设条件;条件对一切,不等式恒成立.则是的(  )‎ A.必要而不充分条件       B.充分而不必要条件 C.充分而且必要条件       D.既不充分又不必要条件 ‎5.设函数定义在上,给出下述三个命题:‎ ‎①满足条件的函数图象关于点对称;②满足条件的函数图象关于直线对称;③函数与在同一坐标系中,其图象关于直线对称.其中,真命题的个数是 ‎ ‎( )‎ A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ ‎6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和,、分别为、的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:‎ ‎①弦、可能相交于点 ②弦、可能相交于点 ‎③的最大值为5 ④的最小值为1‎ 其中真命题为( )‎ A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④‎ ‎7.设,,,,则的大小关系是(  )‎ ‎ A.        B.‎ ‎ C.        D.‎ ‎8. 设函数,且,,则( )‎ A.2 B‎.1 C.0 D.‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,共48分. 请将正确的答案填在横线上.)‎ ‎9.在平面直角坐标系中,定义点、之间的“直角距离”为 若到点、的“直角距离”相等,其中实 数、满足、,则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为  .‎ ‎10.已知集合,若点、点满足且 ‎,则称点优于. 如果集合中的点满足:不存在中的其它点优于,则 所有这样的点构成的集合为              .‎ ‎ 11.多项式的展开式在合并同类项后,的系数为 .(用数字作答)‎ ‎12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为 .‎ ‎13.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有 不同的染法.(用数字作答)‎ ‎14.某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,当时,‎ 其中,表示实数的整数部分,例如, 按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 .‎ 三、解答题(本大题共4小题,共62分. 要求有必要的解答过程.)‎ ‎15.(本小题满分14分)设实数,求证:‎ 其中等号当且仅当或成立,为正实数.‎ ‎16.(本小题满分14分)甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军).对于每局比赛,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为.如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”.试求此项赛事爆出冷门的概率.‎ ‎17. (本小题满分16分)已知函数在区间上的最小值为,令,,‎ 求证:‎ ‎18. (本小题满分18分)过直线上的点作椭圆的切线、,切点分别为、,联结 ‎(1)当点在直线上运动时,证明:直线恒过定点;‎ ‎(2)当∥时,定点平分线段 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(三)详细解答 ‎1.解:集合的元素:,,,,故集合的所有元素之和为16. 选A.‎ ‎2. 解: 设的公比为,则,进而.‎ 所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列. ‎ ‎.‎ 显然,. 选C.‎ ‎3. 解:5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑:第1类 ,一个场馆去3人,剩下两场馆各去1人,此类的方法数为种;第2类,一场馆去1人,剩下两场馆各2人,此类的方法数为种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为.选D.‎ ‎4. 解:设,,则表示与共线的任一向量,表示点到直线上任一点的距离,而表示点到的距离. 当时,由点与直线之间垂直距离最短知,,即对一切,不等式恒成立.反之,如果恒成立,则,故必为点到的垂直距离,,即. 选C.‎ ‎5.解:用代替中的,得.如果点在的图象上,则,即点关于点的对称点也在的图象上.反之亦然,故①是真命题.用代替中的,得.如果点在的图象上,则,即点关于点的对称点也在的图象上,故②是真命题.由②‎ 是真命题,不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.‎ ‎6. 解:假设、相交于点,则、共面,所以、、、四点共圆,而过圆的弦的中点的弦的长度显然有,所以②是错的.容易证明,当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时,最大为5,故③对.当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时,最小为1,故④对.显然是对的.①显然是对的.故选A.‎ ‎7. 解:因为,所以,‎ ‎;;‎ ‎;.‎ 又,故故选B.‎ ‎8. 解:由,令,则为奇函数且单调递增. ‎ 而,,‎ 所以,,,从而,‎ 即,故.选D.‎ ‎9. 解:由条件得     ①‎ 当时,①化为,无解;‎ 当时,①化为,无解;‎ 当时,①化为        ②‎ 若,则,线段长度为1;若,则,线段长度为;若,则,线段长度为4.综上可知,点的轨迹的构成的线段长度之和为.填.‎ ‎10. 解:优于,即位于的左上方,“不存在中的其它点优于”,即“点的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为 ‎.填.‎ ‎11.解:由多项式乘法法则可知,可将问题转化为求方程 ‎ ①‎ 的不超过去100的自然数解的组数.显然,方程①的自然数解的组数为 下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150,故只能有一个数超过100,不妨设.将方程①化为 记,则方程的自然数解的组数为 因此,的系数为.填7651.‎ ‎12.解:因为底面周长为3,所以底面边长为,底面面积为.‎ 又因为体积为,所以高为.该球的直径为,球的体积.填.‎ ‎13.解:第一行染2个黑格有种染法.第一行染好后,有如下三种情况:‎ ‎(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法;‎ ‎(2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列,这时第三行有种染法,第四行的染法随之确定;‎ ‎(3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有4种,而在第一、第二这两行染好后,第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列,这时第三行的染法有2种,第四行的染法随之确定.‎ 因此,共有染法为种.填90.‎ ‎14.解:令,则 ‎ 故是周期为5的函数. ‎ 计算可知:;;;;. 所以,‎ ‎;;…;.‎ 以上各式叠加,得 ‎;‎ 同理可得.‎ 所以,第2008棵树的种植点为.填.‎ ‎15.证明:由对称性,不妨设,令,则因,可得 ‎…………………………(3分)‎ 设,则对求导,得.…………(6分)‎ 易知,当时,,单调递减;当时,,单调递增. …………………………………………………………………(9分)‎ 故在或处有最大值且及两者相等.‎ 故的最大值为,即.………………(12分)‎ 由,得,其中等号仅当或成立.‎ ‎…………………………………………………………………………(14分)‎ ‎16. 解:如果某方以或获胜,则将未比的一局补上,并不影响比赛结果.于是,问题转化为:求“乙在五局中至少赢三局的概率”.…………(3分)‎ 乙胜五局的概率为;………………………………………………(6分)‎ 乙胜四局负一局的概率为;………………………………(9分)‎ 乙胜三局负二局的概率为……………………………(12分)‎ 以上结果相加,得乙在五局中至少赢三局的概率为……………(14分)‎ ‎17. 解:(1)因为,所以函数的定义域为,…(2分)‎ 又.……………………………………………(5分)‎ 当时, ,即在上是减函数,故 ‎…………………………(8分)‎ 因为,所以 ‎.‎ ‎…………………………………………………………………………(12分)‎ 又容易证明,所以 ‎,‎ ‎………………………………………………………………(14分)‎ ‎ .‎ 即 ……………………(16分)‎ ‎18. 证明:(1)设、、. 则椭圆过点、的切线方程分别为 ‎,.…………………………………………(3分)‎ 因为两切线都过点,则有 ‎,.‎ 这表明、均在直线 ①上.由两点决定一条直线知,式①‎ 就是直线的方程,其中满足直线的方程.…………………(6分)‎ ‎(1)当点在直线上运动时,可理解为取遍一切实数,相应的为 代入①消去得 ②‎ 对一切恒成立. …………………………………………………………(9分)‎ 变形可得 ‎ 对一切恒成立.故有 由此解得直线恒过定点.……………………………(12分)‎ ‎(2)当∥时,由式②知 解得 代入②,得此时的方程为 ③‎ 将此方程与椭圆方程联立,消去得 ‎…………………………………………(15分)‎ 由此可得,此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标,即 代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标,即 这就是说,点平分线段.……………………………(18分) ‎
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