数学文卷·2018届福建省长乐高级中学高二下学期期末考试(2017-07)

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数学文卷·2018届福建省长乐高级中学高二下学期期末考试(2017-07)

长乐高级中学 2016-2017 学年第二学期期末考 高二数学(文科)试卷 命题人:林经 审核人:陈振基 命题内容:集合至数列 班级 姓名 座号 成绩 说明:1、考试时间:120 分钟 满分:150 分 2、Ⅰ卷的答案用 2B 铅笔填涂到答题卡上;Ⅱ卷的答案有黑色签字笔填写在答题卡上。 一,选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.命题“ , ”的否定是( ) A. , B. , C. , D. , 2.已知集合 , ,则 为( ) A. B. C. D. 3.复数 等于( ) A. B. C. D. 4.条件 “ ”,条件 “ ”,则 是 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数 f(x)= 3x2 1-x+lg(3x+1)的定义域是(  ) A.(- 1 3,+∞)  B.(- 1 3,1) C.(- 1 3, 1 3) D.(-∞,- 1 3) 6.设函数 , ( ) (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 7.已知两个单位向量 的夹角为 ,满足 ,实数 的值是( ) A. B. C. D. 8.在 中,已知 , , ,则 等于( ) A. B. C. D. 或 9.要得到函数 的图象,只需将函数 的图像 2 1 1 log (2 ), 1, ( ) 2 , 1,x x x f x x− + − <=  ≥ 2( 2) (log 12)f f− + = x R∃ ∈ 2 2 1 0x x− + < x R∃ ∈ 2 2 1 0x x− + ≥ x R∃ ∈ 2 2 1 0x x− + > x R∀ ∈ 2 2 1 0x x− + ≥ x R∀ ∈ 2 2 1 0x x− + < { }3,2,1=A { }2 2 0,B x x x x= − − = ∈R A B ∅ { }1 { }2 { }2,1 i1 i3 + + i21+ i21− i2 − i2 + :P 1x < :q ( )( )2 1 0x x+ − < P q 1 2,e e 45° ( )1 2 1 λ⊥ −e e e λ 1 2 2 3 3 2 ABC∆ 5 2a = 10c = o30A = B o105 o60 o15 o105 o15 sin(4 )3y x π= − sin 4y x= (A)向左平移 个单位 (B) 向右平移 个单位 (C)向左平移 个单位 (D) 向右平移 个单位 10.函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图 1­1 所示,则(  ) 图 1­1 A.y=2sin(2x- π 6 ) B.y=2sin(2x- π 3 ) C.y=2sin(x+ π 6 ) D.y=2sin(x+ π 3 ) 11.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x(x∈N)的关系为 y=-x2+12x-25,则每辆客车营运多少年报废可使其 营运年平均利润最大(  ) A.2     B.4     C. 5     D.6 12.下列函数为奇函数的是( ) A. B. C. D. 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置.) 13.已知函数 ,其中 a 为实数, 为 的导函数,若 ,则 a 的值为 . 14. , , 三个数中最大数的是 . 15.已知 . = 16.已知数列 中, , ( ),则数列 的前 9 项和等于 。 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)某工厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的 全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少时,零件的实际出厂单价恰为 51 元; (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; y x= siny x= cosy x= x xy e e−= − tan 2α = tan 4 πα +   }{ na 11 =a 2 1 1 += −nn aa 2≥n }{ na 12 π 12 π 3 π 3 π ( ) ( )ln , 0,f x ax x x= ∈ +∞ ( )f x′ ( )f x ( )1 3f ′ = 32− 1 23 2log 5 (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少?如果订购 1 000 个,利 润又是多少?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本) 18. (本小题满分 12 分) 的内角 , , 所对的边分别为 , , .向量 与 平行. (I)求 ; (II)若 , 求 的面积. 19.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 中,已知向量 , , 。 (1)若 ,求 tan x 的值 (2)若 与 的夹角为 ,求 的值。 20. (本小题满分 12 分)已知函数 . (Ⅰ) 求 的最小正周期;(Ⅱ) 求 在区间 上的最小值. 21. (本小题满分 12 分)设函数 (1)求 在 处的切线方程。 (2)求 的单调区间和极值; 22. (本小题满分 14 分)等差数列 中, , . C∆ΑΒ Α Β C a b c ( ), 3m a b= ( )cos ,sinn = Α Β Α 7a = 2b = C∆ΑΒ xoy 2 2,2 2m  = −     ( )sin ,cosn x x= 0, 2x π ∈   m n⊥  m n 3 π x { }na 2 4a = 4 7 15a a+ = 2( ) 2 sin cos 2 sin2 2 2 x x xf x = − ( )f x ( )f x [ π 0]− , ( ) 2 4ln2 xf x x= − ( )f x 1x = ( )f x (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)设 ,求 的值. 长乐高级中学 2016-2017 学年第二学期期末考 高二数学(文科)试卷答案 一,选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.命题“ , ”的否定是( C ) A. , B. , C. , D. , 2.已知集合 , ,则 为( ) A. B. C. D. (2 答案 C)3.复数 等于( ) A. B. C. D. (3 答案 C) 4.条件 “ ”,条件 “ ”,则 是 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (4 答案 B) 5.函数 f(x)= 3x2 1-x+lg(3x+1)的定义域是(  ) A.(- 1 3,+∞)      B.(- 1 3,1) C.(- 1 3, 1 3) D.(-∞,- 1 3) 5.解析:由Error!⇒- 1 3 x R∀ ∈ 2 2 1 0x x− + ≥ x R∀ ∈ 2 2 1 0x x− + < { }3,2,1=A { }2 2 0,B x x x x= − − = ∈R A B ∅ { }1 { }2 { }2,1 i1 i3 + + i21+ i21− i2 − i2 + :P 1x < :q ( )( )2 1 0x x+ − < P q 【解析】由已知得 ,又 ,所以 ,故 . 7.已知两个单位向量 的夹角为 ,且满足 ,则实数 的值是( ) A. B. C. D. 7(答案 B) 8.在 中,已知 , , ,则 等于( ) A. B. C. D. 或 答案:D.解析:在 中,由 ,得 ,则 或 .故当 时, ;当 时, .故选 D. 9.要得到函数 的图象,只需将函数 的图像 (A)向左平移 个单位 (B) 向右平移 个单位 (C)向左平移 个单位 (D) 向右平移 个单位 9 解析: ,只需将函数 的图像向右平移 个单位答案选(B) 10.函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图 1­1 所示,则(  ) 图 1­1 A.y=2sin(2x- π 6 ) B.y=2sin(2x- π 3 ) C.y=2sin(x+ π 6 ) D.y=2sin(x+ π 3 ) 2( 2) 1 log 4 3f − = + = 2log 12 1> 2 2log 12 1 log 6 2(log 12) 2 2 6f −= = = 2( 2) (log 12) 9f f− + = 1 2,e e 45° ( )1 2 1 λ⊥ −e e e λ 1 2 2 3 3 2 ABC∆ 5 2a = 10c = o30A = B o105 o60 o15 o105 o15 ABC∆ sin sin a c A C = sin 2sin 2 c AC a = = o45C = o135C = o45C = o105B = o135C = o15B = sin(4 )3y x π= − sin 4y x= 12 π 12 π 3 π 3 π sin 4( )12y x π= − sin 4y x= 12 π 3.A [解析] 由图知,A=2,最小正周期 T=π,所以 ω= 2π π =2,所以 y=2sin(2x +φ).又因为图像过点( π 3 ,2),所以 2sin(2× π 3 +φ)=2,即 2π 3 +φ=2kπ+ π 2 (k∈Z),当 k=0 时,得 φ=- π 6 ,所以 y=2sin(2x- π 6 ). 11.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x(x∈N)的关系为 y=-x2+12x-25,则每辆客车营运多少年报废可使其 营运年平均利润最大(  ) A.2     B.4     C.5     D.6 1.解析:设年平均利润为 g(x),则 g(x)= -x2+12x-25 x =12-(x+ 25 x ). ∵x+ 25 x ≥2 x· 25 x =10,∴当 x= 25 x ,即 x=5 时, g(x)max=2. 答案:C 12.下列函数为奇函数的是( ) A. B. C. D. 【11 答案】D 考点:函数的奇偶性. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.已知函数 ,其中 a 为实数, 为 的导函数,若 ,则 a 的值为 . 【答案】3 【解析】 试题分析:因为 ,所以 . 14.(15 年北京文科) , , 三个数中最大数的是 . 【答案】 试题分析: , , ,所以 最大. 15.已知 . = 【答案】 ; y x= siny x= cosy x= x xy e e−= − tan 2α = tan 4 πα +   3− ( ) ( )ln , 0,f x ax x x= ∈ +∞ ( )f x′ ( )f x ( )1 3f ′ = ( ) ( )1 lnf x a x′ = + ( )1 3f a′ = = 32− 1 23 2log 5 2log 5 3 12 18 − = < 1 23 3 1= > 2 2log 5 log 4 2 3> > > 2log 5 16.已知数列 中, , ( ),则数列 的前 9 项和等于 。 【答案】27 考点:1.等差数列的定义;2.等差数列的前 n 项和. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)某工厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的 全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少时,零件的实际出厂单价恰为 51 元; (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少?如果订购 1 000 个,利 润又是多少?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本) 17.【解析】 (1)设订购 x 个,单价为 51 元. 60-(x-100)×0.02=51, ∴x=550. (2)当 0<x≤100 且 x∈Z 时,P=60; 当 100<x≤550 且 x∈Z 时, P=60-(x-100)×0.02 =62-0.02x; 当 x>550 且 x∈Z 时,P=51. ∴P= Error! (3)订购 500 个零件, 利润为 500×[(62-0.02×500)-40]=6 000(元); 订购 1 000 个零件,利润为 1 000×(51-40)=11 000(元). 18. (本小题满分 12 分) 的内角 , , 所对的边分别为 , , .向量 与 平行. (I)求 ; (II)若 , 求 的面积. 【答案】(I) ;(II) . }{ na 11 =a 2 1 1 += −nn aa 2≥n }{ na C∆ΑΒ Α Β C a b c ( ), 3m a b= ( )cos ,sinn = Α Β Α 7a = 2b = C∆ΑΒ 3 π 3 3 2 试题解析:(I)因为 ,所以 , 由正弦定理,得 又 ,从而 , 由于 ,所以 (II)解法一:由余弦定理,得 而 得 ,即 因为 ,所以 . 故 ABC 的面积为 . 考点:1、平行向量的坐标运算;2、正弦定理;3、余弦定理;4、三角形的面积公式. 19.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 中,已知向量 , //m n  sin 3 cos 0a B b A- = sinAsinB 3sinBcosA 0- = sin 0Β ≠ tan 3A = 0 A π< < 3A π= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + - 7 b 2,a = = 3 πΑ = 27 4 2c c= + - 2 2 3 0c c- - = 0c > 3c = ∆ 1 3 3bcsinA2 2= xoy 2 2,2 2m  = −     , 。 (1)若 ,求 tan x 的值 (2)若 与 的夹角为 ,求 的值。 【答案】(1) ;(2) . 【考点定位】本题考查向量数量积的坐标运算、两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角 等问题,属于中档题. 20. (本小题满分 12 分)已知函数 . (Ⅰ) 求 的最小正周期; (Ⅱ) 求 在区间 上的最小值. 【答案】(1) ,(2) 【解析】 ( )sin ,cosn x x= 0, 2x π ∈   m n⊥  m n 3 π x 1 5 12x π= 2( ) 2 sin cos 2 sin2 2 2 x x xf x = − ( )f x ( )f x [ π 0]− , 2π 21 2 − − 试题分析:先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形,把函数化为 形式,再利用周期公式 求出周期,第二步由 于 则可求出 ,借助正弦函数图象 找出在这个范 围内当 ,即 时, 取得最小值为: . 试题解析:(Ⅰ) (1) 的最小正周期为 ; (2) ,当 时, 取得最小值为: 21. (本小题满分 12 分)设函数 (1)求 在 处的切线方程。 (2)求 的单调区间和极值; 【答案】(1) 切线方程为 即 (2)单调递减区间是 ,单调递增区间是 ;极小值 ;(2) 证明详见解析. ( ) si n( )f x A x mω ϕ= + + 2T π ω= 0,xπ− ≤ ≤ 3 4 4 4x π π π− ≤ + ≤ 4 2x π π+ = − 3 4x π= − ( )f x 21 2 − − 2 1 1 cos( ) 2 si n cos 2 si n 2 si n 22 2 2 2 2 x x x xf x x −= − = ⋅ − ⋅ = 2 2 2si n cos2 2 2x x= + − 2si n( )4 2x π= + − ( )f x 2 21T π π= = 30, 4 4 4x x π π ππ− ≤ ≤ ∴ − ≤ + ≤ 3,4 2 4x x π π π+ = − = − ( )f x 21 2 − − ( ) 2 4ln2 xf x x= − ( )f x 1x = ( )f x ( ) 11 2f = ( ) 4f x x x ′ = − ( )1 1 4 3f ′ = − = − 1 3( 1)2y x− = − − 73 02x y+ − = (0,2) (2, )+∞ 4(1 ln 4)(2) 2f −= 所以, 的单调递减区间是 ,单调递增区间是 ; 在 处取得极小值 . 22. (本小题满分 42 分)等差数列 中, , . (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)设 ,求 的值. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)利用基本量法可求得 ,进而求 的通项公式;(Ⅱ)求数列前 n { }na 2 4a = 4 7 15a a+ = { }na 22 na nb n−= + 1 2 3 10b b b b+ + +⋅⋅⋅+ 2na n= + 2101 1,a d { }na ( )f x (0, )k ( , )k +∞ ( )f x x k= (1 ln )( ) 2 k kf k −= 项和,首先考虑其通项公式,根据通项公式的不同特点,选择相应的求和方法,本题 ,故可采取分组求和法求其前 10 项和. 试题解析:(I)设等差数列 的公差为 . 由已知得 , 解得 . 所以 . 考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法. 2n nb n= + { }na d ( ) ( ) 1 1 1 4 3 6 15 a d a d a d + = + + + = 1 3 1 a d =  = ( )1 1 2na a n d n= + − = +
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