2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期10月阶段数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期10月阶段数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期10月阶段数学（理）试题 一、单选题 ‎1．以下说法正确的有几个（ ）‎ ‎①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【解析】对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数.‎ ‎【详解】‎ ‎①错误，如空间四边形确定一个三棱锥. ②错误，直线可能和平面相交. ③正确，根据公理二可判断③正确. ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有个，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( )‎ A.①② B.②③ C.①③ D.①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三视图的投影关系判断即可．‎ ‎【详解】‎ 根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图投影关系“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”的运用．‎ ‎3．如图，在正方体中，M， N分别为棱的中点，以下四个结论：①直线DM与是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的个数为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.‎ ‎【详解】‎ ‎①：与是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；‎ ‎②：若平行，又平行且，所以平面平面，明显不正确，故错误；‎ ‎③：不共面，所以是异面直线，故正确；‎ ‎④：不共面，所以是异面直线，故正确；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.‎ ‎4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A． B． C．3 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 因为抛物线的焦点是，‎ 所以双曲线的半焦距，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以一条渐近线方程为，‎ 即，，故选A.‎ ‎【点考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想 ‎5．如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是（ ）‎ A． 四点不共面 B． 四点共面 C． 三点共线 D． 三点共线 ‎【答案】D ‎【解析】根据公理一、二、三逐一排除即可。‎ ‎【详解】‎ 直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点故面，故四点共面，所以A错。‎ 点若与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错。‎ 为中点，所以，，故，故C错。‎ 故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题属于中档题，考查公理一、二、三的应用，学生不易掌握，属于易错题。‎ ‎6．如图，正方体中，为棱的中点，用过点、、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图 ‎【详解】‎ 解：正方体中，‎ 过点的平面截去该正方体的上半部分后，‎ 剩余部分的直观图如图：‎ 则该几何体的正视图为图中粗线部分．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题．‎ ‎7．圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 设圆心坐标为,则由所求圆与抛物线的准线及x轴都相切可得  所以，故圆心为半径所以圆心在抛物线上,并与抛物线的准线及x轴都相切的圆方程为即，所以D选项是正确的 ‎8．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．‎ A．130 B．140 C．150 D．160‎ ‎【答案】D ‎【解析】 设直四棱柱中，对角线，‎ ‎ 因为平面,平面，所以，‎ ‎ 在中，，可得,‎ ‎ 同理可得，‎ ‎ 因为四边形为菱形，可得互相垂直平分，‎ ‎ 所以，即菱形的边长为，‎ ‎ 因此，这个棱柱的侧面积为，‎ ‎ 故选D.‎ ‎ 点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.‎ ‎9．已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆分别相交于点、、、，则（）‎ A． B．8 C．4 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据椭圆的对称性和椭圆的几何性质可得四条线段的和.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的上焦点，下焦点为，‎ 直线过上焦点，直线过下焦点且两条直线平行，‎ 又，因为椭圆是中心对称图形，‎ 故，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的几何性质，属于基础题，注意与焦点有关的问题，可利用椭圆的定义来处理.‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）‎ A．64 B． C．16 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据三视图知几何体是：三棱锥为棱长为的正方体一部分，直观图如图所示：是棱的中点，由正方体的性质得，平面的面积，所以该多面体的体积，故选D.‎ ‎11．已知椭圆C：的右焦点为F，直线l：，点，线段AF交椭圆C于点B，若，则＝(　　)‎ A. B.2‎ C. D.3‎ ‎【答案】A ‎【解析】设点，，易知F(1,0)，根据，得，，根据点B在椭圆上，求得n=1，进而可求得 ‎【详解】‎ 根据题意作图：‎ 设点，．‎ 由椭圆C： ，知，，，‎ 即，所以右焦点F(1,0)．‎ 由，得．‎ 所以，且.‎ 所以，.‎ 将x0，y0代入，‎ 得.解得，‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.‎ ‎12．已知椭圆的方程是，以椭圆的长轴为直径作圆，若直线与圆和椭圆在轴上方的部分分别交于两点，则面积的最大值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】用表示的面积后利用二次函数的性质可求其最大值.‎ ‎【详解】‎ 圆的方程为，‎ 故，，故，‎ 整理得到，其中，‎ 故，当且仅当时等号成立，‎ 所以面积的最大值为.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中的最值问题，往往需要构建目标函数，再借助常见函数的性质或基本不等式来求其最值，此类题为中档题.‎ 二、填空题 ‎13．抛物线的准线方程是，则＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 抛物线的标准方程为,‎ 则a＜0且2＝－，‎ 得a＝－.‎ ‎14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面，若球的体积为，则正方体的棱长为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】列出关于球的半径和棱长的方程组，解这个方程组可得正方体的棱长.‎ ‎【详解】‎ 设正方体的棱长为，其外接球的半径为，则 ‎，整理得到即，故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正方体的棱长及其外接球半径之间的关系，属于基础题.‎ ‎15．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于、两点，若，则的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，‎ 由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，‎ ‎∵∠MAN=60°，‎ ‎∴|AP|=b，‎ ‎∴|OP|=．‎ 设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．‎ 又tan θ=，‎ ‎∴，解得a2=3b2，‎ ‎∴e=．‎ 答案：‎ 点睛：‎ 求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足为，若与（其中为坐标原点）的面积之比为3：1，则点的坐标为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，利用焦半径公式可得，从而可得与（其中为坐标原点）的面积，由面积比可得，从而得到所求的的坐标.‎ ‎【详解】‎ 设，则，故，，‎ 因为，故即，‎ 故即，填.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，抛物线 上的点到焦点的距离为；抛物线 上的点到焦点的距离为.‎ 三、解答题 ‎17．某几何体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是，其中，，求该几何体的体积和表面积．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】根据俯视图的直观图和正视图、侧视图复原几何体，根据公式可求其体积和表面积.‎ ‎【详解】‎ 根据俯视图的直观图和正视图、侧视图复原的几何体如图所示：‎ 其中平面，中，到的距离为，，，‎ ‎.‎ 故，‎ 又在中，，‎ 在中，，‎ 故，因为锐角，故，‎ 所以，‎ 又，故表面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题考虑三视图及三棱锥体积、表面积的计算，根据三视图复原几何体时，注意复原前后点、线、面的关系，面积的计算可利用解三角形中的公式来进行计算，本题属于中档题．‎ ‎18．（1）已知四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，四边形为正方形，点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎（2）如图，在长方体中，分别是的中点，求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设的中点分别为，连接，则可证或其补角为异面直线与所成角，利用余弦定理可求此角的余弦值.‎ ‎（2）连接，，，则可证或其补角为异面直线与所成角，利用余弦定理可求此角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设的中点分别为，连接，‎ 在中，为中点，则，‎ 同理，而，故，‎ 所以四边形为平行四边形，从而，‎ 故或其补角为异面直线与所成角，‎ 设四棱锥的棱长为，则，，，‎ 故，故异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2）如图，连接，，，‎ 在中，为中点，则，‎ 在正方体中，因为，‎ 所以四边形为平行四边形，，‎ 故或其补角为异面直线与所成角，‎ 又，故.‎ 故异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角，注意可通过平移把空间角转化为平面角，再利用余弦定理求出角的大小或余弦值.‎ ‎19．（1）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，求该几何体的表面积．‎ ‎（2）圆台的较小底面半径为，母线长为，一条母线和底面的一条半径有交点且成，求圆台的侧面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据三视图可复原几何体，该几何体为半个圆柱中挖去半个圆柱，根据公式可算计算其表面积.‎ ‎（2）在圆台的轴截面中，可计算出底面半径，根据公式可求其侧面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）三视图对应的几何体如图所示：‎ 其表面积为.‎ ‎（2）圆台的轴截面如图所示：‎ 由题设可知：，过作的垂线，垂足为，则 ‎，故，故底面的半径为，‎ 故圆台的侧面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题（1）考查三视图及其几何体的复原，注意根据复原前后对应的点、线、面的位置关系，（2）考查圆台的基本量的计算，注意利用轴截面来实现各基本量关系的转化.‎ ‎20．过点作直线与曲线：交于两点，在轴上是否存在一点，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】存在满足题意，详见解析 ‎【解析】设直线，，，，联立直线方程和抛物线方程，消去后，利用韦达定理和弦长公式可求的长度及的中点坐标，再求出的坐标后求其到的距离，利用可求，从而可求.‎ ‎【详解】‎ 依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。‎ 设直线，，，，‎ 由消y整理，得①，‎ 由直线和抛物线交于两点，得即②，‎ 由韦达定理，得：.‎ 则线段的中点为.‎ 线段的垂直平分线方程为：，‎ 令，得，则，‎ 为正三角形，∴到直线的距离为，‎ ‎，，‎ ‎∴解得，满足②式，此时．‎ ‎【点睛】‎ 直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.‎ ‎21．椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b）‎ 又点P的坐标为（0，1），且＝－1‎ 于是，解得a＝2，b＝‎ 所以椭圆E方程为.‎ ‎（2）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1‎ A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）‎ 联立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0‎ 其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0‎ 所以 从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]‎ ‎＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1‎ ‎＝‎ ‎＝－‎ 所以，当λ＝1时，－＝－3，‎ 此时，＝－3为定值.‎ 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD 此时＝－2－1＝－3‎ 故存在常数λ＝1，使得为定值－3.‎ ‎【考点】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.‎ ‎22．已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点，,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）容易知道当P点为椭圆的上下顶点时，面积最大，再根据 椭圆的离心率为 可得到关于a，c的方程组，解该方程组即可得到a，c，b，从而得出椭圆的方程；（2）先容易求出AC，BD中有一条直线不存在斜率时，当直线AC存在斜率k且不为0时，写出直线AC的方程y=k（x+2），联立椭圆的方程消去y得到，根据韦达定理及弦长公式即可求得，把k换上即可得到．所以用k表示出，这时候设，t＞1，从而得到，根据导数求出的范围，从而求出的取值范围 试题解析：(1）由题意得，当点是椭圆的上、下顶点时，的面积取最大值 此时 所以 因为 所以，‎ 所以椭圆方程为 ‎（2）由（1）得椭圆方程为，则的坐标为 因为，所以 ‎①当直线与中有一条直线斜率不存在时，易得 ‎②当直线斜率存在且，则其方程为，设，‎ 则点、的坐标是方程组的两组解 所以 所以 所以 此时直线的方程为 同理由可得 令，则，‎ 因为，所以 所以 综上 ‎【考点】1.椭圆方程与性质；2.直线与椭圆相交的位置关系