2020届高三数学上学期第一次教学质量检查考试试题 文（含解析）

2020届高三数学上学期第一次教学质量检查考试试题 文（含解析）

蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试 数学（文史类）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 设集合，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎，‎ 故选 ‎2. 若复数满足，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选 ‎3. 离心率为的双曲线的方程是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于，，，故错误；‎ 对于，，，故错误；‎ 对于，，，故正确；‎ - 13 -‎ 对于，，，故错误 故选 ‎4. 若满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A. -3 B. 0 C. -4 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.‎ ‎5. 函数的大致图象为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，排除，当时，，排除 故选 - 13 -‎ ‎6. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线不相交”是“直线为异面直线”的必要不充分条件，选B.‎ ‎7. 已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点.若，则点的纵坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，焦点 ‎，且 故由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知是斜边的中点 的横坐标为 当时，的横坐标满足，故 故选 ‎8. 已知函数，其中表示不小于的最小整数，则关于的性质表述正确的是（ ）‎ A. 定义域为 B. 在定义域内为增函数 C. 周期函数 D. 在定义域内为减函数 ‎【答案】C ‎【解析】由表示不小于的最小整数，则，的取值范围为，故错误，由定义域可知其图象为不连续的图象，，故函数是周期函数，在定义域内不具有单调性，故选 - 13 -‎ ‎9. 已知，下列程序框图设计的是求的值，在“*”中应填的执行语句是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设，要计算，首先，下一个应该加，再接着是加，故应填.‎ ‎10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎11. 已知，设直线是曲线的一条切线，则（ ）‎ A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 ‎【答案】C - 13 -‎ ‎【解析】曲线的导数为，得 直线：在轴上的截距为，‎ 曲线，时，，可以知道 故选 点睛：本题考查的知识点是导数的几何意义。由导函数的几何意义可以知道函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值。本题首先要求出导函数，判断出导函数值，推出的范围，求出函数与的交点坐标，然后求解的范围即可。‎ ‎12. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.‎ - 13 -‎ 首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，是两个不同的平面向量，满足：，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，解得，当时，两个是相同的向量，故舍去，所以.‎ ‎14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】关于原点对称，则 ‎，‎ ‎，解得 ‎15. 将2本相同的语文书和2本相同数学书随机排成一排，则相同科目的书不相邻的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎16. 在中，角的对边分别为，且满足条件，，则的周长为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】中，‎ ‎，‎ - 13 -‎ 即 又，即，，则 解得，代入解得 的周长为 ‎.....................‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知数列满足，且.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：⑴由得到，进而得到；‎ ‎⑵求出，推出，利用裂项法求解数列的和即可；‎ 解析：（1）∵，∴，∴，‎ ‎∴数列是等差数列.‎ ‎（2）由（1）知，所以，‎ ‎∴，‎ - 13 -‎ ‎18. 如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面，点为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：⑴借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；⑵借助题设运用等积转化法求解 解析：（1）∵是等腰直角三角形，‎ ‎，点为的中点，∴．‎ ‎∵平面平面，‎ 平面平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面，∴．‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）由（１）知平面，‎ ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离．‎ ‎∵，是等边三角形，点为的中点 ‎∴ ‎ ‎∴‎ - 13 -‎ 点睛：本题考查的是空间的直线与平面平行判定定理的运用及点到面的距离的计算问题。第一问的解答时，务必要依据线面平行的判定定理中的条件要求，找出面内的线，面外的线，线线平行等三个缺一不可的条件；第二问三棱锥的体积的计算时，要运用等积转化法将问题进行转化，再运用三棱锥的体积公式进行计算。‎ ‎19. 某图书公司有一款图书的历史收益率（收益率=利润÷每本收入）的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）试估计平均收益率；（用区间中点值代替每一组的数值）‎ ‎（2）根据经验，若每本图书的收入在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据：‎ 据此计算出的回归方程为 ‎①求参数的估计值；‎ ‎②若把回归方程当作与的线性关系，取何值时，此产品获得最大收益，并求出该最大收益.‎ ‎【答案】(1)0.275(2)①②当时，图书公司总收入最大为360万元，预计获利为万元 ‎【解析】试题分析：⑴求出区间中值，取值概率，即可估计平均收益率；‎ ‎⑵①利用公式，求参数的估计值；‎ ‎②设每本图书的收入是元，则销量为，则图书总收入为（万元），，即可得到结论；‎ - 13 -‎ 解析：（1）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55‎ 取值的估计概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05‎ 平均收益率为 ‎ ‎ ‎（2）①，‎ 将代入，得 ‎②设每本图书的收入是元，则销量为 则图书总收入为（万元）‎ ‎，‎ 当时，图书公司总收入最大为360万元，预计获利为万元.‎ ‎20. 已知椭圆经过点，离心率.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】【试题分析】（1）依题意可知，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率斜率不存在时，不符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）因为椭圆，经过点，所以．‎ 又，所以，解得．‎ 故而可得椭圆的标准方程为：．‎ ‎（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，‎ - 13 -‎ 此时直线与椭圆相切，不符合题意．‎ 设直线的方程为，即，‎ 联立，得．‎ 设，，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以为定值，且定值为-1．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个，要确定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式，列方程组来求的椭圆的标准方程.考查直线和圆锥曲线位置关系，要注意直线斜率不存在的情况.‎ ‎21. 已知函数 ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 函数的极大值为函数的极小值为 (2) ‎ ‎【解析】试题分析：⑴求出的函数的导数，求出单调增区间和减区间，从而得到函数的极值；‎ ‎⑵求出导数，分解因式，对讨论，分①当②当③当时，分别求出最小值，并与比较，即可得到的取值范围。‎ 解析：1），，定义域为，‎ 又 .‎ 当或时；当时 ‎∴函数的极大值为 - 13 -‎ 函数的极小值为.‎ ‎（2）函数的定义域为，‎ 且 ，‎ 令，得或，‎ 当，即时，在上单调递增，‎ ‎∴在上的最小值是，符号题意；‎ 当时，在上的最小值是，不合题意；‎ 当时，在上单调递减，‎ ‎∴在上的最小值是，不合题意 故的取值范围为 点睛：本题考查了导数的综合应用，求单调区间和求极值，求最值，考查了分类讨论的思想方法，属于中档题。考查的知识点主要是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值。考查了学生的计算能力。‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；‎ ‎（2）若与相交于两点，求.‎ ‎【答案】(1) 曲线的普通方程为，曲线的普通方程为(2) ‎ ‎【解析】【试题分析】（1）对方程两边乘以，由此求得曲线的普通方程.对的参数方程利用加减消元法可求得的普通方程.（2）将的参数方程代入，利用韦达定理和直线参数的几何意义，来求的弦长的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）曲线的普通方程为，‎ 曲线的普通方程为 ‎（2）将的参数方程代入的方程，‎ - 13 -‎ 得，得：‎ 解得，‎ ‎∴．‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数与的图象恒有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2) ‎ ‎【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，分别求解每一段的解集.由此计算不等式的解集.（2）先求得函数的最小值，求得函数的最大值，比较这两个数值的大小，即可求得有公共点时，实数的取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）当时，，‎ 由得，；‎ ‎（2），‎ 该二次函数在处取得最小值，‎ 因为函数，在处取得最大值 故要使函数与的图象恒有公共点，‎ 只需要，即．‎ - 13 -‎