高中数学(人教A版)必修5能力强化提升及单元测试:2-4第2课时

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高中数学(人教A版)必修5能力强化提升及单元测试:2-4第2课时

第2课时 等比数列的性质及应用 双基达标 (限时20分钟) ‎1.在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于 (  ).‎ A.4 B.8 C.16 D.32‎ 解析 由等比数列的性质得a2·a6=a42=42=16.‎ 答案 C ‎2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于 (  ).‎ A.- B.-2 C.2 D. 解析 根据an=am·qn-m,得a5=a2·q3.‎ ‎∴q3=×=.∴q=.‎ 答案 D ‎3.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于 (  ).‎ A.3 B.2 C.1 D.-2‎ 解析 ∵y=(x-1)2+2,∴b=1,c=2.又∵a,b,c,d成等比数列,∴ad=bc=2.‎ 答案 B ‎4.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=________.‎ 解析 根据等比数列的性质:a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列.‎ ‎∴a5+a6=(a3+a4)·=120×=480.‎ 答案 480‎ ‎5.已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=________.‎ 解析 由等比数列的性质得a3a11=a72,‎ ‎∴a72=4a7.∵a7≠0,∴a7=4.‎ ‎∴b7=a7=4.‎ 再由等差数列的性质知b5+b9=2b7=8.‎ 答案 8‎ ‎6.已知等比数列{an}中,a2a6a10=1,求a3·a9的值.‎ 解 法一 由等比数列的性质,有a2a10=a3a9=a62,‎ 由a2·a6·a10=1,得a63=1,‎ ‎∴a6=1,∴a3a9=a62=1.‎ 法二 由等比数列通项公式,得 a2a6a10=(a1q)(a1q5)(a1q9)=a13·q15=(a1q5)3=1,‎ ‎∴a1q5=1,∴a3a9=(a1q2)(a1q8)=(a1q5)2=1.‎ 综合提高 (限时25分钟) ‎7.已知各项为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于 (  ).‎ A.5 B.7 C.6 D.4 解析 ∵a1a2a3=a23=5,∴a2=.‎ ‎∵a7a8a9=a83=10,∴a8=.‎ ‎∴a52=a2a8==50,‎ 又∵数列{an}各项为正数,∴a5=50.‎ ‎∴a4a5a6=a53=50=5.‎ 答案 A ‎8.在等比数列{an}中,a3=12,a2+a4=30,则a10的值为 (  ).‎ A.3×10-5 B.3×29‎ C.128 D.3×2-5或3×29‎ 解析 ∵a2=,a4=a3q,∴a2=,a4=12q.‎ ‎∴+12q=30.即2q2-5q+2=0,‎ ‎∴q=或q=2.‎ 当q=时,a2=24,‎ ‎∴a10=a2·q8=24×8=3×2-5;‎ 当q=2时,a2=6,‎ ‎∴a10=a2q8=6×28=3×29.‎ 答案 D ‎9.在等比数列{an}中,若an>0,a1·a100=100,则lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100=________.‎ 解析 由等比数列性质知:a1·a100=a2·a99=…=a50·a51=100.‎ ‎∴lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100=lg(a1·a2·a3·…·a100)=lg(a1·a100)50=lg 10050=lg 10100=100.‎ 答案 100‎ ‎10.三个数a,b,c成等比数列,公比q=3,又a,b+8,c成等差数列,则这三个数依次为________.‎ 解析 ∵a,b,c成等比数列,公比是q=3,‎ ‎∴b=3a,c=a·32=9a.‎ 又由等差中项公式有:2(b+8)=a+c,‎ ‎∴2(3a+8)=a+9a.∴a=4.‎ ‎∴b=12,c=36.‎ 答案 4,12,36‎ ‎11.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通项公式.‎ 解 ∵a1a5=a32,a3a5=a42,a3a7=a52,‎ ‎∴由条件,得a32-2a42+a52=36,‎ 同理得a32+2a3a5+a52=100,‎ ‎∴即 解得或 分别解得或 ‎∴an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n.‎ ‎12.(创新拓展)互不相等的3个数之积为-8,这3个数适当排列后可以组成等比数列,也可组成等差数列,求这3个数组成的等比数列.‎ 解 设这3个数分别为,a,aq,则a3=-8,即a=-2.‎ ‎(1)若-2为-和-2q的等差中项,则+2q=4,‎ ‎∴q2-2q+1=0,解得q=1,与已知矛盾,舍去;‎ ‎(2)若-2q为-和-2的等差中项,则+1=2q,‎ ‎∴2q2-q-1=0,解得q=-或q=1(与已知矛盾,舍去),‎ ‎∴这3个数组成的等比数列为4,-2,1;‎ ‎(3)若-为-2q与-2的等差中项,则q+1=,‎ ‎∴q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(与已知矛盾,舍去),‎ ‎∴这3个数组成的等比数列为1,-2,4.‎ 故这3个数组成的等比数列为4,-2,1或1,-2,4.‎
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