2018-2019学年湖北省黄石市高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年湖北省黄石市高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省黄石市高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“使得”的否定是 ( )‎ A．均有 B．均有 C．使得 D．均有 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：存在性命题的否定是全称命题. 命题“使得”的否定是均有，故选.‎ ‎【考点】导数的几何意义，直线方程.‎ ‎2．下列选项错误的是（ ）‎ A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”‎ B．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件 C．在△ABC中，“∠A＞∠B”是“sinA＞sinB”的充要条件 D．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题 ‎【答案】D ‎【解析】根据四种命题的定义，可以判断A的真假；由充要条件的定义，判断B，C的真假；根据两个命题之间的真假关系即可判断D的真假．‎ ‎【详解】‎ 对于选项Ａ，“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1，故选项A为真命题；‎ 对于选项B，由“x2﹣3x+2＞0”得，x＞2或x＜1；故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故选项B为真命题；‎ 对于选项C，在△ABC中，“∠A＞∠B”，则边a＞边b，由正弦定理知，sinA＞sinB；反之，也成立，故在△ABC中，“∠A＞∠B”是“sinA＞sinB”的充要条件,故C为真命题；‎ 对于选项D，在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题可能为真命题，也可能为假命题．故D为假命题；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查四种命题的定义、性质以及真假关系，充分、必要条件的判断，属于基础题．‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A．10 B．17 C．19 D．36‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：‎ ‎，故选C．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎4．已知点（1，2）在直线l：ax﹣y+1＝0上，则直线l的倾斜角为（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据点（1，2）在直线l：ax﹣y+1＝0上，代入可解得a，设直线l的倾斜角为θ，．利用倾斜角与斜率之间的关系即可得出．‎ ‎【详解】‎ 点（1，2）在直线l：ax﹣y+1＝0上，∴a﹣2+1＝0，解得a＝1．‎ 设直线l的倾斜角为θ，，则tanθ＝1，∴θ＝45°．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了倾斜角与斜率之间的关系、点与直线的位置关系，意在考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5．已知双曲线的离心率为2，则的两条渐近线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以，那么双曲线的渐近线方程是，故选A.‎ ‎6．袋中装有外形相同的四个小球，四个球上分别标有2，3，4，6四个数，现从袋中随机取出两个球，则两球上数字之差的绝对值不小于2的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝6，利用列举法求出两球上数字之差的绝对值不小于2包含的基本事件有4个，由此能求出两球上数字之差的绝对值不小于2的概率．‎ ‎【详解】‎ 现从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝6，‎ 两球上数字之差的绝对值不小于2包含的基本事件有：‎ ‎（2，4），（2，6），（3，6），（4，6），共4个，‎ ‎∴两球上数字之差的绝对值不小于2的概率为p＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型的概率的求法，属于基础题．‎ ‎7．从编号为01，02，……，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次选取，则选出来的第5个个体的编号为（ ）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0812‎ ‎1463‎ ‎0872‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．14 C．28 D．43‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据随机数表规则，选出来的五个个体的编号必须在01至50之间，并且不能有重复编号，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知选定的第一个数为65（第1行的第5列和第6列），按由左到右选取两位数（大于50的跳过、重复的不选取），‎ 前5个个体编号分别为08、12、14、43、28．‎ 故选出来的第5个个体的编号为28，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用随机数表选取样本的方法，解题时要熟练掌握基本概念，注意随机数表的具体要求，排除重复数字，属于基础题．‎ ‎8．若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为( )‎ A．36 B．16 C．20 D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】设则,即,又,故选B.‎ ‎9．若点P(1,1)是圆x2＋(y－3)2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　)‎ A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－3＝0 ‎ C．2x＋y－3＝0 D．2x－y－1＝0‎ ‎【答案】A ‎【解析】据题意可知直线AB与点P和圆心C(0,3)连线垂直，故kAB＝－＝，从而得直线AB方程为y－1＝(x－1)，整理得直线AB的方程为x－2y＋1＝0.‎ ‎10．已知命题p：∀m＞0．双曲线1的离心率为；命题q ‎：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则|MA|≤1的概率为．则下面结论正确的是（ ）‎ A．p是假命题 B．q是假命题 C．p∨q是假命题 D．p∧q是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】分别判定命题p、q的真假，再根据复合命题真假的真值表即可判断．‎ ‎【详解】‎ 对于命题p：∀m＞0．双曲线的a＝m，b＝m，∴c＝m，∴离心率为，故命题p是真命题；‎ 对于命题q：满足条件的正方形ABCD，如下图示：‎ 其中满足动点M到定点A的距离|MA|≤1的平面区域如图中阴影所示：‎ 则正方形的面积S正方形＝1，阴影部分的面积为，故动点M到定点A的距离|MA|≤1的概率P＝，故命题q为真命题．‎ 所以：p，q，p∨q，p∧q均为真命题；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合命题真假的判定，双曲线的几何性质应用与几何概型的概率求法，属于中档题．‎ ‎11．已知抛物线，是抛物线上一点，为焦点，一个定点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，‎ ‎∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，‎ 当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小为5﹣（﹣1）=6，‎ 故选：B 点睛：利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，由此可解抛物线中的最值问题。常见的有下列两种情况：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．‎ ‎12．已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A．（1，2） B．（2，+∞） C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设，，则过与渐近线平行的直线为，联立直线组成方程组，求出坐标，利用点与圆的位置关系，列出不等式然后求解离心率即可．‎ ‎【详解】‎ 如图，不妨设，，则过与渐近线平行的直线为，‎ 联立解得即 因在以线段为直径的圆内，‎ 故，化简得，‎ 即，解得，又双曲线离心率，‎ 所以双曲线离心率的取值范围是．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点与圆的位置关系的应用，直线与直线的位置关系应用，双曲线的简单性质的应用，意在考查学生数形结合以及数学运算能力．‎ 二、填空题 ‎13．某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的高级教师的人数为_____．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】根据分层抽样原理，计算应抽取的高级教师人数即可．‎ ‎【详解】‎ 根据分层抽样原理知，样本容量是38，则应抽取的高级教师人数为：‎ ‎3812．‎ 故答案为：12.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样方法的应用，属于基础题．‎ ‎14．已知具有线性相关关系的两个量之间的一组数据如表：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.5‎ ‎6.7 ‎ 且回直线方程是，则的值为____．‎ ‎【答案】4.8‎ ‎【解析】求出数据中心，代入回归方程即可求出m的值．‎ ‎【详解】‎ ‎2，．‎ ‎∴0.95×2+2.6，解得m＝4.8．‎ 故答案为4.8.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．‎ ‎15．若抛物线的准线和圆相切，则实数的值是__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】的圆心为，半径为，抛物线的准线是直线所以，得 ‎16．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．‎ ‎【答案】x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0‎ ‎【解析】由已知条件知圆心(－1，－2)，半径r＝5，弦长m＝8.‎ 设弦心距是d，则由勾股定理得r2＝d2＋2，解得d＝3.若l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，则d＝＝3，即9k2－6k＋1＝9k2＋9，解得k＝－，则直线l的方程为4x＋3y＋25＝0.所以直线l的方程是x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0.‎ 三、解答题 ‎17．已知△ABC的顶点为A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4）．‎ ‎（1）求BC边上的中线AD的长；‎ ‎（2）求AB边上的高所在的直线方程．‎ ‎【答案】（1）（2）x﹣7y﹣25＝0‎ ‎【解析】（1）由中点坐标公式先求出，再由距离公式能求出边上的中线的长；‎ ‎（2）先求出，即可求出边上的高所在的直线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵△ABC的顶点为A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4）．‎ ‎∴D（﹣1，﹣3），‎ ‎∴BC边上的中线AD的长：|AD|．‎ ‎（2）kAB7，‎ ‎∴AB边上的高所在的直线方程为：y+4（x+3），即x﹣7y﹣25＝0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线段长和直线方程的求法，涉及中点坐标公式、点斜式方程等基础知识的运用，意在考查学生的运算求解能力，属于基础题．‎ ‎18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．‎ ‎（1）若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2，3）（2）[1，2]‎ ‎【解析】（1）根据p∧q为真命题，所以p真且q真，分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时对应的x的取值范围，取交集，即可求出x的取值范围；‎ ‎（2）先分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时，对应的集合，再根据充分、必要条件与集合之间的包含关系，即可求出。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当a＝1时，若命题p为真命题，则不等式x2﹣4ax+3a2＜0可化为x2﹣4x+3＜0，‎ 解得1＜x＜3；‎ 若命题q为真命题，则由x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3．‎ ‎∵p∧q为真命题，则p真且q真，‎ ‎∴实数x的取值范围是（2，3）‎ ‎（2）由x2﹣4ax+3a2＜0，解得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a 设p：A＝{x|a＜x＜3a，a＞0}，q：B＝{x|2＜x＜3}‎ ‎∵p是q的必要不充分条件，∴BA．‎ ‎∴，解得1≤a≤2‎ ‎∴实数a的取值范围是[1，2]‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题的真假判断以及充分、必要条件与集合之间的包含关系应用，意在考查学生的转化能力与数学计算能力，属于中档题．‎ ‎19．某公司为了解共享单车的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（2）求这50名问卷评分数据的中位数；‎ ‎（3）估计样本的平均数．‎ ‎【答案】（1）a＝0.006（2）中位数为76（3）平均数为75.72‎ ‎【解析】（1）根据频率和为1，列方程，即可求得a的值；‎ ‎（2）利用中位数两边频率相等，列方程，即可求出中位数；‎ ‎（3）由频率分布直方图计算样本的平均数公式即可计算得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据频率和为1，得 ‎（0.004+a+0.0232+0.028+0.0232+0.0156）×10＝1，‎ 解得a＝0.006；‎ ‎（2）设这50名问卷评分数据的中位数为x，则 ‎0.04+0.06+0.232+（x﹣70）×0.028＝0.5，‎ 解得x＝76，‎ 所以中位数为76；‎ ‎（3）由频率分布直方图估计样本的平均数为 ‎45×0.04+55×0.06+65×0.232+75×0.28+85×0.232+95×0.156＝75.72．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用频率分布直方图估计样本的中位数和平均数，熟练掌握利用频率分布直方图估计总体的数字特征的方法是解题关键，属于基础题．‎ ‎20．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．‎ ‎（1）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率；‎ ‎（2）求“抽取的卡片上的数字满足|a﹣b|＜c”的概率．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求；‎ ‎（2）先求出基本事件包含的个数，再求出“抽取的卡片上的数字满足|a﹣b|＜c”的个数，根据古典概型的概率公式即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，（a，b，c）所有的可能为：‎ ‎（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），‎ ‎（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），‎ ‎（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），‎ ‎（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），‎ ‎（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件A，‎ 则“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种，所以P（A）＝1﹣P（）＝1．‎ 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为；‎ ‎（2）设“抽取的卡片上的数字满足|a﹣b|＜c”为事件B，‎ 则事件包括（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，3），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，3），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3）；共19种．‎ 所以P（B）．‎ 因此“抽取的卡片上的数字满足|a﹣b|＜c”的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型的概率求法，解题时要认真审题，注意列举法和对立事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎21．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，图象经过点A ‎（2，0）和点B（0，）过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为PQ的中点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设点，且MN⊥PQ于N，求直线PQ的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）直线PQ的方程为y（x﹣1），或y（x﹣1）‎ ‎【解析】（1）由图象经过点和点，可得，，即得椭圆的方程；‎ ‎（2）因为直线的斜率存在，设直线方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理求解出的坐标，根据，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵图象经过点A（2，0）和点B（0，），‎ ‎∴a＝2，b， ∴椭圆C的方程为1；‎ ‎（2）因为直线PQ的斜率存在，设直线方程为y＝k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 联立整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，‎ 由韦达定理知x1+x2，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k 此时N（，），又M（0，），则kMN，‎ ‎∵MN⊥PQ，∴kMN，解得k或k．‎ ‎∴直线PQ的方程为y（x﹣1），或y（x﹣1）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆标准方程的求法，以及直线与椭圆的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为N，试问是否存在常数λ∈R，使得且都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）y2＝4x（2）存在，λ＝2或 ‎【解析】（1）由双曲线方程求出焦点坐标，结合题意可得p＝2，即得抛物线方程；‎ ‎（2）依题意设，联立，消去，得．利用根与系数的关系结合，求得，再由求得的值，即可求得实数λ的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由双曲线，得，，‎ 则，即双曲线的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），‎ 由抛物线C：y2＝2px（p＞0），且其焦点与双曲线的一个焦点重合，‎ 可得，p＝2．‎ ‎∴抛物线方程为y2＝4x；‎ ‎（2）依题意，F（1，0），设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，消去x，得y2﹣4ty﹣4＝0．‎ ‎∴，…①‎ 且x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，‎ 又，则（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），即y1＝﹣λy2，‎ 代入①得，，消去y2得，，且N（﹣1，0），‎ ‎|NA|2+|NB|2＝（x1+1）2+y12+（x2+1）2+y22＝x12+x22+2（x1+x2）+2+y12+y22‎ ‎2‎ ‎4t（y1+y2）+8，‎ ‎＝（t2+1）（16t2+8）+4t•4t+8＝16t4+40t2+16．‎ 由16t4+40t2+16，解得或（舍），‎ ‎∴，故λ＝2或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单几何性质，抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，两点之间的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力和综合运用知识的能力，难度较高．‎