专题1-3 解析几何-2017年高考数学走出题海之黄金100题系列（江苏版）

专题1-3 解析几何-2017年高考数学走出题海之黄金100题系列（江苏版）

‎1．过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为 .‎ ‎【答案】0或 ‎ 2．已知双曲线上有一点到右焦点的距离为18，则点到左焦点的距离是 .‎ ‎【答案】8或28‎ ‎【解析】根据双曲线的定义可知点 到两焦点的距离的差的绝对值为，即又则 .‎ ‎3．椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为　　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件可知 ， ，所以椭圆方程为 ．‎ ‎4．已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为　　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎ 5．已知直线与圆交于两点，且，则　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 因此 ‎ ‎6．已知点是抛物线上的一个动点， 是圆： 上的一个动点，则的最小值为　　　．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 由题意可知圆的圆心坐标，半径为1；抛物线的焦点，虚线为抛物线的准线； 为点到虚线的距离且，由抛物线的性质可知， .故可知 ‎．‎ ‎7．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设可知圆心和半径分别为，结合图形可知四边形的面积 ‎，所以当最小时， 最小，而就是圆心到直线的距离，所以，所以四边形的面积的最小值是．‎ ‎8．已知双曲线（， ）的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为　　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知圆心到渐近线的距离等于,化简得,解得．‎ ‎9．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 10．已知是双曲线的左焦点，定点， 是双曲线右支上的动点，则的最小值是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线方程有,设双曲线的右焦点为,则,由双曲线的定义有,所以,当 三点在一条直线上时, 有最小值为.‎ ‎11．已知从圆： 外一点向该圆引一条切线，切点为， 为坐标原点，且有，则当取得最小值时点的坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示, 圆： ，圆心,半径 ,因为,所以为圆心,为圆的半径),所以,即.要使最小,只要最小即可. 当直线垂直于直线时,即直线的方程为时, 最小,此时点即为两直线的交点,得点坐标.‎ ‎12．已知离心率为的椭圆过点，点分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，且. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：以 为直径的圆过坐标原点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）点， 分别为椭圆的左右焦点，椭圆的方程为；‎ 由离心率为得： ； ‎ 过点得： ；‎ 所以， ， ；椭圆方程为； ‎ ‎（Ⅱ）由（1）知， ；令， ；‎ 当直线的斜率不存在时，直线方程为；‎ 此时， ，不满足；设直线方程为；‎ 代入椭圆方程得： ‎ ‎ ‎ ‎13．已知双曲线的左右两个顶点是， ，曲线上的动点关于轴对称，直线 与交于点，‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2） . ‎ ‎（2）过的直线若斜率不存在则或3，‎ 设直线斜率存在， ‎ ‎ ，‎ 则 ‎ 由（2）（4）解得代入（3）式得 ，‎ 化简得 ，‎ 由（1）解得代入上式右端得，‎ ‎ ,‎ 解得,‎ 综上实数的取值范围是 .‎ ‎14．已知平面内一动点与两定点和连线的斜率之积等于.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线： （）与轨迹交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（）;（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）设， ，‎ 联立方程组化简得： ,‎ 有两个不同的交点，‎ 由根与系数的关系得， ，‎ ‎ ，即且.‎ 设、中点为， 点横坐标， ，‎ ‎，‎ ‎ . ‎ ‎15．已知圆关于直线对称的圆为．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与圆交于两点， 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）存在直线和 所以有，‎ 解得： ，‎ 所以圆的方程为.‎ ‎ ，‎ ‎， ，‎ ‎ ‎ ‎16．已知椭圆的左、右两焦点分别为,椭圆上有一点与两焦点的连线构成的中，满足 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点与点关于原点对称，设直线的斜率分别为，且，求的值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）中应用正弦定理可求得，由椭圆的定义可得，从而由又可求得，可得椭圆标准方程；（2）设，得，求出，由可得，再计算可得．‎ 试题解析：‎ ‎(1)在 中，由正弦定理得： ‎ ‎， ‎ 所以 解得， ，所以椭圆的方程为： .‎ ‎17．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆， 是上一点， ，且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时，线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）本问主要考查求椭圆标准方程，由，可得，所以，则在中， ， ，再根据余弦定理及，可以求出的值，于是可以求出椭圆的方程；（2）本问主要考查直线与椭圆的综合应用，分析题意可知直线的斜率显然存在，故设直线方程为，再联立直线方程与椭圆方程，消去未知数得到关于的一元二次方程，根据韦达定理表示出两点横坐标之和及横坐标之积，于是设点 ， 将题中条件 转化为横坐标的等式，于是可以得出满足的方程，即可以证明总在一条直线上.‎ ‎（2）由题意可得直线的斜率存在，‎ 设直线的方程为，即，‎ 代入椭圆方程，整理得，‎ 设，则.‎ 设，由得 ‎（考虑线段在轴上的射影即可），‎ 所以，‎ 于是，‎ 整理得，（*）‎ 又，代入（*）式得，‎ 所以点总在直线上.‎ 考点：1.椭圆标准方程；2.直线与椭圆位置关系.‎ 点睛：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题时高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、分类讨论思想的考查.求定值问题常见的方法：（1）从特殊点入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点，（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.‎ ‎18．已知椭圆： （）的离心率为，点是椭圆的上顶点，点在椭圆上（异于点）.‎ ‎（Ⅰ）若椭圆过点，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线： 与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过点，证明：存在， .‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）由椭圆的对称性，不妨假设存在，使得.‎ 由题意得， ，椭圆： ，‎ 联立直线与椭圆的方程可得： ，‎ 解得，所以，‎ 因为， ，‎ ‎， ，‎ 即.‎ 记，又， ，所以函数存在零点，‎ 存在，使得.‎ ‎【点睛】先列方程组求出写出椭圆的标准方程，根据直线与椭圆相交，联立方程组后代入整理，求出点的横坐标，得出，由于，把替换为，得出，借助，得出关于的方程，构造函数利用零点原理说明函数存在零点，从而说明实数存在.‎ ‎19．已知为坐标原点,椭圆的左、右焦点分别为上顶点为,右顶点为,以为直径的圆过点,直线与圆相交得到的弦长为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点，与轴， 轴分别相交于两点，满足：①记的中点为,且两点到直线的距离相等；②记的面积分别为若当取得最大值时,求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由以为直径的圆过点，知，从而求出， ，由此能求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，则．由方程组，得，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，结合已知条件能求出的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为以为直径的圆过点,所以则圆的方程为 直线的方程为，则 ， ,所以,所以椭圆的方程为 因为两点到直线的距离相等，所以线段的中点与线段的中点重合，‎ 所以解得 于是， ‎ 由及可得 所以，当时， 有最大值 此时故 点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆与直线位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查整体思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，有一定难度；当直线与圆锥曲线相交时，联立方程组，结合韦达定理，利用三角形面积公式整理可得，故而可求其最大值.‎ ‎20．已知 ‎（1）求的轨迹 ‎（2）过轨迹上任意一点作圆的切线，设直线的斜率分别是，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下， 是否是定值，请说明理由，并加以证明.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（1）方法一：‎ 如图因为所以四边形是平行四边形 所以，‎ 由得 所以的轨迹是以为焦点的椭圆易知 ‎ 所以方程为 方法二：‎ 设由得 再得 移项 平方化简得： ‎ ‎（从发现是椭圆方程也可以直接得 ，分档批阅老师自己把握）‎ ‎（2）设，过的斜率为的直线为，由直线与圆相切可得 即： ‎ 由已知可知是方程（关于）的两个根，‎ 点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：‎ ‎①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．‎ ‎②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2‎ ‎＝1(A>0，B>0，A≠B)．‎ 解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎