2018-2019学年四川省宜宾市第四中学高二下学期期末模拟数学（理）试题 Word版

2018-2019学年四川省宜宾市第四中学高二下学期期末模拟数学（理）试题 Word版

‎2019年春四川省宜宾市四中高二期末模拟考试 理科数学试题 第I卷（共60分）‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将其编号选出，并涂在机读卡上的相应位置）‎ ‎1.已知命题p：，，则 A. ：， B. ：，‎ C. ：， D. ：，‎ ‎2.已知为虚数单位，则复数对应复平面上的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 第三 D. 四 ‎3.椭圆的焦距为 A. B. 8 C. D. 12‎ ‎4.曲线在点处的切线方程是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5.函数的大致图象为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.设，则“”是“”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎7.已知的二项展开式中含项的系数为，则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.中国古典数学有完整的理论体系，其代表我作有《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《数书九章》等，有5位年轻人计划阅读这4本古典数学著作，要求每部古典数学著作至少有1人阅读,则不同的阅读方案的总数是 ‎ A. 480 B. 240 C. 180 D. 120‎ ‎9.已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于 A.5 B.3 C. D.‎ ‎10.在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.双曲线的两个焦点为，，若P为其图象上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数的图象在处的切线方程为，若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数在上的最小值为__________．‎ ‎14.已知随机变量服从正态分布，若，，则．‎ ‎15.学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是或作品获得一等奖”；‎ 乙说：“作品获得一等奖”；‎ 丙说：“，两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“是作品获得一等奖”.‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．‎ ‎16.已知点是抛物线上上的一点，点是抛物线上的动点三点不共线），直线分别交轴于两点，且，则直线的斜率为 __________．‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（12分）已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为． ‎ ‎(1) 求的解析式； (2) 求过点的切线方程．‎ ‎18.（12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某高中数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）‎ 几何题 代数题 合计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？‎ ‎（2）以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校1500名女生中随机选6名女生，记6名女生选做几何题的人数为，求的数学期望和方差.‎ 附表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中.‎ ‎19.（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，平面为的中点，，，‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）如果二面角的正切值为2，求的值．‎ ‎20.（12分）已知椭圆的焦距为，且，圆与轴交于点，，为椭圆上的动点，，面积最大值为.‎ ‎（1）求圆与椭圆的方程；‎ ‎（2）圆的切线交椭圆于点，，求的取值范围.‎ ‎21.（12分）已知函数 ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.‎ ‎22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），圆的参数方程为（为参数）以为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线和圆的极坐标方程；‎ ‎（2）射线：（其中）与圆交于，两点，与直线交于点，求的取值范围.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ ‎2019年春四川省宜宾市四中高二期末模拟考试 理科数学试题答案 ‎1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 11.A 12.B ‎13.. 14.0.8 15.B 16.‎ ‎17.：（1）函数f（x）=ax3+bx2+cx的导数为f'（x）=3ax2+2bx+c， 依题，‎ 又f'（0）=﹣3即c=﹣3 ∴a=1，b=0， ∴f（x）=x3﹣3x ‎（2）解：设切点为（x0 ， x03﹣3x0）， ∵f'（x）=3x2﹣3∴切线的斜率为f'（x0）=3x02﹣3，∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），‎ 又切线过点A（2，2），‎ ‎∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），‎ ‎∴2x03﹣6x02+8=0，即为2（x0+1）（x0﹣2）2=0， 解得x0=﹣1或2，‎ 可得过点A（2，2）的切线斜率为0或9，‎ 即有过点A（2，2）的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），‎ 即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0 . ‎ ‎18.（1）由表数据得的观测值，根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）以列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校名女生中随机选名女生，记名女生选做几何题的人数为，则服从二项分布 ，根据二项分布的期望公式可得数学期望为 ，根据二项分布的方差公式可得方差为 .‎ ‎19.（1）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC，得AD⊥AC，从而证明AD⊥平面PAC．（2）法一，先利用三垂线定理作出二面角M-AC-D的平面角：连结DO,作MG⊥DO于G，作GH⊥AO于H，因为M是PD中点，且MG⊥DO，所以G为DO中点，且MG⊥平面ABCD，显然，∠MHG即为二面角M-AC-D的平面角.然后在直角三角形MHG中，可用a表示出的正切值，从而由已知即可求出a的值；法二，以OA为x轴，OP为y轴，O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量知亦可求．‎ 试题解析： （1）证明：由题意，∠ADC=45o，AD=AC =1,故∠DAC=90o 即DA⊥AC.又因为 PO⊥平面ABCD,‎ 所以，DA⊥PO，DA⊥平面PAC 4分 ‎（2）法一：连结DO,作MG⊥DO于G，作GH⊥AO于H，因为M是PD中点，且MG⊥DO，所以G为DO中点，且MG⊥平面ABCD，显然，∠MHG即为二面角M-AC-D的平面角. 8分 因为GH⊥AO，且G为DO中点，所以，而，故，PO="2MG=2." 12分 法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则,，，，‎ 设平面MAC的法向量为，，，则，所以的一个取值为 ‎10分 平面ACD的法向量为.‎ 设二面角的平面角为，‎ 因为，所以，a=2 ‎ ‎20.(1)因为，所以.①‎ 因为，所以点为椭圆的焦点，所以.‎ 设，则，所以.‎ 当时，，②‎ 由①，②解得，所以，.‎ 所以圆的方程为，椭圆的方程为.‎ ‎(2)①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为，解得.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.‎ 因为直线与圆相切，所以，即，‎ 联立，消去可得，‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎=‎ ‎=.‎ 令，则，所以=，‎ 所以=，所以.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎21.（1）函数的定义域为，‎ ‎，‎ 若，则 当或时，单调递增；‎ 当时，单调递减，‎ 若，则 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.‎ ‎（2）原题等价于对任意，有成立，‎ 设，所以，‎ ‎，‎ 令，得；令，得，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 为与中的较大值，‎ 设，‎ 则，‎ 所以在上单调递增，故，所以，‎ 从而，‎ 所以，即，‎ 设，则，‎ 所以在上单调递增，‎ 又，所以的解为，‎ 因为，所以正实数的取值范围为.‎ ‎22.（1）直线的直角坐标方程是，直线的极坐标方程是，‎ 圆的普通方程为，所以圆的极坐标方程是；‎ ‎（2），‎ 因为，所以的取值范围是.‎ ‎23.（1）当时，‎ 的解集为： ‎ ‎（2）由得：‎ 由，得：‎ 得（当且仅当或时等号成立），‎ 故的最小值为.‎