湖南G10教育联盟2018年4月高三联考数学（理）试题( 含答案）

湖南G10教育联盟2018年4月高三联考数学（理）试题( 含答案）

湖南G10教育联盟2018年4月高三联考理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数（是虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（ ）年 A．丙酉 B．戊申 C．己申 D．己酉 ‎ ‎5.下列说法正确的是（ ）‎ A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，”的否定是“，”‎ C．命题“若，则”的逆命题为真命题 D．命题“若，则或”为真命题 ‎ ‎6.若的展开式中常数项为，则的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎ ‎7.设函数，则下列命题正确的是（ ）‎ A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的最小正周期为，且在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象 ‎ ‎8.我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计的近似值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎10.平行四边形中，，，，是平行四边形内一点，且，如，则的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎11.已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）‎ A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，，分别是 内角，，的对边，，，，则 ．‎ ‎14.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，若，则 ．‎ ‎15.已知约束条件表示的可行域为，其中，点，点，若与的最小值相等，则实数等于 ．‎ ‎16.已知，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.设是数列的前项和，已知，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎18.某校高三年级有1000人，某次数学考试不同成绩段的人数．‎ ‎（Ⅰ）求该校此次数学考试平均成绩；‎ ‎（Ⅱ）计算得分超过141的人数；‎ ‎（Ⅲ）甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差．‎ ‎19.已知在直角梯形中，，，，将沿折起至，使二面角为直角．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若点满足，，当二面角为时，求的值.‎ ‎20.已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆：的切线与曲线相交于、两点，线段的中点为，求的最大值．‎ ‎21.，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；‎ ‎（Ⅱ）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，直线与曲线相交于点、，求 的值；‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，．　‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 湖南G10教育联盟2018年4月高三联考理科数学答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）∵，，‎ ‎∴当时，，得；‎ 当时，，‎ ‎∴当时，，即，‎ 又，‎ ‎∴是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎∴数列的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ ‎，‎ 当为偶数时，；‎ 当为奇数时，，‎ ‎∴‎ ‎18.解：（Ⅰ）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩.‎ ‎（Ⅱ，‎ 故141分以上的人数为人．‎ ‎（Ⅱ）的取值范围为0,1,2,3,4，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 期望，‎ 方差．‎ ‎19.解：（Ⅰ）梯形中，∵，，∴．‎ 又∵，，∴，∴，∴．‎ 折起后，∵二面角为直角，∴平面平面，‎ 又平面平面，，∴平面，‎ 又平面，∴，又∵，，‎ ‎∴平面，又∵平面，∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，，∴以为原点，，，方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，‎ 设，由，得得，取线段的中点，连接，则．‎ ‎∵，∴，又∵，，∴平面，‎ ‎∴平面的一个法向量为．‎ 设平面的一个法向量为，则即 取，则，‎ ‎∴，即，解得或．　‎ ‎∵，∴.‎ ‎20.解：（Ⅰ）由题意知解得，．‎ 所以椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）设，，，若直线的斜率为0，则方程为，此时直线与椭圆只有1个交点，不符合题意；‎ 若直线斜率不为0，则可以设为．‎ ‎∵与圆相切，∴，即，联立方程组消去，得，则，‎ ‎∴，∴，，即，‎ ‎∴，‎ 设，则，，‎ ‎∴当时等号成立，取得最大值．‎ ‎21.解：（Ⅰ）设切点为，‎ 则，，①‎ 和相切，则，，②‎ 所以，‎ 即，令，，所以单增，‎ 又因为，，所以，存在唯一实数，使得，且，‎ 所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．‎ ‎（Ⅱ）令，则，所以，‎ 令，则，由（Ⅰ）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，．‎ 当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去；‎ 当时，，又，，所以两个整数解为0,1，即所以，即；‎ 当时，，因为，在内大于或等于1，所以无整数解，舍去．‎ 综上，．‎ ‎22.解：（Ⅰ），即，即．‎ ‎（Ⅱ）因为直线的参数方程为标准形式：（为参数），‎ 代入曲线的方程得，‎ 则．‎ ‎23.解：（Ⅰ）由，得．‎ ‎（Ⅱ）由题意知，‎ 又，，‎ 所以，解得或．‎