2015年福建省普通高中毕业班质量检查(文数）

2015年福建省普通高中毕业班质量检查(文数）

‎2015年福建省普通高中毕业班质量检查 文 科 数 学 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎ 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎ 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎ 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s= 　　　　V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ，‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设，且，则等于 A．2 B．4 C． D．10‎ ‎2．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为3，则输出的的值为 A．1 : B．3 C．9 D．27‎ ‎3．不等式的解集为 A． : B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎4．“”是“”的 Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ‎5．已知满足则的最大值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面命题正确的是 Ａ．若∥，∥，则∥ Ｂ．若∥，，则∥ ‎ Ｃ．若∥，，则 Ｄ．若，，则 ‎7．在△中，内角，，的对边分别是，，，若，‎ ‎，则角等于 A． B． C． D．‎ ‎8．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为 A． B． C． D． ‎ ‎9．函数的图象大致是 A B D C ‎10．在等边中，,且D,E是边BC的两个三等分点，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎11．已知为双曲线的左焦点，直线过原点且与双曲线相交于两点．若，则△的周长等于 ‎ A． B． C．22 D．24 ‎ ‎12．已知是定义在上的函数，且满足,．若曲线在处的切线方程为，则曲线在处的切线方程为 ‎ ‎ A． B． C ． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎13．已知，则__________．‎ ‎14．已知函数若，则 __________．‎ ‎15．如图，函数的图象经过矩形的顶点 ‎．若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影 部分的概率等于__________．‎ ‎16．An系列的纸张规格如图，其特色在于：‎ ‎①A0，A1，A2，…，An所有规格的纸张的长宽比都相同；‎ ‎ ② A0对裁后可以得到两张A1，A1对裁后可以得到两张A2，…，An-1对裁后可以得到两张An．‎ 现有每平方厘米重量为克的A0，A1，A2，…，An纸各一张，若A4纸的宽度为厘米，则这（） 张纸的重量之和等于__________．（单位：克）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 已知函数的最小正周期为，图象过点．‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象是由函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度而得到，且在区间内是单调函数，求实数的最大值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证 至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：‎ ‎（Ⅰ）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用 水量都不超过30吨的概率；‎ ‎（Ⅱ）设该城市郊区和城区的居民户数比为，现将年人均 ‎ 用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一 梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思 想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ 某几何体的三视图及直观图如图所示，其中侧视图为等边三角形．‎ ‎（Ⅰ）若为线段上的点，求四棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）已知为线段的中点，试在几何体的侧面内找一条线段，使得该线段垂直于平面，且它在该几何体的侧视图上的投影恰为线段，并给予证明．‎ ‎20．(本小题满分12分) ‎ 已知中心在原点的椭圆的右焦点坐标为，离心率等于．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）证明斜率为1的所有直线与椭圆相交得到的弦的中点共线；‎ ‎（Ⅲ）图中的曲线为某椭圆的一部分，试作出椭圆的中心，并写出作图步骤．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且．‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，试问：是否存在非零整数，使得数列为递增数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎22．(本小题满分14分) ‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）判断的零点个数，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若有两个零点，证明：．‎ ‎2015年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 ‎ 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎ 1．C 2．A 3．D 4．A 5．C 6．C ‎ ‎ 7．A 8．D 9．B 10．B 11．C 12．D ‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．‎ ‎ 13．； 14．； 15．； 16．．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ）因为的最小正周期是，所以，得． ………………….2分 所以．‎ 又因为的图象过点，所以，‎ 因为，所以． ………………………………….5分 所以，即． …………………………………….6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由题设可得．‎ ‎………………………….…..8分 因为，所以，……………….…10分 要使函数在区间内是单调函数，‎ 只有，所以．‎ 因此实数的最大值为． ……………….…..12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，由题设可得．……………….8分 令，则，‎ 因此函数在上单调递增， …………………………….9分 令，则，‎ 因此函数在上单调递减， ………………………….10分 要使函数在区间内是单调函数，‎ 只有，因此实数的最大值为． …………………………….12分 ‎18．本小题主要考查古典概型、茎叶图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是： ‎ ‎（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10个． …………………………….3分 其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个．‎ ‎…………………………….6分 设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为，则所求的概率为．　　　　　　　　　　　　　　 ………………………….8分 ‎（Ⅱ）设该城市郊区的居民用户数为，则其城区的居民用户数为．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：‎ ‎ ．‎ 故此方案符合国家“保基本”政策． ………………………….12分 ‎19．本小题主要考查几何体的体积、三视图和直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）取线段的中点，连接，则．‎ 又∵，，‎ ‎∴．‎ 又∵ ， ‎ ‎，‎ ‎∴，　 ………………………….1分 又点在为线段上的点，且∥平面，‎ ‎∴是四棱锥的高， ………………………….2分 又， ………………………….4分 ‎∴．………………….6分 ‎（Ⅱ）所求的线段是． ………………………….7分 首先，∵，∴在该几何体的侧视图上的投影恰好为线段．………8分 下面证明． ‎ 连接，交于点，则点为线段的中点，连接，，，‎ 在平面中，，，∴，‎ 同理，，‎ ‎∴，∴， ………………………….10分 又在正方形中，， ………………………….11分 ‎，，，‎ ‎∴． ………………………….12分 ‎20．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分．‎ ‎ 解法一：（Ⅰ）依题意，得，所以，‎ 所以椭圆的方程为． ……………………….4分 ‎（Ⅱ）设直线：，：，分别交椭圆于及，弦和的中点分别为和．‎ 由得，‎ 令，即．‎ 又所以，．‎ 即． ………………………….6分 同理可得． ………………………….7分 所以直线所在的直线方程为． ………………………….8分 设：是斜率为1且不同于的任一条直线，它与椭圆相交于，弦的中点为同理可得由于，故点在直线上． ‎ 所以斜率为1的直线与椭圆相交得到的所有弦的中点共线． ………………………….9分 ‎（Ⅲ）①任作椭圆的两条组平行弦∥，∥，‎ 其中与不平行．‎ ‎②分别作平行弦的中点及平行弦的 ‎ 中点． ‎ ‎③连接，，直线，相交于点，点即为椭圆的中心．……………….12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎ （Ⅱ）设直线：为斜率是1的任一条直线，它交椭圆于弦 的中点．‎ ‎ 由得，‎ 令，即．‎ ‎ ，．‎ ‎ 所以 …………………………6分 ‎ 所以． ……………….7分 即椭圆的斜率为1的任一条弦的中点都在直线上，‎ 故斜率为1的直线与椭圆相交得到的所有弦的中点共线． ……………….9分 解法三：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎ （Ⅱ）设直线：为斜率是1的任一条直线，它交椭圆于弦 的中点．‎ ‎ 则，，所以，‎ ‎ 又，，，‎ 所以． ……………….7分 即椭圆的斜率为1的任一条弦的中点都在直线上，‎ 故斜率为1的直线与椭圆相交得到的所有弦的中点共线． ……………….9分 ‎（Ⅲ）同解法一．‎ ‎ 注：本题解法一、解法二中，如果没有考虑，不扣分．‎ ‎21．本小题主要考查数列的通项公式及前项和公式、等比数列、数列的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等．满分12分．‎ ‎ 解法一：(Ⅰ)因为，‎ 所以当时，，解得； ……………….1分 当时，，即，……….3分 由，知，所以是以的等比数列． ‎ ‎ ……………………………….4分 所以． ……………….5分 ‎（Ⅱ）假设存在非零整数，使得数列为递增数列，即对于，都有．‎ 由(Ⅰ)知，又，所以， ………………6分 所以只要对任意，恒有，即只要对任意，恒有．……..① ………………7分 当为奇数时，①等价于恒成立．‎ 又为奇数时，的最小值为，所以． ………………8分 当为偶数时，①等价于恒成立． ‎ 又为偶数时，的最大值为，所以．………………10分 综上，． ………………11分 又为非零整数，‎ 故存在非零整数使得数列为递增数列． ………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又．‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以，，．…………………………6分 ‎ 若数列为递增数列，则，‎ 所以解得，‎ 要使数列为递增数列，且为非零整数，则只有． …………………7分 以下证明，当时，数列是递增数列，即证明对于，都有．‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ． …………………………9分 当为奇数时，，……………………10分 当为偶数时，，……………………11分 因此对任意，都有． …………………………12分 ‎22．本小题主要考查函数的零点、函数的最值、导数及其应用、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．‎ ‎ 解：（Ⅰ）因为， ………………1分 所以，当，，当，，‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，……………2分 故当时，取得最小值为． ………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值为．‎ ‎（1）当，即时，没有零点．………………5分 ‎（2）当，即时，有一个零点．………………6分 ‎ （3）当，即时，‎ 构造函数，则，当时，，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 因为，所以，‎ 又，故． ………………8分 又，………………9分 所以必存在唯一的，唯一的，使得为的两个零点，‎ ‎ 故当时，有两个零点．………………10分 ‎（Ⅲ）若为的两个零点，设，则由（Ⅱ）知．‎ 因为 ‎．………………11分 令，则，‎ ‎………………12分 所以在上单调递增，因此，．‎ 又，所以，即，‎ 故，………………13分 又，且由（Ⅰ）知在单调递减，‎ 所以，所以．………………14分