2020届高三数学一模检测试题 文（含解析）新人教版

2020届高三数学一模检测试题 文（含解析）新人教版

‎2019届高中毕业班第一次质量检测 数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题.） ‎ ‎1. 设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】求解一元二次不等式可得：，‎ 结合交集的定义可得：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎2. 已知是虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合复数的运算法则可得：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎3. 在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中,下列说法正确的是（ ）‎ A. 若的观测值为,在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌.‎ B. 由独立性检验可知,在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时,我们说某人吸烟,那么他有的可能患有肺癌.‎ C. 若从统计量中求出在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,是指有的可能性使得判断出现错误.‎ D. 以上三种说法都不正确.‎ ‎【答案】C ‎【解析】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释． ‎ - 16 -‎ 结合所给选项可得：若从统计量中求出在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,是指有的可能性使得判断出现错误.‎ 本题选择C选项.‎ ‎4. 在区间内的所有实数中随机取一个实数，则这个实数满足的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，该问题为长度型几何概型，则所求问题的概率值为：‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．‎ ‎5. 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，在右侧的射影是正方形的对角线，在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．‎ 故选B．‎ - 16 -‎ 考点：简单空间图形的三视图．‎ 视频 ‎6. 在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：画出可行域如图：‎ 分析可知当点与点重合时直线的斜率最小为.故C正确.‎ 考点：线性规划.‎ 视频 ‎7. 若抛物线上一点到其焦点的距离为10，则点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由抛物线的标准方程可得其准线方程为，设点P的坐标为，‎ - 16 -‎ 由抛物线的定义有：，结合抛物线方程可得：，‎ 据此可得点的坐标为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎8. 已知图①中的图象对应的函数为，则图②中的图象对应的函数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】观察函数图象可得，②的图象是由①的图象保留左侧图象，然后将左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的平移变换可得函数的解析式为.‎ 本题选择B选项.‎ ‎9. 已知函数，若关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程根的个数即函数与函数的交点的个数，‎ 很明显函数是偶函数，当时，，则，‎ 则函数在区间上单调递增，且，‎ 绘制函数图象如图所示，观察可得实数的取值范围是.‎ 本题选择B选项.‎ - 16 -‎ ‎10. 数列中，已知对任意正整数，有，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由递推关系可得：，，‎ 两式作差可得：，则，‎ 故数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 结合等比数列前n项和公式有：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎11. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）‎ - 16 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合所给的流程图可知：‎ 该流程图的功能是计算的值，‎ 裂项求和可得：，‎ 据此可得：，求解关于实数的方程可得：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎12. 已知椭圆和双曲线有共同焦点,是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】考查一般性结论，当时：‎ 设，椭圆的长半轴长为，双曲线的长半轴长为 - 16 -‎ ‎，两曲线的焦距为，结合题意有：，‎ 两式平方相加可得：，‎ 两式平方作差可得：，‎ 由余弦定理有：，‎ 则：，，‎ 即，结合二倍角公式有：.‎ 本题中，，则有：，即，‎ 则，当且仅当时等号成立，‎ 据此可得的最大值为.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分.请在答题卷的相应区域答题.） ‎ ‎13. 已知平面上三点，，，则的坐标是_______．‎ ‎【答案】(－3,6)‎ ‎【解析】由题意可得：，，‎ 则：.‎ - 16 -‎ ‎14. 已知,则＝_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意可得 ：，‎ 令可得：，‎ 则：.‎ ‎15. 已知,则_____________.‎ ‎【答案】3或 ‎【解析】由题意结合同角三角函数基本关系有：‎ ‎，解方程可得：或：，‎ 则：或.‎ ‎16. 已知数列满足，且，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由递推关系可得：，则：‎ ‎，即，‎ 据此可得，数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 故，则，‎ 据此可得，数列的通项公式为.‎ 点睛：‎ - 16 -‎ 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请在答题卷的相应区域答题.） ‎ ‎17. 已知函数.‎ ‎(1)求的单调递增区间；‎ ‎(2)设的内角的对边分别为，且，若，求 的值．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)整理函数的解析式有.结合正弦函数的性质可得函数的单调递增区间为.‎ ‎(2)由，可得，则.结合正弦定理、余弦定理得到关于a,b的方程组，求解方程组可得.‎ 试题解析：‎ ‎(1).‎ 由，得 ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎(2)由，得，，‎ ‎.‎ 又,由正弦定理得①;‎ 由余弦定理得，‎ 即，②‎ 由①②解得. ‎ ‎18. 如图，在三棱锥中，,平面 平面，、分别为、的中点．‎ ‎(1)求证： 平面；‎ ‎(2)求证：；‎ - 16 -‎ ‎(3)求三棱锥的体积． ‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由三角形中位线的性质可得DE∥BC，结合线面平行的判断定理可得DE∥平面PBC.‎ ‎(2)连接PD，由等腰三角形三线合一可知PD⊥AB.且DE⊥AB.利用线面垂直的判断定理有AB⊥平面PDE，故AB⊥PE.‎ ‎(3)转换顶点，将三棱锥看作以点P为顶点的三棱锥，计算可得，且PD是三棱锥P－BEC的高，计算可得由三棱锥体积公式可得其体积.‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：∵在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC.‎ ‎∵DE⊄平面PBC且BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.‎ ‎(2)证明：连接PD.∵PA＝PB，D为AB的中点，∴PD⊥AB.‎ ‎∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB.又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，‎ ‎∴AB⊥平面PDE.‎ ‎∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE.‎ ‎(3)解：∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，‎ ‎∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P－BEC的高．‎ 又∵，.‎ - 16 -‎ ‎19. 编号分别为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：‎ 运动员编号 得分 ‎15‎ ‎35‎ ‎21‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎18‎ ‎34‎ 运动员编号 得分 ‎17‎ ‎26‎ ‎25‎ ‎33‎ ‎22‎ ‎12‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：‎ 区间 ‎[10,20）‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40]‎ 人数 ‎(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人.‎ ‎(ⅰ)用运动员编号列出所有可能的抽取结果；‎ ‎(ⅱ)求这2人得分之和大于50的概率．‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)(i)答案见解析；(ii).‎ ‎【解析】第一问中，利用表格中的数据得到了人数 第二问中，得分在区间【20,30）内的运动员编号为从中随机 抽取2人，所有可能的抽取结果有15种，‎ ‎“从得分在区间【20,30）内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有：，共5种。‎ ‎（Ⅰ）解：4，6，6 …………2分 ‎（Ⅱ）（i）解：得分在区间【20,30）内的运动员编号为从中随机 抽取2人，所有可能的抽取结果有：‎ ‎ ，‎ 共15种。‎ - 16 -‎ ‎…………7分 ‎（ii）解：“从得分在区间【20,30）内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有：，共5种。‎ 所以……………12分 ‎20. 设、分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎(1)若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标；‎ ‎(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将 ,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；（2）首项设过点的直线为 ，与方程联立，得到根与系数的关系，和 ，以及 ，根据向量的数量积可知，为锐角，即 ，这样代入根与系数的关系，以及，共同求出的取值范围. ‎ 试题解析：（1）易知. ‎ ‎，设，则 ‎，又.‎ 联立，解得，故. ‎ ‎（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，‎ 设，‎ 联立 ‎ ‎ 由 - 16 -‎ ‎，得.①‎ 又为锐角，‎ ‎ ‎ 又 ‎.②‎ 综①②可知的取值范围是 ‎【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为 ,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.‎ ‎21. 设函数.‎ ‎(1)求的单调区间和极值；‎ ‎(2)证明：若存在零点，则在区间 上仅有一个零点．‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求单调区间和极值，先求定义域，再求导数 ，在上，的解为，探讨在和上的正负，确定的单调性，极值；（Ⅱ）首先由零点存在，知最小值，从而，因此在是单调递减，且，因此结论易证．‎ 试题解析：（Ⅰ）由，得 ‎.‎ 由解得.与在区间上的情况如下：‎ - 16 -‎ 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；‎ 在处取得极小值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.‎ 因为存在零点，所以，从而.‎ 当时，在区间上单调递减，且，‎ 所以是在区间上的唯一零点.‎ 当时，在区间上单调递减，且，，‎ 所以在区间上仅有一个零点.‎ 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ 考点：用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点．‎ ‎【名师点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程:‎ 求定义域→求导数f'（x）→求f'（x）=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'（x）在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性 当f（x）不含参数时,也可通过解不等式f'（x）>0（或f'（x）<0）直接得到单调递增（或递减）区间.‎ ‎2．零点存在定理：函数在上有定义，若，则在上至少有一个零点．如果函数在还是单调的，则零点是唯一的．‎ 考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22. 已知圆锥曲线 (是参数)和定点,、是圆锥曲线的左、右焦点．‎ ‎(1)求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．‎ ‎【答案】(1)(为参数).(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)消去参数可得圆锥曲线的普通方程，则焦点坐标为 - 16 -‎ ‎，由斜率公式结合直线垂直的充要条件可得直线的倾斜角是.其参数方程是(为参数).‎ ‎(2)设是直线上任一点，由题意有，整理可得其极坐标方程为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)圆锥曲线化为普通方程，所以，则直线的斜率，于是经过点且垂直于直线的直线的斜率，直线的倾斜角是.所以直线的参数方程是(为参数)，‎ 即(为参数).‎ ‎(2)直线的斜率，倾斜角是，设是直线上任一点，‎ 则，即，则.‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为.‎ ‎(2)由绝对值三角不等式的性质可得，结合集合关系可得关于实数a的不等式求解绝对值不等式可得实数的取值范围为......................‎ 试题解析：‎ ‎(1)原不等式等价于或 或，解得或或.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ - 16 -‎ ‎(2)，‎ 或，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ 点睛：绝对值不等式的解法： ‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 16 -‎